Математическая обработка ряда неравноточных измерений

 

Цель работы. Практическое усвоение формул обработки неравноточных измерений одной величины, усвоение методов определения наиболее точного или вероятного значения вымеренной величины, оценки точности неравноточных измерений.

Исходные данные. Номер варианта соответствует номеру в журнале.

Состав задачи. В результате повторных неравноточных измерений величины Х получен ряд результатов.

х₁, х₂,............, х_n со средними квадратическими ошибками

m₁, m₂,..........., m_n

 

 

По результатам измерений надо вычислить наиболее надежное значение измеренной величины. Определить средние квадратичные ошибки единицы веса и среднего весового, оценить точность их определения. Выполнить доверительное оценивание истинного значения измеренной величины, средних квадратичных отклонений единицы веса и среднего квадратичного отклонения среднего весового при заданной доверительной вероятности β.

 

Порядок выполнения задачи.

1. Значение веса измерений находится за формулой

 

Р_i = С / m_і², (2.1)

 

где m_і – средняя квадратичная ошибка измерения, а постоянную С выбираются таким образом, чтобы значение весов были близки к единице, например так

 

С =(m²_max.-1 + m²_min+1)/2,

 

 

где m_max-1 и m_min+1,соответственно, вторая перед самой большой и после наименьшей средней квадратической ошибки.

2. Определяется наиболее надежное из ряда неравноточных измерений как среднее весовое за формулой

 

 

(2.2)

 

 

где х _и – вымеренное значение, р _и – его вес.

Как и в предыдущей работе, вместо формулы (2.2) для определения среднего весового используют более удобную формулу

 

 

. (2.3)

 

 

где x _в - условное значение близкое к вымеренным значениям, ε_і - вычисляют за формулой

 

 

ε _i = х _и - х _об, (2.4)

 

 

где х _и – вымеренное значение.

Чтобы не накапливать ошибки округления, среднее вычисляют с числом десятинных знаков хоть на два больше, чем их есть в вымеренных значениях х _и. Потом округлюють это значение, получая _окр., где удерживают на один десятинный знак больше, чем у х _і. Ошибка округления определяется по формуле

 

 

(2.5)

 

 

2.Вычисляют отклонение вымеренного значения х_і от среднего весового

 

 

(2.6)

 

 

и выполняют 1 контроль

 

 

(2.7)

 

 

3.Вычисляют [ р v ² ] с контролем (2 контроль)

 

 

(2.8)

 

 

4. Определяют средние квадратичные ошибки.

а) ошибку единицы веса за формулой Беселя

 

 

(2.9)

 

 

б) среднюю квадратичную ошибку среднего весового

 

 

; (2.10)

 

 

в) среднюю квадратичную ошибку ошибки единицы веса

 

 

; (2.11)

 

 

г) среднюю квадратичную ошибку средней квадратичной ошибки среднего весового

 

 

. (2.12)

 

 

5.Определяют доверительные интервалы для

а) возможного значения истинной величины

 

 

(2.13)

 

 

где параметр tβ выбирают из таблиц распределения Сьюдента (например, приложение V в [ 1 ]) за заданной доверительной вероятностью β и числом степеней вольности k = n – 1;

б) среднего квадратичного отклонения единицы веса

 

 

(2.14)

 

 

в)среднего квадратичного отклонения среднего весового

 

 

(2.15)

 

 

где m и М средние квадратичные ошибки вычислены за формулами (2.9) и (2.10). Коэффициенты γ₁ и γ ₂ выбирают из таблиц (приложение VIII в [ l ]).

 

 

Пример. Приведенные результаты измерений длины линии и их средние квадратичные ошибки. По результатам измерений выполнить обработку ряда нерівноточних измерений. Доверительные оценки получить с вероятностью 0,95.

Вычисление согласно приведенным выше формулам выполним в таблице 2.1.

