Напряжения и деформации, или почему мы не проваливаемся сквозь пол

Мы действительно не проваливаемся сквозь пол, и это для нас настолько обычно, что мы над этим никогда не задумываемся. Но более общий вопрос, почему любое твердое тело вообще способно сопротивляться приложенной к нему нагрузке, издавна занимал умы ученых. Ответ на него представляет собой наглядный пример того, как без применения изощренных приборов может быть теоретически решена научная проблема (исключая, конечно, ее молекулярный аспект). Это отнюдь не говорит о бесхитростности предмета. Ведь недаром первый существенный вклад в решение проблемы внесли такие выдающиеся умы, как Галилей (1564–1642) и Гук (1635–1702). Нужно сказать, что именно они впервые четко сформулировали задачу.

Правда, эта задача оказалась за пределами возможностей XVII века. Более того, на протяжении еще двухсот лет не было достаточно полного представления о том, что же на самом деле происходит в конструкциях; даже в XIX веке круг людей, понимавших что-то в этой области, ограничивался несколькими не очень признанными в те времена теоретиками. Инженеры-практики все еще продолжали делать свои расчеты, что называется, на пальцах. Нужно было пройти долгий путь, полный сомнений и катастроф (вроде случая с мостом через реку Тэй *), чтобы они убедились в пользе обоснованных расчетов на прочность **. Вместе с тем обнаружилось, что правильный расчет может удешевить конструкцию, так как позволяет экономить материалы более безопасным путем. В наши дни суть разницы между квалифицированным инженером, с одной стороны, и слесарем или просто самоучкой-любителем - с другой, заключается не столько в изобретательности или степени мастерства, сколько в теоретической подготовке.

* Железнодорожный мост через реку Тэй в ее устье (длиною почти 3 км) был построен Т. Баушем в 1879 г. Его считали одним из величайших технических достижений своего времени. Однако через несколько месяцев после открытия, зимней ночью мост не выдержал тяжести пассажирского поезда. Все пассажиры утонули. Расследование установило серьезные дефекты использованных материалов, ошибки в проекте и небрежности при постройке. Драматические обстоятельства катастрофы и число погибших сделали это событие печально знаменитым в английской истории. - Прим. автора к русск. изд.

** Было время, когда в США ежегодно рушилось около 25 мостов.

Давайте начнем с самого начала, с Ньютона (1642–1727), который сформулировал основной закон механики: действие равно противодействию по величине и противоположно ему по направлению. Это означает, что каждая сила должна быть сбалансирована точно такой же по величине силой противоположного направления. При этом природа сил не имеет никакого значения. На пример, сила может быть создана каким-либо неподвижным грузом. Предположим, я стою на полу, мой вес 75 кг. Следовательно, мои подошвы давят на пол с силой 75 кг, которая направлена вниз; это дело моих ступней. В то же самое время пол должен давить на мои подошвы с той же силой 75 кг, направленной вверх; эта сила исходит от пола. Если доски пола окажутся подгнившими и не смогут обеспечить силу 75 кг, я неминуемо провалюсь. Но если каким-то чудом пол сообщит мне силу, большую, чем та, которую требовал мой вес, скажем, 75,5 кг, то я - ни много ни мало - взлечу. Те же рассуждения применимы к любому грузу: если стул весит, например, 20 кг, то, чтобы он оставался на привычном для нас месте, пол должен действовать на него с такой же силой. Однако в законе Ньютона совсем не обязательно сила связана лишь с каким-либо неподвижным грузом. Если я направлю свой автомобиль в стену, то она отреагирует на мои действия с силой, в точности равной той, которая необходима, чтобы остановить автомобиль, даже если при этом погибает водитель. И еще один пример: ветер оказывает давление на дымовую трубу, пытаясь ее опрокинуть, но точно с такой же силой труба действует на воздух - именно поэтому она не опрокидывается.

