Задача 4. Два одинаковых конденсатора, заполненных диэлектриком (ε = 2), соединены последовательно и подключены к источнику тока с напряжением U

 

Два одинаковых конденсатора, заполненных диэлектриком (ε = 2), соединены последовательно и подключены к источнику тока с напряжением U. Во сколько раз и как изменятся электроёмкость системы и суммарная энергия электрического поля конденсаторов, если вынуть пластинку диэлектрика из одного из конденсаторов?

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 120

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВНУТРЕННЕГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ ПО МЕТОДУ СТОКСА

 

1. ТЕОРИЯ МЕТОДА

 

Вязкостью или внутренним трением называется особое свойство жидкости, заключающееся в том, что при перемещении одной части жидкости относительно другой возникает сила, направленная против скорости этого относительного движения. Поясним возникновение этой силы. Пусть жидкость или газ движется вдоль какой-либо твердой пластины ab (рис 1.1) в направлении, указанном стрелкой. Это направление примем за X, а перпендикулярное ему направление – за ось Y.

Молекулы жидкости, непосредственно прилегающие к пластинке, прилипают к ней вследствие сил притяжения, действующих между ними и молекулами материала пластины. Значит, скорость этого слоя окажется равной нулю, скорость молекул следующего слоя уже отлична от нуля, так как тормозящее действие пластины на этот слой меньше, но скорость молекул этого слоя меньше, чем в слое, более удаленном и т.д.

 

 

Рис. 1.1

 

Таким образом, всю толщину жидкости можно рассматривать как составленную из множества слоев, скорости которых различны и меняются от нуля у нижнего слоя до некоторой максимальной скорости у верхнего.

Благодаря тепловому движению молекулы жидкости переходят из одного слоя в другой, перенося с собой некоторое количество движения : молекулы из менее удаленного от пластины слоя переходят в слой с большей скоростью и, таким образом, уменьшают количество его движения, а значит и скорость. Наоборот, молекулы из более быстрых слоев переходят в слой, движущийся с меньшей скоростью, увеличивая количество движения, а значит и скорость последнего.

Сила F внутреннего трения (или вязкости), как показал Ньютон, пропорциональна площади S соприкосновения слоев жидкости, а также градиенту скорости вдоль оси Y, т.е. вдоль направления, перпендикулярного движению жидкости. Градиент скорости равен изменению скорости на каждую единицу длины, т.е. .

Формулу для силы F можно записать так:

, (1.1)

где - коэффициент пропорциональности, различный для разных жидкостей. Именно этот коэффициент определяет вязкие свойства данной жидкости. Называется коэффициентом динамической вязкости.

Смысл его ясен из формулы (1.1). Если градиент скорости равен единице (это значит, что на каждой единице длины вдоль оси Y скорость меняется на единицу) и S = 1, то F = h, т.е. коэффициент вязкости равен силе, действующей на каждую единицу площади соприкосновения слоев при градиенте скорости, равной единице. В системе СИ коэффициент h измеряется в кг/м с.

На твердый шарик, падающий в вязкой жидкости, действуют три силы: сила тяжести Р, выталкивающая сила (сила Архимеда) F_А и сила сопротивления, обусловленная силами внутреннего трения жидкости F_С. Зная объем шарика V, его плотность r^’, плотность жидкости r^’’, силу тяжести и силу Архимеда можно выразить формулами:

(1.2)

(1.3)

где r - радиус шарика;

g - ускорение свободного падения.

Сила сопротивления F_С для тел сферической формы была вычислена Стоксом и оказалась равной

(1.4)

где h - коэффициент вязкости;

- скорость падения шарика.

Эти три силы будут направлены по одной прямой: сила тяжести - вниз, сила Архимеда и сила сопротивления - вверх. Согласно второму закону Ньютона векторная сумма сил, действующих на тело, определяет его ускорение: . Для шарика в проекции на вертикальную ось закон примет вид: P – F_А – F_С = ma (1.5), где m - масса шарика.

В начальный момент времени скорость шарика равна нулю и

F_C =0 (см.1.4), Р > F_A, поэтому ускорение шарика направлено вниз и его скорость начинает увеличиваться, что приводит к увеличению силы сопротивления и к уменьшению ускорения. (силы F_A и P при этом не меняются). По истечении некоторого времени с начала движения шарика его ускорение станет равным нулю. Дальнейшее движение шарика в жидкости будет равномерным, со скоростью v. Из (1.5) с учетом (1.2); (1.3); (1.4) и при условии а = 0 получим:

 

 

, откуда

 

(1.6)

Скорость равномерного движения шарика можно определить, измерив время t, за которое шарик проходит путь

. (1.7)

Из (1.6) с учетом (1.7) для коэффициента вязкости получим формулу

(1.8)

Согласно полученному выражению, проведя измерения , r, t и зная табличные данные r’, r’’ и константу g, можно экспериментально определить коэффициент вязкости.

 

2. ЗАДАНИЕ

 

2.1. Теоретическая часть

 

1. Дать определения следующим понятиям: коэффициент вязкости, градиент скорости.