 

Таблица 2.1

№ п/п	Вымеренное значение	С.к.о. mі	Весы рі	ε, мм	v, мм	ε2,мм2	v2, мм2	Контрольные вычисления
	208,117	2,2	1,0	4,3	-0,64	18,49	0,4096	βо = - 0,002
	208,126	1,9	1,4	3,6	-1,34	12,96	1,7956	1 контроль
	208,135	4,8	0,21	7,7	2,76	59,29	7,6176	0,02 ≤ 0,024
	208,130	1,6	1,9	3,2	-1,74	10,24	3,0276	2 контроль
	208,119	2,9	0,58	3,4	-1,54	11,56	2,3716	23,509 = 23,509
	208,122	3,0		4,3	-0,64	18,49	0,4096
	208,131	3,9		5,3	0,36	28,09	0,1296
	208,116	1,6		4,5	-0,44	20,25	0,1936
	208,119	1,1		6,3	1,36	39,69	1,8496
	208,114	3,9		4,6			0,1156		-0,34	21,16
Σ				4,3	0,02	316,55	23,509

 

За формулами (1.2 – 1.11) вычисляем

Среднее арифметическое

 

 

 

Среднее арифметическое округленное

 

 

 

 

Контроли 1 и 2 приведены в таблицы 1.1.

Среднюю квадратичную ошибку отдельного измерения за формулой Беселя

 

 

 

 

Среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического

 

 

 

 

Среднюю квадратичную ошибку средней квадратичной ошибки

 

 

 

 

Среднюю квадратичную ошибку средней квадратичной ошибки

среднего арифметического

 

 

 

 

Сравним значение средних квадратичных ошибок m и M, и их средних квадратичных ошибок mm и mm. Из сравнения видно, что при вычислении средних квадратичных ошибок достаточно оставлять две значащие цифры, при этом вторая цифра уже неточная.

Вычисляем доверительные интервалы

- доверительный интервал для истинного значения вымеренной величины:

 

Значение tβ найдем по доверительной вероятности β = 0,95 за числом степеней вольности k = 12―1 = 11, за таблицами распределения Сьюдента, например с приложению V [ 1 ], tβ = 2,2.

 

154^в39'34,”942 – 2,2*0,42≤ Х ≤ 154^в39'34,”942 + 2,2*0,42 или

154^в39'34,”0,018≤ Х ≤ 154^в39'35,”866

 

б) среднего квадратичного отклонения отдельного измерения

 

 

Значение. γ₁ и γ ₂ найдем за доверительной вероятностью β = 0,95 за числом степеней вольности k = 12―1 = 11, из таблиц, например с приложению. VIII в [ l ]),. γ₁ = 0,708 и γ ₂ =1,698.

 

1,5 * 0,708 ≤ σ ≤ 1,5 * 1,698 или

1,06″ ≤ σ ≤ 2,55 ″

 

в)среднего квадратичного отклонения среднего арифметического

 

0,42 *0,708 0,42*1,698 или

0,30″ 0,71″

 

Вывод:

Наиболее точным значением вымеренной величины есть

Его средняя квадратичная ошибка представляет

Истинное значение вымеренной величины с вероятностью 0,95 принадлежит интервалу

154^в39'34,02″≤ Х ≤ 154^в39'35,87″

Средняя квадратичная ошибка измерения в приведенном ряде представляет

m = 1,5″

 

 

Вариант 1

1 100 01 29.3

2 100 01 25.8

3 100 01 24.7

4 100 01 13.6

5 100 01 18.6

6 100 01 15.8

7 100 01 19.0

8 100 01 21.8

9 100 01 22.6

10 100 01 22.3

11 100 01 24.0

12 100 01 19.4

-----------------------------------------------------------------

Вариант 2

1 154 39 34.3

2 154 39 33.6

3 154 39 37.7

4 154 39 33.2

5 154 39 33.4

6 154 39 39.5

7 154 39 32.0

8 154 39 33.4

9 154 39 36.4

 