Все это лишь частные проявления третьего закона Ньютона, который, грубо говоря, утверждает, что для сохранения статус-кво совокупность сил, действующих на тело, должна быть уравновешенной. Правда, закон ничего не говорит о том, откуда берутся все эти силы. Что касается внешних нагрузок на тело, то обычно их обнаружить легче: вес груза возникает из-за гравитационного воздействия Земли на массу груза (земное притяжение); в случае торможения движущейся нагрузки (будь то твердое тело, жидкость или газ) возникающие силы таковы, что вызывают необходимое замедление движущейся массы (второй закон Ньютона). Задача любой механической конструкции состоит в сохранении и поддержании статус-кво, для ее выполнения в конструкции должны каким-то образом возникать силы, которые могли бы уравновесить внешние нагрузки, действующие на нее. Кажется, теперь мы можем понять, как груз давит на пол, но как пол давит на груз?

Ответ на этот вопрос далеко не очевиден. Во времена Галилея и Гука, на заре научной мысли, проблема была еще более неразрешимой. Ее решение усугублялось человеческой склонностью осмысливать непонятное, отталкиваясь от самих себя, от процессов, которые кажутся знакомыми по своему собственному внутреннему опыту. Но такой "антропометрический" подход и биологические аналогии могут лишь запутать дело. Животное имеет два механизма сопротивления нагрузкам. Его инертные части - кости, зубы, волосы - воспринимают механическую нагрузку точно так же, как и любое неживое твердое тело. Но живой организм как целое ведет себя совершенно иным образом. Люди и животные способны активно сопротивляться приложенным силам: они напрягают свои мышцы и в зависимости от того, чего требует сложившаяся ситуация, отталкивают или тянут что-то. Если вы поставите мне на ладонь какой-либо груз (допустим, кружку пива), то, чтобы удержать эту нагрузку, я должен увеличить натяжение в определенных мышцах.

Благодаря сложному и совершенному биологическому механизму наши мышцы непрерывно подстраиваются под внешнюю нагрузку, что позволяет удерживать кружку в вытянутой руке. Однако сохранение биологического напряжения мышц требует непрерывного расходования энергии (подобно тому как упершийся в стену автомобиль, оборудованный гидравлической передачей, продолжает сжигать бензин в своем двигателе, оказывая давление на стену, но ни машина, ни стена при этом не движутся). Расход энергии приводит к усталости мышц руки, и, чтобы снять с них нагрузку, я рано или поздно должен буду выпить пиво.

В отличие от неодушевленных предметов человек всегда, даже когда стоит неподвижно, производит направленные, хотя, возможно, и неосознанные, подстроечные операции в мышцах тела. Со временем он устает и, если обморок или смерть прерывают мышечные процессы, падает. В неодушевленных телах подобные биологические процессы отсутствуют. Конструкционные материалы пассивны, так что они не "устают" в обычном смысле этого слова. Прежде чем начать сопротивляться внешним нагрузкам, в них должны возникнуть какие-то смещения, то есть, чтобы оказать какое-либо сопротивление, они должны в большей или меньшей степени поддаться нагрузке. Под смещением мы понимаем не перемещение тела как целого, без изменения его формы, а именно геометрические искажения самого тела, то есть тело в целом или отдельные его части становятся короче или длиннее вследствие растяжения или сжатия внутри самого тела.

В природе не существует и не может существовать абсолютно жесткого материала. Все тела в той или иной мере обладают податливостью. Если вы взбираетесь на дерево, то ветки прогибаются под вами, и это сразу становится заметным. Однако, когда вы идете по мосту, его прогиб настолько мал что вы его не ощущаете. Но как смещения ветвей, так и отклонения моста могут быть охарактеризованы количественно. Пока смещения, вызванные внешними нагрузками, не слишком велики и не мешают конструкции выполнять свои задачи, их нельзя считать ошибками проекта, они определяют как бы врожденные, обязательные характеристики конструкции. (Ниже мы дадим им более подробное определение.)

