Разговоры об ошибках Бернулли

«Он был очень доволен премией в 20 тысяч долларов три года назад, но его зарплата с тех пор выросла на 20 %, так что для получения той же выгоды ему нужна премия побольше».

«Оба кандидата готовы согласиться на предложенную зарплату, но они получат неодинаковое удовлетворение, потому что у них разные точки отсчета. У нее сейчас зарплата выше».

«Она подала на алименты. Вообще-то она согласилась бы на мировую, но он хочет решить вопрос в суде. И неудивительно: она в любом случае выиграет, поэтому уклоняется от риска. Для него, с другой стороны, все варианты плохие, и он готов рискнуть».

Теория перспектив

Мы с Амосом наткнулись на главную слабину в теории Бернулли благодаря удачному сочетанию умения и неведения. Я прочитал главу из книги Амоса об экспериментах, проводимых выдающимися исследователями для изучения полезности денег: испытуемых просили выбирать между играми, в которых можно выиграть или проиграть нескол ько центов. Экспериментаторы измеряли полезность богатства, изменяя его на величину меньше доллара. Возникли вопросы. Насколько разумно предполагать, что люди оценят игры, связанные с крохотным изменением богатства? Можно ли разобраться в психофизике богатства, изучая реакцию на выигрыш или потерю пары центов? Последние достижения психофизической науки позволяли предположить, что для изучения субъективной ценности богатства следует задавать прямые вопросы о богатстве, а не о его изменениях. Я мало знал о теории полезности и, не ослепленный уважением к ней, был озадачен.
На следующий день я рассказал Амосу о своих затруднениях как о смутной мысли, а не как об открытии. Я честно ждал, что он мне все разъяснит и расскажет, почему озадачивший меня эксперимент полон смысла, но Амос не сделал этого – важность современной психофизики была для него очевидной. Он припомнил, что экономист Гарри Марковиц, получивший впоследствии Нобелевскую премию по экономике, предложил тео рию, в которой полезность приписывалась изменениям богатства, а не его размерам. Идея Марковица просуществовала четверть века, не привлекая особого внимания, но мы быстро пришли к выводу, что нам с ней по пути. Теория, которую мы собирались разработать, должна была определять исходы как выигрыши и потери, а не как размер богатства. Знание принципов восприятия и невежество в области теории принятия решений значительно продвинули нас в наших исследованиях.
Вскоре мы поняли, что преодолели серьезный случай «слепоты, вызванной теорией», потому что идея, которую мы отвергли, теперь казалась не просто неверной, но абсурдной. Нас позабавило то, что сами мы были не в состоянии оценить текущее богатство в пределах десятков тысяч долларов. Идея использования полезности богатства для определения отношения к небольшим изменениям не выдерживала критики. Так бывает: теоретический прорыв случается, если не можешь взять в толк, почему так долго не осознавал очевидного. И все же п отребовались годы, чтобы разобраться с последствиями представления исходов в виде выигрышей и потерь.
Согласно теории полезности, полезность выигрыша оценивается путем сравнения полезности двух размеров богатства. Например, полезность получения лишних 500 долларов, если вы имели миллион, равна разнице между полезностью 1 000 500 и 1 000 000 долларов. А если ваше состояние еще больше, отрицательная полезность потери 500 долларов снова равна разнице между полезностями двух богатств. В этой теории полезность выигрыша и проигрыша отличается только знаком (плюс или минус). Невозможно отразить тот факт, что отрицательная полезность потери 500 долларов может оказаться больше, чем полезность выигрыша той же суммы, – а ведь это, несомненно, так. Как и следует ожидать в случае «слепоты, вызванной теорией», возможные различия между выигрышем и потерей никогда прежде не рассматривались и не исследовались. Различиям между выигрышем и проигрышем не придавалось никакого значения, так что не стоило их и изучать.
Мы с Амосом не сразу заметили, что наш интерес к изменениям в благосостоянии открывает новую тему исследований. Мы сосредоточились главным образом на выборе между играми с высокой и низкой вероятностью выигрыша. Однажды Амос между делом спросил: «А что насчет проигрыша?» Мы быстро обнаружили, что стоит только сдвинуть фокус, как на смену привычному неприятию риска приходит стремление к риску. Рассмотрим две задачи.

Задача 1
Что вы выберете?
Гарантированные 900 долларов ИЛИ 90 %-ную вероятность получить 1000 долларов.

Задача 2
Что вы выберете?
Гарантированную потерю 900 долларов ИЛИ 90 %-ную вероятность потерять 1000 долларов.