10 154 39 34.7

11 154 39 37.3

12 154 39 32.5

-----------------------------------------------------------------

Вариант 3

1 141 24 36.7

2 141 24 39.3

3 141 24 32.2

4 141 24 37.9

5 141 24 37.2

6 141 24 35.0

7 141 24 40.8

8 141 24 37.9

9 141 24 35.4

10 141 24 40.8

11 141 24 37.0

12 141 24 43.0

-----------------------------------------------------------------

Вариант 4

1 188 50 56.2

2 188 50 54.1

3 188 51 01.7

4 188 50 58.6

5 188 50 46.4

6 188 50 53.7

7 188 51 00.0

8 188 50 53.3

9 188 50 51.0

10 188 50 58.8

11 188 51 01.5

12 188 50 56.8

-----------------------------------------------------------------

Вариант 5

1 195 16 20.7

2 195 16 23.8

3 195 16 15.3

4 195 16 19.9

5 195 16 15.6

6 195 16 10.4

7 195 16 14.9

8 195 16 18.2

9 195 16 17.5

10 195 16 25.4

11 195 16 17.2

12 195 16 17.4

-----------------------------------------------------------------

Вариант 6

1 166 25 41.3

2 166 25 44.7

3 166 25 42.9

4 166 25 43.8

5 166 25 40.9

6 166 25 46.0

7 166 25 45.4

8 166 25 44.7

9 166 25 41.0

10 166 25 44.2

11 166 25 43.6

12 166 25 42.4

-----------------------------------------------------------------

Вариант 7

1 146 03 33.6

2 146 03 33.0

3 146 03 35.2

4 146 03 35.5

5 146 03 33.1

6 146 03 33.1

7 146 03 32.9

8 146 03 31.9

9 146 03 36.1

10 146 03 31.8

11 146 03 35.6

12 146 03 35.8

-----------------------------------------------------------------

Вариант 8

1 127 21 26.7

2 127 21 24.9

3 127 21 24.4

4 127 21 27.2

5 127 21 23.7

6 127 21 27.1

7 127 21 26.3

8 127 21 24.7

9 127 21 24.2

10 127 21 23.1

11 127 21 25.8

12 127 21 27.4

-----------------------------------------------------------------

Вариант 9

1 149 54 37.4

2 149 54 45.2

3 149 54 44.0

4 149 54 44.7

5 149 54 42.3

6 149 54 44.1

7 149 54 41.5

8 149 54 38.4

9 149 54 40.7

10 149 54 36.2

11 149 54 44.9

12 149 54 40.9

-----------------------------------------------------------------

Вариант 10

1 129 01 35.6

2 129 01 43.5

3 129 01 39.9

4 129 01 42.9

5 129 01 37.6

6 129 01 35.6

7 129 01 32.4

8 129 01 34.3

9 129 01 32.9

10 129 01 38.8

11 129 01 36.2

12 129 01 43.3

-----------------------------------------------------------------

Вариант 11

1 174 14 34.6

2 174 14 30.7

3 174 14 30.3

4 174 14 31.9

5 174 14 30.2

6 174 14 34.4

7 174 14 29.4

8 174 14 28.6

9 174 14 32.8

10 174 14 33.7

11 174 14 32.2

12 174 14 33.7

-----------------------------------------------------------------

Вариант 12

1 168 50 28.7

2 168 50 35.5

3 168 50 31.6

4 168 50 20.8

5 168 50 28.9

6 168 50 33.8

7 168 50 24.4

8 168 50 28.0

9 168 50 30.9

10 168 50 31.4

11 168 50 28.8

12 168 50 32.7

-----------------------------------------------------------------

Вариант 13

1 144 14 56.4

2 144 14 55.9

3 144 14 55.1

4 144 14 54.6

5 144 14 52.3

6 144 14 55.2

7 144 14 55.4

 

