Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих вычисление вероятностей событий и анализ случайных величин

1.Брошены два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна пяти, а произведение – четырем.

 

Каждый кубик при бросании дает одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Так как оба кубика бросаются независимо, то по теореме умножения общее число исходов: 6 · 6 = 36.

 

Ясно, что удовлетворить условию задачи возможно только двумя сочетаниями очков: 1, 4 или 4, 1. То есть только два исхода благоприятствуют условию задачи. Следовательно, по определению вероятности:

 

2. В коробке имеется 15 шаров, из которых 10 – окрашены, а 5 – прозрачные. Извлекаем, не глядя, три шара. Какова вероятность того, что все они будут окрашены?

Общее число исходов при извлечении шаров:

.

Благоприятных исходов того, что все шары окрашены:

.

Следовательно, .

 

3. В библиотеке на стеллаже расставлено 15 учебников по математике, причем только 5 из них пригодны для студентов экономического факультета. Студент наудачу выбирает 3 учебника. Какова вероятность того, что хотя бы один из учебников – тот, что нужен?

Всего три учебника из 15 можно выбрать: способами.

Ненужные учебники (из 10 шт.) могут быть выбраны: способами.

Вероятность того, что все учебники непригодны:

 

Поскольку события А – «хотя бы один учебник пригоден» и – «все три учебника непригодны» противоположны и составляют полную группу, то ,следовательно,

.

 

4. Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,7, второго – 0,8. Найти вероятность того, что в мишень попадет только один стрелок.

Так как два стрелка стреляют одновременно и независимо друг от друга, то, используя противоположные события «попадание – промах» и правило умножения вероятностей, получим следующие варианты событий:

‑ попадают оба стрелка: ;

‑ попадает первый стрелок и не попадает второй: ;

‑ попадает второй и промах у первого: ;

‑ промах обоих стрелков: .

Эти события образуют полную группу, т. к. .

Решением задачи, по правилу сложения, будет: .

 

5. Программа экзамена содержит 25 вопросов, из которых студент знает 20. Преподаватель последовательно задает три вопроса. Найти вероятность того, что студент сможет ответить на все вопросы А, В, С.

Вероятность того, что первый вопрос будет из числа известных студенту, равна .

Таким образом, остается 24 вопроса, 19 – известны. Следовательно, .

Аналогично, вероятность того, что студент ответит и на третий вопрос: .

Итак, вероятность отличной оценки:

.

 

6. В мешок, содержащий два шара неизвестного цвета, опущен белый шар. После встряхивания извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны любые предположения о цвете двух шаров, находившихся в мешке.

Пусть А – событие извлечения белого шара. Построим предположения о первоначальном составе шаров:

В _{1 –} белых шаров нет; В _{2 –} один белый шар из двух; В _{3 –} оба шара белые.

Так как гипотезы В ₁, В ₂ и В ₃ по условию равновероятны, то .

А теперь промоделируем извлечение:

‑ если в мешке первоначально не было белых шаров, то , так как только одно событие из трех благоприятно;

‑ в мешке уже был один белый шар, следовательно , так как уже два события из трех благоприятны;

‑ в мешке оба шара были белые: .

Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, найдем по формуле полной вероятности:

.

Два автомата производят одинаковые детали. Производительность первого автомата в два раза больше производительности второго. Вероятность производства отличной детали у первого автомата равна 0,60; у второго 0,84. Наудачу взятая для проверки деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Пусть А – событие: деталь отличного качества. Можно сделать две гипотезы:

В ₁ – деталь произведена первым автоматом. Тогда , так как этот автомат производит, по условию, деталей в два раза больше второго;

В ₂ – деталь изготовлена вторым автоматом, причем .

Условные вероятности того, что деталь произведена первым автоматом, по условию: , а вторым – .

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности:

.

Искомая вероятность того, что взятая деталь изготовлена первым автоматом, по формуле Байеса:

.

 

8.Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X
p	0,2	0,1	0,4	0,3

Построить многоугольник распределения.

В прямоугольной системе координат по оси x будем откладывать возможные значения x_i, а по оси y – вероятности этих значений. Построим точки ; ; и . Соединив эти точки отрезками, получим ответ.