Между прочим, вспомните, что, летая самолетом, вы, быть может, замечали, как смещаются вверх-вниз кончики его крыла. Конструктор, проектируя крыло, наделил его такими свойствами. Вероятно, вам уже ясно, что смещения, будь они малыми или большими, создают силы сопротивления. Эти силы определяют жесткость твердого тела, его способность сопротивляться внешним нагрузкам. Другими словами, в твердом теле возникают именно такие смещения, которые как раз достаточны, чтобы уравновесить приложенные внешние нагрузки. Это происходит совершенно автоматически.

Как же возникают эти силы? Дело в том, что в любом теле атомы химически связаны между собой (Приложение I). Эти связи условно можно представить в виде пружинок, хотя, конечно, ничего "твердого" в обычном вульгарном смысле этого слова в промежутках между атомами не существует (рис. 1). Те же силы, которые делают тело твердым, определяют и его химические свойства. Разрушение химических связей освобождает энергию пороха и бензина, те же связи делают резину и сталь упругими и прочными.

Рис. 1. Наглядная модель химических связей в твердом теле

Когда твердое тело полностью свободно от механических нагрузок (что бывает, строго говоря, очень редко), химические связи, или пружины в нашей модели, находятся в нейтральном положении (рис. 1, а). Любая попытка сблизить атомы (это мы называем сжатием) или оттянуть их друг от друга (что обычно называется растяжением) сопровождается небольшим укорочением (рис. 1, б) или удлинением (рис. 1, в) межатомных пружин во всем объеме материала. При этом ядра атомов считаются жесткими, кроме того, в твердом теле атомы обычно не обмениваются местами, по крайней мере при умеренных, или "безопасных", нагрузках. Таким образом, податливость твердого тела определяется межатомными связями. Жесткость этих связей может изменяться в широких пределах, но для большинства веществ она намного выше, чем у тех металлических пружин, с которыми мы встречаемся в повседневной жизни. Очень часто величины межатомных сил весьма и весьма велики. Этого и следовало ожидать, если вспомнить о силах, которые могут быть получены при разрыве химических связей горючих или взрывчатых веществ.

Хотя абсолютно жестких тел, то есть таких, которые под действием внешних сил совершенно не изменяют своей формы, в природе не бывает, смещения во многих предметах часто оказываются очень малыми. Например, если я наступлю на обычный строительный кирпич, то его высота уменьшится примерно на 1/20000 см. А два любых соседних атома в кирпиче станут ближе один к другому на расстояние ~1/500000A (2×10^-14 см). Величина эта невероятно мала, но она соответствует совершенно реальным перемещениям атомов. Конечно, в крупных конструкциях перемещения элементов не всегда малы. Канаты, на которых висит мост через залив Форт (Шотландия), все время растянуты примерно на 0,1%, что при их общей длине почти 3 км составляет около 3 м. В этом случае атомы железа, расстояние между которыми в не нагруженном состоянии около 2 А, удаляются на величину ~2/1000 А.

Тот факт, что расстояние между атомами действительно изменяется под нагрузкой, был многократно про верен путем постановки самых различных экспериментов. Наиболее наглядные результаты дает стандартный метод измерения межатомных расстояний по отклонению пучка рентгеновских лучей при прохождении его через кристалл, основанный на явлении дифракции. Более чем полувековая практика позволила довести этот метод до весьма высокой точности. Опыты показали, что смещения атомов в металлах, например, строго пропорциональны величине, на которую удлиняется (или укорачивается) весь кусок металла. В этих экспериментах наблюдались изменения межатомных расстояний примерно до 1%. На рис. 2 показаны результаты измерений на мягкой стали, в которой максимальные смещения атомов были около 0,5%.

Рис. 2. Сравнение напряжений, установленных экспериментально с помощью дифракции рентгеновских лучей (методом двух экспозиций), с расчетными напряжениями, вычисленными по кривизне изогнутой балки (отожженная малоуглеродистая сталь). Белый кружок - данные экспериментатора A, черный - экспериментаторов B и C.