8 144 14 55.5

9 144 14 55.0

10 144 14 56.9

11 144 14 52.7

12 144 14 56.1

-----------------------------------------------------------------

Вариант 14

1 175 27 49.0

2 175 27 46.6

3 175 27 52.0

4 175 27 58.2

5 175 27 49.9

6 175 27 58.3

7 175 27 54.9

8 175 27 52.1

9 175 27 54.2

10 175 27 54.3

11 175 27 58.6

12 175 27 48.8

-----------------------------------------------------------------

Вариант 15

1 146 43 07.2

2 146 43 07.2

3 146 43 07.4

4 146 43 04.7

5 146 43 08.5

6 146 43 05.5

7 146 43 08.0

8 146 43 12.3

9 146 43 12.6

10 146 43 06.6

11 146 43 01.8

12 146 43 11.9

-----------------------------------------------------------------

Вариант 16

1 194 26 45.1

2 194 26 43.6

3 194 26 44.2

4 194 26 42.0

5 194 26 39.4

6 194 26 39.0

7 194 26 42.6

8 194 26 41.7

9 194 26 46.6

10 194 26 40.9

11 194 26 42.2

12 194 26 32.9

-----------------------------------------------------------------

Вариант 17

1 127 50 26.0

2 127 50 24.0

3 127 50 25.4

4 127 50 26.1

5 127 50 22.8

6 127 50 24.1

7 127 50 25.6

8 127 50 24.0

9 127 50 21.9

10 127 50 25.5

11 127 50 31.4

12 127 50 24.9

-----------------------------------------------------------------

Вариант 18

1 149 33 54.1

2 149 33 49.5

3 149 33 50.6

4 149 33 53.7

5 149 33 50.3

6 149 33 53.6

7 149 33 52.5

8 149 33 48.2

9 149 33 53.2

10 149 33 54.0

11 149 33 53.5

12 149 33 51.4

-----------------------------------------------------------------

Вариант 19

1 171 49 21.6

2 171 49 22.0

3 171 49 22.2

4 171 49 23.3

5 171 49 22.6

6 171 49 19.3

7 171 49 20.6

8 171 49 21.2

9 171 49 19.6

10 171 49 18.8

11 171 49 25.0

12 171 49 19.7

-----------------------------------------------------------------

Вариант 20

1 176 42 44.4

2 176 42 46.0

3 176 42 49.0

4 176 42 45.4

5 176 42 48.0

6 176 42 46.3

7 176 42 43.2

8 176 42 44.6

9 176 42 38.3

10 176 42 46.3

11 176 42 49.3

12 176 42 49.6

-----------------------------------------------------------------

Вариант 21

1 156 56 17.6

2 156 56 09.6

3 156 56 05.6

4 156 56 15.6

5 156 56 19.2

6 156 56 08.8

7 156 56 09.2

8 156 56 19.3

9 156 56 15.8

10 156 56 24.5

11 156 56 12.0

12 156 56 13.9

-----------------------------------------------------------------

Вариант 22

1 158 09 11.5

2 158 09 02.3

3 158 09 14.6

4 158 09 09.0

5 158 09 07.0

6 158 09 12.9

7 158 09 10.8

8 158 09 13.9

9 158 08 57.9

10 158 09 03.6

11 158 09 08.9

12 158 09 05.8

-----------------------------------------------------------------

Вариант 23

1 194 26 35.4

2 194 26 31.7

3 194 26 32.7

4 194 26 36.0

5 194 26 37.1

6 194 26 32.5

7 194 26 27.9

8 194 26 33.8

9 194 26 41.5

10 194 26 33.6

11 194 26 37.2

12 194 26 34.1

-----------------------------------------------------------------

Вариант 24

1 117 45 05.3

2 117 45 04.7

3 117 45 13.5

4 117 45 12.0

5 117 45 08.8

6 117 45 13.2

7 117 45 14.3

8 117 45 08.7

9 117 45 09.2

10 117 45 06.1

11 117 45 15.1

12 117 45 10.9

-----------------------------------------------------------------

Вариант 25

1 148 30 19.8

2 148 30 30.3

3 148 30 23.9

 