Скорее всего, вы будете избегать риска в Задаче 1 – как и подавляющее большинство людей. Субъективная ценность получения 900 долларов определенн о выше, чем 90 % от ценности выигрыша 1000 долларов. Выбор с неприятием риска в этой задаче не удивил бы Бернулли.
А теперь рассмотрим ваши предпочтения в Задаче 2. Если вы похожи на большинство, в этой задаче вы выберете игру. Объяснение стремления к риску – зеркальное отражение объяснение неприятия риска в Задаче 1: отрицательная ценность потери 900 долларов гораздо больше, чем 90 % отрицательной ценности потери 1000 долларов. Гарантированная потеря вызывает отторжение и заставляет вас пойти на риск. Позже мы увидим, что сравнение вероятностей (90 против 100 %) также влияет на неприятие риска в Задаче 1 и на выбор игры в Задаче 2.
Мы не первые обратили внимание на то, что люди стремятся к риску, если все возможности плохи; предыдущие исследователи попадали под влияние слепоты, вызванной теорией. Поскольку доминирующая теория не предлагала приемлемого объяснения различного взгляда на риск в ситуациях выигрыша или потери, само различие во взг лядах игнорировалось. Зато наше решение рассматривать исходы как выигрыши и потери заставило нас сосредоточиться именно на этом различии. Исследование противоположных взглядов на риск в условиях благоприятных или неблагоприятных перспектив позволило нам сделать значительный шаг вперед: мы нашли способ продемонстрировать центральную ошибку модели выбора Бернулли. Взгляните.

Задача 3
В дополнение к вашему состоянию вы получили 1000 долларов.
Теперь выберите один из вариантов:
50 %-ную вероятность выиграть 1000 долларов ИЛИ гарантированное получение 500 долларов.

Задача 4
В дополнение к вашему состоянию вы получили 2000 долларов.
Теперь выберите один из вариантов:
50 %-ную вероятность проиграть 1000 долларов ИЛИ гарантированную потерю 500 долларов.

Легко убедиться, что с точки зрени я окончательного размера богатства (по теории Бернулли это – единственный важный показатель) Задачи 3 и 4 идентичны. В обоих случаях вы выбираете между одними и теми же вариантами: вы можете гарантированно стать богаче на 1500 долларов или согласиться на игру, в которой у вас равные шансы стать богаче или на 1000, или на 2000 долларов. Таким образом, по теории Бернулли обе задачи должны дать одинаковые предпочтения. Проверьте интуицию – попробуйте догадаться, что выбрали другие.

• В первом случае подавляющее большинство респондентов предпочли гарантированные деньги.
• Во втором случае подавляющее большинство испытуемых предпочли игру.

Полученная в Задачах 3 и 4 разница в предпочтениях стала решающим контрпримером к ключевой идее теории Бернулли. Если все дело только в полезности богатства, тогда эквивалентные формулировки одной и той же задачи должны привести к одинаковому выбору. Сравнение двух задач подчеркивае т важнейшую роль точки отсчета, с которой оцениваются варианты. Точка отсчета больше наличного богатства на 1000 долларов в Задаче 3 и на 2000 долларов – в Задаче 4. Увеличение богатства на 1500 долларов, следовательно, представляет собой выигрыш 500 долларов в Задаче 3 и проигрыш в Задаче 4. Очевидно, можно сочинить множество подобных примеров. Аналогичная схема предложена в истории Энтони и Бетти.
Сколько внимания вы уделяете подарку в 1000 или 2000 долларов, который был «вручен» вам до выбора? Если вы похожи на остальных, вы вряд ли о нем задумывались. И в самом деле, вряд ли стоило его принимать в расчет, поскольку подарок включен в точку отсчета, а точку отсчета обычно игнорируют. Вы знаете о своих предпочтениях то, чего не знают теоретики полезности: ваши взгляды на риск не изменятся, будь ваш капитал больше или меньше на несколько тысяч долларов (если только вы не крайне бедны). И еще вы знаете, что ваши взгляды на выигрыши и потери не определяются тем, как вы оцениваете свое богатство. Вам нравится выиграть 100 долларов и не нравится потерять 100 долларов не потому, что эти суммы меняют ваше богатство. Вы просто любите выигрывать и не любите проигрывать – причем нежелание проиграть сильнее желания выиграть.
Приведенные четыре задачи ясно показывают слабость модели Бернулли. Его теория слишком проста и не учитывает динамики. В ней отсутствует одна переменная – точка отсчета, предыдущее состояние, относительно которого оцениваются выигрыши и потери. По теории Бернулли достаточно знать размер богатства, чтобы определить его полезность, но по теории перспектив необходимо также знать исходное состояние. Таким образом, теория перспектив сложнее теории полезности. В науке усложнение считается затратами, которые необходимо оправдать достаточно широким кругом новых и (по возможности) интересных предсказаний фактов, не объясняемых существующей теорией. Нам предстояло выполнить это требование.
Хотя мы с Амосом еще не работали над «двухсистемной» моделью мышления, теперь понятно, что в центре теории перспектив лежат три когнитивных свойства. Они играют главную роль в оценке финансовых исходов и обычны для многих автоматических процессов восприятия, суждения и эмоций. Их можно считать оперативными характеристиками Системы 1.

