Методические указания к заданию №2. Контрольное домашнее задание №3

ИЗГИБ

 

Контрольное домашнее задание №3

 

Для двух балок, показанных на рис.4 (четный вариант) или на рис.5 (нечетный вариант), для заданного варианта:

1) построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов . Описать и проверить все правила построения эпюр Q и ;

2) определить опасное сечение шарнирно опертой балки и найти ;

3) подобрать размеры (рис.8): a - для квадратного сечения, диаметр D для круглого сечения и диаметр D - для трубчатого сечения при принимая . Сравнить массы балок с различными рассмотренными сечениями;

4) найти для шарнирно опертой балки квадратного сечения с размером а, вычисленным в пункте 3;

5) определить для сложного сечения (рис.8) консольной балки.

 

Методические указания к заданию №2

 

1. По указанному варианту формируется конкретная расчетная схема, и определяются все исходные данные с использованием рис.4¸6 и таблицы 3 (аналогично заданию №1). Например, при варианте 516 из таблицы 3 находим внешние нагрузки (силы) Р ₁ и Р ₂ и момент М - Р ₁ = 15кН, Р ₂ = 5кН, М = -15кН×м.

По знакам сил определяются их направления (вверх - если сила положительная и вниз – если отрицательная); положительный внешний момент М действует против часовой стрелки, отрицательный – по часовой. После указания направлении сил и моментов на расчетных схемах, все они при вычислениях рассматриваются как положительные величины. Далее находятся длины участков балок l ₁ = 1,4м, l ₂ = 0,5м, l ₃ = 1,6м и размеры сложного сечения h ₁ = 0,10м, h ₂ = 0,02м, b = 0,12м. По найденным величинам с соблюдением масштабов строятся расчетные схемы балок для заданного варианта.

Методом сечений строятся эпюры Q и . При этом предварительно определяются реакции опор (заделки) из условий статики и обязательно осуществляется проверка правильности определения реакций. Следует обратить внимание, что в опорах возникают реакции только в виде сил, а в заделке в виде силы и момента. Уравнения статики удобнее составлять в виде равенства нулю двух моментов, а равенство нулю всех сил, включая и силы реакции, использовать для проверки. При построении эпюр Q и используются правила знаков сопротивления материалов, отличные от правил знаков теоретической механики, используемых в уравнениях статики.

После построения эпюр Q и проверить и описать правильность их построения, используя правила, вытекающие из диффренциальных соотношений для Q и . Например, одно из правил гласит, что в месте приложения сосредоточенной силы, на эпюре Q отмечается скачок на величину и в направлении приложенной силы, а на эпюре _. – излом, направленный своим острием навстречу сосредоточенной силе. Это правило нужно проверить для сил Р ₁, P ₂ и сил реакции, и описать результаты проверки (см. раздел 6).

2. Опасное сечение определяется по месту расположения максимального по модулю значения на эпюре .

3. Подбор размеров осуществляется по формуле

 

,

 

где момент сопротивления W выражается через размеры сечений. При сравнении массы балок, считать что они имеют одинаковую длину и сделаны из одного и того же материала где F площадь сечений, l - длина балки, r - плотность материала (материал выбрать по своему усмотрению).

4. Величина находится по формуле Журавского

 

В задании надо описать и вычислить все величины, входящие в эту формулу и определить во сколько раз больше средней величины . Значение взять из эпюры поперечных сил для консольной балки квадратного сечения.

5. Величина максимального нормального напряжения для сложного сечения вычисляется по формуле

 

,

 

где берется из эпюры для консольной балки.

Момент сопротивления сложного сечения вычисляется через сумму (разность) моментов инерции простых фигур, составляющих сложное сечение. Предварительно находится положение центра тяжести сложного сечения по формуле:

 

 

где y_{С , i} – координаты центров тяжести простых фигур, измеряемые относительно общей для всех фигур оси Z; S_i – статические моменты инерции, а F_i – площади простых фигур. Рекомендуется нанести точку центра тяжести на фигуре и оценить физичность ее расположения. Далее вычисляются осевые моменты инерции J_Zi простых фигур с использованием, при необходимости, формул пересчета при параллельном переносе осей. Моменты инерции простых фигур вычисляются относительно общей для всех фигур оси Z; после этого и находится . По формулам пересчета при параллельном переносе осей определяется главный центральный момент инерции сложного сечения относительно оси Z_С, проходящей через центр тяжести сечения,

 

 

и рассчитывается момент сопротивления

 

 

Величина определяется относительно центральной оси Z_С, проходящей через центр тяжести сечения с координатой y_С.

Рассмотрим в качестве первого примера порядок построения эпюр Q и М консольной балки (рис.6).

1. Обозначаем реакции в заделе R_А и М_А, направляя их соответственно вверх и против часовой стрелки. Составляем уравнения равновесия с использованием правила знаков теоретической механики (положительными являются силы, направленные вверх и моменты – против часовой стрелки).

