Обратное преобразование

(Слайд 11).

Выполнив прямое преобразование, бывает нужно вернуть объект назад. В общем случае это осуществляют посредством обратной матрицы. Если определитель квадратной матрицы не равен нулю, то такая матрица имеет и обратную ей, причём справедливо

Т ∙ Т־¹ = 1.

Обратная матрица считается по известной формуле

А־¹ = ∙ , здесь |А| - определитель матрицы А, число; а матрица преобразования составлена из алгебраических дополнений матрицы А и затем транспонирована.

Для нашего примера матрица обратного преобразования в свёрнутом виде запишется так:

Т־¹ = или

слайд 11 – Обратные аффинные преобразования.

Его содержание:

 

 

6 Что может подвергаться преобразованиям в геометрических моделях?

 

Выделим три опорных момента. Подвергать преобразованиям можно

1. Точки. Они задают геометрическую модель как таковую.

 

2. Направление. Например, надо задать (определить) направление быстро движущегося объекта к точке, находящейся вне поля зрения наблюдателя (за пределом экрана, в большой удалённости от места действия, в ∞-и). На направление влияют только коэффициенты a, b, c и d. Коэффициенты l и m в преобразовании не участвуют, нет точки, которую надо переносить (Слайд 12).

 

3. Нормали. Это векторы направления перпендикулярные некоторому другому заданному направлению Их преобразование в одной и той же системе координат отличается от преобразования вектора, к которому эта нормаль перпендикулярна. Содержание слайда 12 приведено ниже

 

· точка (радиус-вектор) (p):

 

· вектор (v) и нормаль (n)

(только направление, w=0)

 

 

Преобразования точек, векторов и нормалей можно записать так

 

С нормалями всё не так. Это видно из изображения (рис. выше), слайд 12. Базовый объект промасштабирован по оси x в 2 раза и все точки переместились по оси x также в 2 раза. Если это распространить на нормаль, то она станет почти параллельна оси x. А это совсем неверно (на слайде выше показана зелёной стрелкой). В этом частном случае надо нормаль оттянуть назад к оси y. И надо понять – какую матрицу преобразования следует применить к нормали, чтобы выполнить прямое преобразование объекта, сохранив! требуемое направление нормали. На слайде 13 ( ниже приведено его содержание) дан вывод соответствующего преобразования..

Первые три уравнения – есть постановка задачи: а) что известно из теории - скалярное произведение перпендикулярных друг другу векторов равно 0; б) требуется найти матрицу Q преобразования нормали n, если матрица преобразования вектора v – M_transform известна

 

 

Решение задачи:

 

 

Поясним.

Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю. И оно должно оставаться таким и после преобразования,т.е.:

n ∙ v = 0 и

n' ∙ v' = 0,

 

Задача состоит в нахождении матрицы преобразования направления нормали, если известна матрица преобразования вектора, к которому эта нормаль перпендикулярна. Известно, что скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов равно нулю.

Так как

n' = n ∙ Q _transform, а v' = v ∙ M _transform,

то (n ∙ Q _{t ransform} ) ∙ (v ∙ M^Т _transform) = 0

Зададим значения координат для нормали n и вектора v: пусть n = (A, B), а v = (x, y), здесь А и В – координаты вектора нормали; тогда из последней формулы можно составить уравнение, в котором в силу ассоциативности переставлены скобки

 

(A B 0) ∙ (Q _transform ∙ M^Т _tranмsform) ∙ (x y 0)^Т = 0.

 

Это уравнение справедливо, а так как Q _transform ∙ M^Т _transform = E = 1, то из него найдём

 

Q _transform = (M־¹_transform)^Т.

 

Таким образом, для преобразования нормали n одновременно с преобразованием вектора v надо применить не прямую матрицу M преобразования, а ей обратную транспонированную.

 

Замечание. Варианты нотации записи. Слайд 14. Матрица – это способ хранения информации и в КГ, в программных продуктах уравнения преобразования записывают как вектор-строка умноженная скалярно на матрицу преобразования.

Математики традиционно используют запись через вектор-столбец. Это надо иметь ввиду. С точки зрения логики КГ удобнее писать формулы преобразования как для вектора-строки. Машине же безразлично как эти матрицы составлены.

Если выполняется одно преобразование, то для вектор-строки соответствует первая запись из приведенных ниже, а для вектора-столбца – вторая.

 

 

Если выполняется композиция преобразований, то соответственно этому записи имеют вид:

Во второй записи последовательность преобразования обратная действительной последовательности.