• Оценка производится относительно нейтральной исходной точки, называемой иногда «уровень адаптации». Этот принцип легко продемонстрировать. Поставьте перед собой три миски с водой. Налейте в левую ледяной воды, а в правую – теплой. В средней миске вода должна быть комнатной температуры. Подержите левую и правую руки в холодной и теплой миске примерно минуту, затем опустите обе руки в среднюю. Одну и ту же температуру вы ощутите одной рукой как горячую, а другой – как холодную. Для финансовых исходов точкой отсчета обычно является статус-кво, но иногда ею может стать ожидаемый исход или тот, который кажется заслуженным, – например, прибавка или премия, полученная вашими коллегами. Исходы, которые выше точки отсчета, – это выигрыш; ниже точки отсчета – потери.
• Принцип снижения чувствительности работает и в сфере ощущений, и при оценке изменения богатства. Появление слабого света даст большой эффект в темной комнате. Такое же изменение освеще нности останется незамеченным в ярко освещенном помещении. Так же и разница между 900 долларами и 1000 долларов субъективно намного меньше разницы между 100 и 200 долларами.
• Третий принцип – неприятие потерь. Если сравнивать напрямую, потери кажутся крупнее, чем выигрыш. Эта асимметрия между силой положительных и отрицательных ожиданий или ощущений возникла в ходе эволюции. У организма, реагирующего на угрозу сильнее, чем на приятную перспективу, больше шансов на выживание и воспроизводство.

Эти три принципа, управляющие ценностью исходов, проиллюстрированы на рисунке 10. Если бы у теории перспектив был флаг, на нем должен быть изображен этот рисунок. График показывает психологическую ценность выигрышей и потерь, которые являются «носителями» ценности в теории перспектив (в отличие от модели Бернулли, где носителями ценности являются размеры богатства). График четко делится на две части – справа и слева от точки отсчета. Бросается в гла за S-образная форма, демонстрирующая снижение чувствительности как для выигрыша, так и для потерь. Наконец, две половинки S несимметричны. Кривая функции резко меняется в точке отсчета: реакция на потери сильнее, чем реакция на соответствующие выигрыши. Это – неприятие потерь.

Рис. 10

Неприятие потерь

Часто в жизни мы сталкиваемся с ситуациями «смешанного» выбора: есть риск потери и возможность выигрыша, и нужно решить, согласиться на игру или отказаться. Инвестор, оценивающий возможности новой компании, юрист, размышляющий, подавать ли иск, военачальник, планирующий наступление, политик, решающий, вступать ли в предвыборную борьбу, – все они сталкиваются с вероятностями победы или поражения. В качестве элементарного примера смешанной перспективы проверьте свою реакцию на следующее предложение.

Задача 5
Вам предлагают игру с подбрасыванием монеты.
Если выпадет решка, вы теряете 100 долларов.
Если выпадет орел, вы выиграете 150 долларов.
Привлекает ли вас такая игра? Вы согласитесь участвовать?

Чтобы принять решение, вы должны взвесить психологическую прибыль от получения 150 долларов и психологическую стоимость потери 100 долларов. Что вы ощущаете? Хотя ожидаемая ценность игры положительная, поскольку вы можете выиграть больше, чем проиграть, вы, скорее всего, откажетесь – как и большинство людей. Отказ от этой игры – действие Системы 2, но критической стала эмоциональная реакция Системы 1. Для большинства из нас страх потери 100 долларов сильнее надежды получить 150 долларов. Из множества подобных наблюдений мы сделали вывод, что «потери кажутся больше выигрыша» и что у людей существует неприятие потерь.
Степень неприятия потерь можно измерить, спросив себя: какой минимальный выигрыш уравновес ит для меня равную вероятность потерять 100 долларов? Для большинства ответ – примерно 200 долларов, то есть вдвое больше проигрыша. «Коэффициент неприятия потерь» неоднократно оценивался экспериментально и обычно колеблется от 1,5 до 2,5. Разумеется, это средние значения; неприятие потерь сильнее у одних и меньше у других. Люди, профессионально рискующие на финансовых рынках, спокойнее относятся к потерям – возможно, потому что не реагируют эмоционально на каждое колебание рынка. Когда участникам эксперимента предложили «думать как трейдер», неприятие потерь снизилось и эмоциональные реакции на потери (оцениваемые по психологическому индексу эмоционального возбуждения) значительно ослабели.
Чтобы оценить свой коэффициент неприятия потерь в различных ситуациях, рассмотрите следующие вопросы. Забудьте об окружающих, не старайтесь казаться ни решительным, ни осторожным; сосредоточьтесь на субъективных последствиях возможных потерь и манящих выигрышей.