4 148 30 30.7

5 148 30 23.6

6 148 30 24.8

7 148 30 25.0

8 148 30 27.0

9 148 30 24.5

10 148 30 26.6

11 148 30 25.0

12 148 30 33.5

-----------------------------------------------------------------

Вариант 26

1 112 13 01.2

2 112 13 00.1

3 112 13 04.2

4 112 13 07.0

5 112 13 04.0

6 112 13 02.3

7 112 13 05.2

8 112 13 08.0

9 112 13 02.4

10 112 13 07.3

11 112 12 59.8

12 112 12 58.3

-----------------------------------------------------------------

Вариант 27

1 136 21 25.1

2 136 21 25.0

3 136 21 29.8

4 136 21 24.1

5 136 21 29.1

6 136 21 28.3

7 136 21 25.3

8 136 21 24.9

9 136 21 24.5

10 136 21 28.0

11 136 21 22.2

12 136 21 25.0

-----------------------------------------------------------------

Вариант 28

1 196 29 24.8

2 196 29 29.4

3 196 29 26.0

4 196 29 26.6

5 196 29 23.0

6 196 29 26.1

7 196 29 26.4

8 196 29 27.0

9 196 29 25.2

10 196 29 26.9

11 196 29 26.3

12 196 29 24.8

-----------------------------------------------------------------

Вариант 29

1 115 25 42.3

2 115 25 39.7

3 115 25 40.6

4 115 25 35.2

5 115 25 37.8

6 115 25 42.5

7 115 25 40.7

8 115 25 42.5

9 115 25 41.7

10 115 25 40.1

11 115 25 40.3

12 115 25 41.8

-----------------------------------------------------------------

Вариант 30

1 169 07 44.8

2 169 07 53.1

3 169 07 51.5

4 169 07 44.7

5 169 07 50.7

6 169 07 46.1

7 169 07 46.0

8 169 07 53.9

9 169 07 47.9

10 169 07 49.1

11 169 07 51.3

12 169 07 44.8

-----------------------------------------------------------------

Вариант 31

1 139 25 39.1

2 139 25 39.6

3 139 25 37.5

4 139 25 35.4

5 139 25 38.5

6 139 25 39.9

7 139 25 40.6

8 139 25 44.5

9 139 25 42.2

10 139 25 38.9

11 139 25 37.3

12 139 25 41.4

-----------------------------------------------------------------

Вариант 32

1 109 46 49.0

2 109 46 38.1

3 109 46 40.6

4 109 46 47.8

5 109 46 39.2

6 109 46 44.1

7 109 46 43.6

8 109 46 49.3

9 109 46 38.8

10 109 46 43.8

11 109 46 45.2

12 109 46 43.3

-----------------------------------------------------------------

Вариант 33

1 113 43 24.6

2 113 43 23.6

3 113 43 21.5

4 113 43 23.4

5 113 43 21.9

6 113 43 22.0

7 113 43 19.1

8 113 43 24.6

9 113 43 22.5

10 113 43 20.5

11 113 43 21.1

12 113 43 20.2

-----------------------------------------------------------------

Вариант 34

1 178 45 27.7

2 178 45 30.7

3 178 45 26.0

4 178 45 27.6

5 178 45 31.2

6 178 45 32.1

7 178 45 31.0

8 178 45 28.3

9 178 45 23.3

10 178 45 31.3

11 178 45 25.7

12 178 45 26.7

-----------------------------------------------------------------

Вариант 35

1 110 39 05.7

2 110 39 16.7

3 110 39 09.5

4 110 39 07.6

5 110 39 06.5

6 110 39 10.3

7 110 39 04.5

8 110 39 10.2

9 110 39 08.8

10 110 39 04.3

11 110 39 14.2

12 110 39 05.1

-----------------------------------------------------------------

Вариант 36

1 118 38 04.2

2 118 38 06.6

3 118 38 04.0

4 118 38 07.8

5 118 38 04.8

6 118 37 57.9

7 118 38 07.8

8 118 38 07.0

9 118 38 06.8

10 118 38 03.7

11 118 38 05.2

12 118 38 01.5

-----------------------------------------------------------------

Вариант 37

1 185 48 26.9

2 185 48 26.1

3 185 48 30.5

4 185 48 26.4

5 185 48 28.7

6 185 48 28.8

7 185 48 26.6

8 185 48 23.3

9 185 48 25.0

10 185 48 28.7

11 185 48 34.5

12 185 48 27.1

-----------------------------------------------------------------

Вариант 38

1 122 49 41.5

2 122 49 43.7

3 122 49 46.7

4 122 49 42.2

5 122 49 42.6

6 122 49 42.7

7 122 49 42.8

8 122 49 40.7

9 122 49 42.3

10 122 49 40.1

11 122 49 40.8

12 122 49 41.6

-----------------------------------------------------------------

Вариант 39

1 162 32 58.8

2 162 33 00.3

3 162 32 58.3

4 162 33 04.6

5 162 33 01.2

6 162 33 04.9

7 162 33 02.2

8 162 33 01.5

9 162 33 01.3

10 162 33 00.3

11 162 33 01.9

12 162 32 58.4

-----------------------------------------------------------------

Вариант 40

1 189 24 08.1

2 189 24 18.6

3 189 24 02.0

4 189 24 11.9

5 189 24 08.5

6 189 24 11.0

7 189 24 10.3

8 189 24 22.3

9 189 24 08.7

10 189 24 08.2

11 189 24 02.3

12 189 24 14.0

-----------------------------------------------------------------