Занятие № 20. Многошаговые методы Адамса

Цель - ознакомить студентов с многошаговыми методами Адамса решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Будем строить численные методы решения начальной задачи

(1)

(2)

Будем считать, что уже найдено несколько приближенных значений (j = 0,1,..., i) решения у=у(х) задачи (1)-(2) на равномерной сетке x_j=x₀ + jh, и нужно получить правило для вычисления очередного значения Для вывода таких правил используем интегро-интерполяционный подход. А именно, проинтегрировав левую и правую части уравнения (1) по промежутку [x_i, x_i₊₁], в полученном равенстве

(3)
под интеграл вместо функции f(x,у(х)) подставим интерполирующий ее многочлен Хотя выражение функции f(x,y(x)) как функции одной переменной х, вообще говоря, неизвестно, ее дискретные приближенные значения обозначаемые в дальнейшем для краткости f_j, при j=1, 2,..., j можно считать известными. В таком случае, дополняя эти известные значения пока что неизвестным значением можно построить таблицу конечных разностей (табл. 1), служащую основой для образования
интерполяционных многочленов к-й степени для интерполирования назад из точек

Таблица 1

Таблица конечных разностей для построения конечноразностных формул Адамса

При интерполировании назад из узла х_i, по второй интерполяционной формуле Ньютона имеем

(4)

(см.конечные разности, подчеркнутые в табл. 1 сплошной линией), а из узла x_i₊₁ по той же формуле получаем многочлен

(5)

(использующий разности, подчеркнутые пунктиром).

Подстановка многочленов в равенство (3) приводит к формулам для вычисления очередного значения вида

(6)

(7)

В результате применения к интегралам в (6) и (7) формулы Ньютона-Лейбница получается два семейства методов (с параметром k∈N₀), называемых многошаговыми методами Адамса. Рассмотрим по отдельности каждое из этих семейств.

Экстраполяционные методы Адамса-Башфорта. Чтобы подставить в (6) многочлен (4), зависящий от переменной сделаем в интеграле замену переменной всоответствии с которой

Тогда формула (6) может быть переписана в виде

(8)

где

(9)

Таким образом, на основе (8) получается следующая конечно-разностная формула, определяющая экстраполяционный метод Адамса-Башфорта:

(10)

Посмотрим, что представляют собой наиболее простые частные случаи метода Адамса-Башфорта, соответствующие нескольким первым значениям параметра к в формуле (8). Сразу заметим, что при фиксировании к = 0,1, 2,... в (8) тем самым задается степень интерполяционного многочлена (нулевая, первая, вторая и т.д.) и, соответственно, число слагаемых, равное 1, 2, 3, в правой части (9) (или, что то же, в скобках формулы (10)). Конечные разности в получающихся при этом конкретных формулах будем раскрывать через значения функции, приводя формулы к виду, называемому иногда ординатным. Имеем:

при к = 0 (11)

при к = 1

(12)

при к =2

(13)

при k = 3

(14)

Формулы (11), (12), (13) и (14) определяют методы Адамса-Башфорта соответственно первого, второго, третьего и четвертого порядков. Относительно порядка метода (11) сомнений нет: мы узнаём метод Эйлера (8).

Интерполяционные методы Адамса-Моултона. В интеграле, фигурирующем в формуле (7), делаем замену
x=x_i₊₁+qh и подставляем в него выражение определяемое формулой (5). Приходим к аналогичному (8) равенству

где

(15)

Отсюда следует конечноразностная формула интерполяционного метода Адамса-Моултона

(16)

Аналогично тому, как это делалось для методов Адамса-Башфорта, при к= 0, 1, 2,3, т.е. фиксированием одного, двух, трех, четырех членов в представлении (15) интеграла получаем следующие частные формулы:

при к= 0 (17)

при к = 1 (18)

при к=2 (19)

при к= 3

(20)

Формулы (17) и (18) определяют уже известные нам методы, а именно, неявный метод Эйлера (14) и метод трапеций (15), имеющие первый и второй порядки точности соответственно. Заметим, что оба эти метода являются одношаговыми, а следующие за ними методы Адамса-Моултона (19) и (20) третьего и четвертого порядков относятся, как легко видеть, соответственно к двухшаговым и трехшаговым методам. Таким образом, для интерполяционных методов Адамса-Моултона порядок шаговости на единицу ниже порядка точности метода (за тривиальным исключением, отвечающим случаю к = 0).

Важное различие в экстраполяционных и интерполяционных методах Адамса заключается в том, что первые из них являются явными, а вторые — неявными. Эти термины однозначно определяют, о каком из двух семейств методов Адамса идет речь, а их сущность диктует особенности использования методов Адамса при практических расчетах, что найдет отражение в следующем параграфе.