• Представьте игру с шансами 50:50, в которой вы можете потерять 10 долларов. Какой минимальный выигрыш сделает игру привлекательной? Если вы ответите: «10 долларов», то вы безразличны к риску. Если назовете сумму меньше 10 долларов, вы стремитесь к риску. Если больше – у вас существует неприятие риска.
• А если в игре с бросанием монеты вы можете проиграть 500 долларов? Какой выигрыш вы назовете, чтобы согласиться играть?
• А если возможный проигрыш – 2000 долларов?

Выполняя это упражнение, вы, возможно, обнаружите, что ваш коэффициент неприятия потерь растет по мере повышения ставок, но незначительными темпами. Разумеется, ни о какой игре не может быть и речи, если возможные потери обернутся катастрофой или под угрозой окажется ваш образ жизни. В таких случаях коэффициент неприятия потерь огромен и зачастую стремится к бесконечности – есть риск, на который вы не пойдете, сколько бы миллионов вам ни пред лагали в случае удачи.
Еще один взгляд на рисунок 10 поможет избежать обычного заблуждения. В этой главе я сделал два заявления, в которых отдельные читатели могут усмотреть противоречия:

• В смешанных играх, когда возможны и выигрыши, и потери, неприятие потерь приводит к выбору, при котором неприятие риска максимально.
• В заведомо проигрышной ситуации, когда гарантированный проигрыш сравнивается с большей потерей, которая лишь вероятна, снижение чувствительности вызывает стремление к риску.

Противоречия здесь нет. В смешанных случаях возможные потери кажутся вдвое бо́льшими, чем возможный выигрыш, как видно при сравнении наклона графика функции ценности для потерь и выигрышей. В случае проигрышной ситуации изгиб кривой (снижение чувствительности) вызывает стремление к риску. Горечь от потери 900 долларов больше, чем 90 % горечи от потери 1000 долларов. Эти два вывода – суть теории пе рспективы.
Рисунок 10 показывает резкое изменение кривой функции ценностей – там, где выигрыш сменяется потерями, поскольку значительное неприятие потерь присутствует, даже если сумма, которой вы рискуете, ничтожна по сравнению с вашим богатством. Может ли отношение к размерам богатства объяснить резкое неприятие мелких рисков? Это яркий пример слепоты, вызванной теорией: очевидное недоразумение в теории Бернулли не привлекало внимания исследователей более 250 лет. В 2000 году поведенческий экономист Мэттью Рабин математически доказал, что попытки объяснить неприятие потерь полезностью богатства абсурдны и обречены на провал. Его доказательство привлекло внимание. Теорема Рабина демонстрирует, что любой, кто отказывается от привлекательной игры с маленькими ставками, математически обречен на нелепый уровень неприятия риска в более крупной игре. Например, Рабин отмечает, что большинство гуманов откажутся от следующей игры:

50 %-ная вероятн ость потерять 100 долларов и 50 %-ная вероятность выиграть 200 долларов.

Затем Рабин показывает, что, в соответствии с теорией полезности, человек, отказавшийся от этой игры, откажется и от следующего предложения:

50 %-ная вероятность потерять 200 долларов и 50 %-ная вероятность выиграть 20 000 долларов.

Однако никто, разумеется, находясь в здравом уме, не откажется от такой игры! В превосходной статье, посвященной этому примеру, Мэттью Рабин и Ричард Талер отметили, что крупная игра «предлагает ожидание 9900 долларов – с нулевыми шансами потерять больше 200 долларов. Даже начинающий юрист объявит вас юридически невменяемым, если вы откажетесь от такой игры».
Увлеченные, должно быть, собственным энтузиазмом, авторы завершили статью пересказом известной сценки группы «Монти Пайтон»: расстроенный покупатель пытается вернуть мертвого попугая в зоомагазин. Покупатель пытается в разных формул ировках описать состояние птицы, в конце концов заявляя: «Это – бывший попугай». Рабин и Талер объявили: «Пора экономистам признать, что ожидаемая полезность – это бывшая гипотеза». Многие экономисты сочли это вызывающее заявление чуть ли не кощунством. Однако «вызванная теорией слепота», когда речь идет о принятии полезности богатства и объяснении отношения к мелким потерям, – логичная мишень для иронии.