 

 

и находим R_A = 5, M_A = 0.

Делаем проверку:

 

 

Если реакции оказываются отрицательными, то необходимо одновременно изменить их знак на плюс и направление на чертеже.

2. Разбиваем балку на участки I, II, III цифрами 1-2, 2-3, 3-4 границы участков. Промежутки между участками на рис. 6 показаны для наглядности.

3. Определяем значения Q и М на границах участков, начиная с левого или с правого конца. Заметим, что если идти со свободного конца, то реакции предварительно можно не рассчитывать. При определении величин Q и М используем правила знаков сопротивления материалов.

Вычисления (размерности сил Q и моментов M не указаны):

Участок I

Q ₁ = R_A = 5, Q ₂ = R_A = 5

M ₁ = M_A + R _A × 0 = 0, M ₂ = M ₂ + R_A × l ₁ = 5

УчастокII

Q ₂ = R_A - P ₁ = -5, Q ₃ = R_A - P ₁ = -5

M ₂ = M_A + R_Al ₁ - P ₁ × 0 = 5

M ₃ = M_A + R_A (l ₁ + l ₂) - P ₁ l ₂ = -5

Участок III

Q ₃ = R_A - P ₁ = -5, Q ₄ = R_A - P ₁ = -5

M ₃ = M_A + R_A (l ₁ + l ₂) - P ₁ × l ₂ + M = 15

M ₄ = M_A + R_A (l ₁ + l ₂ + l ₃) - P ₁(l ₂ + l ₃) + M = 0

4. По найденным значениям Q и М на границах участков строим соответствующие эпюры и проводим их анализ.

Если идти с правого конца, то будем иметь:

Участок III

Q ₄ = - P ₂, Q ₃ = - P ₂ = -5,

М ₄ = P ₂ × 0, M ₃ = P ₂ × l ₃ = 15

 

 

Участок II

Q ₃ = - P ₂ = -5, Q ₂ = - P ₂ = -5

M ₃ = P ₂ × l ₃ - M = -5, M ₂ = P ₂(l ₂ + l ₃) - M = 5

 

Участок I

Q ₂ = - P ₂ + P ₁ = 5, Q ₁ = - P ₂ + P ₁ = 5,

M ₂ = P ₂(l ₂ + l ₃) - M - P ₁ × 0 = 5, M ₁ = P ₂(l ₁ + l ₂ + l ₃) - M - P ₁ × l ₁ = 0

 

Для шарнирно-опертой балки (рис.7) соответствующие вычисления выполняются следующим образом:

1. S M_A = R_A × 0 - P ₁ l ₁ - M + R_B (l ₁ + l ₂ + l ₃) = 0

S M_B = - R_A (l ₁ + l ₂ + l ₃) + P ₁(l ₂ + l ₃) – M + R_B × 0 = 0

R_B = 5, R_A = 5

Проверка: S Y = R_A - P ₁ + R_B = 0 (верно!)

Если реакции оказываются отрицательными, то необходимо одновременно изменить их знак и направление на чертеже

 

2. Разбиваем балку на участки I, II, III и нумеруем их границы 1-2, 2-3, 3-4.

 

3. Определяем значения Q и М на границах участков:

 

Участок I

Q ₁ = R_A = 5, Q ₂ = R_A = 5

M ₁ = R_A × 0 = 0, M ₂ = R_A × l ₁ = 5

 

УчастокII

Q ₂ = R_A - P ₁ = -5, Q₃ = R_A - P ₁ = -5

M ₂ = R_Al ₁ - P ₁ = 0 = 5,

M ₃ = R₁(l ₁ + l ₂) - P ₁ l ₂ = -5

 

Участок III

Q ₃ = R_A - P ₁ = -5, Q ₄ = R_A - P ₁ = -5,

M ₃ = R_A (l ₁ + l ₂) - P ₁ l ₂ + M = 15

M ₄ = R_A (l ₁ + l ₂ + l ₃) - P ₁(l ₂ + l ₃) + M = 0

 

4. Строим по данным значениям (точкам) эпюры Q и М и проводим их анализ. Если идти с правого конца, то будем иметь

 

Участок III

Q ₄ = - R_B = -5, Q ₃ = - R_C = -5,

M ₄ = R_B × 0 = 0, M ₃ = R_B × l ₃ = 15

 

 

Участок II

Q ₃ = - R_B = -5, Q ₂ = - R_B = -5,

M ₃ = R_B × l ₃ – M = -5, M ₂ = R_B (l ₃ + l ₂) – M = 5

Участок I

Q ₂ = - R_B + P ₁ = 5, Q ₁ = - R_B + P ₁ = 5,

M ₂ = R_B (l ₃ + l ₂) - P ₁ × 0 – M = 5, M ₁ = R_B (l ₃ + l ₂ + l ₁) - P ₁ × l ₁ - M = 0.