9. Компьютер состоит из трех независимо работающих элементов: системного блока, монитора и клавиатуры. При резком однократном повышении напряжения вероятность отказа каждого элемента равна 0,1. Исходя из распределения Бернулли, составить закон распределения числа отказавших элементов при скачке напряжения в сети.

Возможные значения величины X (число отказов): x ₀ =0 – ни один из элементов не отказал; x ₁ =1 – отказ одного элемента; x ₂ =2 – отказ двух элементов; x ₃ =3 – отказ всех элементов.

 

Так как, по условию, p = 0,1, то q = 1 – p = 0,9 и используя формулу Бернулли, получим

,

Контроль: .

Следовательно, искомый закон распределения:

X
p	0,729	0,243	0,027	0,001

10. Случайная величина X задана интегральной функцией:

Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале .

 

Решение. Вероятность того, что X примет значение из заданного интервала, равно приращению интегральной функции в этом интервале, т.е. . В нашем случае и , поэтому

 

11. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X
P	0,6	0,1	0,3

Найти интегральную функцию F (x).

Так как интегральная функция строится последовательным суммированием вероятностей по интервалам, то:

при , т.к. здесь нет значений p;

при ;

при ;

при

По этим результатам легко построить ступенчатый график функции F(x).

 

12. Непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией распределения Найти вероятность того, что X примет значение, лежащее в интервале .

Воспользуемся формулой: .

Таким образом:

 

13. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

X	–5
p	0,4	0,3	0,1	0,2

Математическое ожидание: .

Запишем закон распределения X ²:

X 2
p	0,4	0,3	0,1	0,2

Математическое ожидание: .

Находим дисперсию: .

Стандарт

14. Непрерывная случайная величина задана в интервале дифференциальной функцией , а вне этого интервала . Найти ее числовые характеристики.

Математическое ожидание: .

Дисперсия: .

Стандарт:.

 

15.Найти числовые характеристики случайной величины X, равномерно распределенной в интервале .

Закон равномерного распределения в интервале имеет вид: , поэтому: ;

 

16. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины , а стандарт . Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение из интервала и записать закон распределения.

Подставляя в формулу закона и , после вычислений: .

Вероятность того, что X примет значение из интервала имеет вид:

,

где – функция Лапласа. Эта функция определяется с помощью таблиц (см. приложения в книгах [5-7] и др.). В нашем случае: .

По таблице: , откуда .

 

 

Вопросы для самоконтроля:

1. Случайные события и их классификация.

2. Классическое определение вероятности.

3. Статистическое определение вероятности.

4. Теорема сложения вероятностей.

5. Теорема умножения вероятностей.

6. Формула полной вероятности.

7. Формула Байеса.

8. Случайные величины и их виды.

9. Закон распределения случайной величины.

1. 9.Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

10. Интегральная функция распределения вероятностей.

11. Дифференциальная функция распределения вероятностей.

12. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин.

2. 13.Распределения: Бернулли, Пуассона, геометрическое, равномерное, нормальное, показательное.

 

Тренировочные задачи

 

1. Бросаются три игральных кубика. Определить вероятность появления ровно 8очков.

Ответ: 0,097

2. Среди 28 деталей имеются четыре бракованных. Произвольно вынимаются пять деталей. Какова вероятность того, что среди них хотя бы одна – бракованная?

Ответ: 0,57

3. Тест содержит 40 вопросов, причем студент может ответить на три четверти этих вопросов. Для получения тройки надо ответить подряд не менее чем на три вопроса, четверки – на четыре и пятерки – на пять. Определить вероятность получения студентом оценок 3, 4 и 5.

Ответ: 0,41; 0,30 и 0,22

4. Учебник по математике издан тиражом 250000 экз. Вероятность бракованного экземпляра . С помощью распределения Пуассона найти вероятность того, что в тираже будет ровно 4 бракованные книги.

Ответ: 0,015

5. Определить математическое ожидание, дисперсию и стандарт случайной величины X, если ее закон распределения задан таблицей:

Х		-4
Р	0,4	0,1	0,3	0,2

Ответ: 3,70; 15,81 и 3,98