2. Изобразить на рисунке все силы, действующие на шарик, падающий в жидкости, записать законы для каждой из сил и пояснить словами все буквенные обозначения.

3. Записать второй закон Ньютона для движения шарика в векторной форме и в проекции на вертикальную ось.

4. Проанализировать записанный закон и изобразить примерные графики зависимости ускорения и скорости шарика от времени.

5. Указать на графиках интервал времени, в котором должны проводиться измерения (обосновать выбор этого интервала)

6. Записать второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось для выбранного интервала времени.

 

7. Вывести рабочую формулу для определения коэффициента вязкости.

 

Дополнительные вопросы:

 

8. Как изменится скорость установившегося движения шарика в вязкой жидкости при изменении его радиуса?

 

9. Описать падение шарика в жидкости, если его начальная скорость больше, чем скорость установившегося равномерного движения.

 

2.2. Экспериментальная часть

 

1. Измерить время падения шарика между двумя горизонтальными метками на цилиндре с исследуемой жидкостью.

Повторить измерения не менее 10 раз.

2. Определить расстояние между метками. Радиус шарика, плотность жидкости и материала шарика - по указанию преподавателя.

3. Вычислить коэффициент вязкости жидкости по формуле (1.8).

4. Оценить погрешности прямых измерений и погрешность полученного результата для коэффициента вязкости жидкости.

5. Оценить правдоподобность результата путем его сравнения с табличными значениями для разных жидкостей.

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 102

ИЗУЧЕНИЕ ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА

Приборы и оборудование: маятник Обербека, набор грузов, секундо­мер, масштабная линейка, штангенциркуль.

1. ТЕОРИЯ МЕТОДА

Основной закон динамики (II закон Ньютона) в качественной формулировке одинаков как для поступательного, так и для враща­тельного движения: ускорения, приобретаемые телами, прямо пропор­циональны интенсивности внешних воздействий и обратно пропорцио­нальны собственным инертным свойствам тел. Запись этого закона в количественной формулировке различна для разных видов движения, поскольку величины, характеризующие интенсивность внешних воздей­ствий и собственные инертные свойства тел, не одинаковы для пос­тупательного и вращательного движений. (см. таблицу)

Характеристика движений	Поступательное движение	Вращательное движение
Мера инертных свойств тела	Масса (m)	Момент инерции (I)
Мера интенсивности внешних воздействий	Сила	Момент силы
Запись второго закона Ньютона

 

Момент инерции материальной точки равен произведению массы точки m на квадрат расстояния от оси вращения до точки r

.

Момент инерции тела, как и масса, является величиной аддитивной, то есть момент инерции системы материальных точек равен сумме их моментов инерции

.

 

Разбивая любое тело на небольшие объемы (их можно рассматри­вать как материальные точки), и интегрируя по объему, можно вы­числить момент инерции тела произвольной формы относительно оси вращения

,

 

где - плотность тела;

- расстояние от точки массой до оси вращения.

Момент инерции тела отражает инертные свойства тела во вра­щательном движении. Он зависит не только от массы тела, но и от её распределения относительно оси вращения, то есть от формы тела и расположения оси вращения.

Моментом силы (вращающим моментом) называется векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора , про­веденного от оси вращения в точку приложения силы, на проекцию силы на плоскость, перпендикулярную оси вращения .

.

Модуль вращающего момента силы:

,

где a - угол между радиус-вектором и вектором силы ;

h - плечо силы, равное кратчайшему расстоянию между осью вра­щения и линией действия силы.

Под силой здесь понимается ее составляющая, лежащая в плос­кости вращения (плоскости, перпендикулярной оси вращения). Сос­тавляющая силы, параллельная оси вращения, не будет вызывать вра­щения. Момент силы направлен вдоль оси вращения в ту сторону, от­куда вращение под действием данной силы кажется происходящим про­тив часовой стрелки, то есть направление вектора и момента силы и направление поворота тела под действием силы связаны правилом правого винта.

Угловое ускорение - это векторная физическая величина, ха­рактеризующая быстроту изменения угловой скорости, численно рав­ная первой производной от угловой скорости по времени и направленная в ту же сторону, что и угловая скорость, если эта скорость возрастает, и противоположно угловой скорости, если она убывает.

Прибор (маятник Обербека) для изучения основного закона ди­намики вращательного движения схематически изображен на рис. 1. Он состоит из четырех стержней и двух шкивов различных радиусов (r₁ и r₂), укрепленных на общей оси. По стержням могут переме­щаться и закрепляться четыре груза (по одному на каждом стержне) одинаковой массы.

 

Момент силы создается набором грузов, подвешенных к нити, которая наматывается на один из шкивов.

Уравнение поступательного движения груза (второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось) запишется в виде

(1.1)

где m – масса тела;

a - ускорение поступательного движения груза;

g - ускорение свободного падения;

T- сила натяжения нити.

Момент силы, создаваемый грузом m, равен произведению силы натяжения нити T на радиус шкива r

(1.2)

Измеряя время t, в течение которого груз m из состояния покоя опустится на высоту h, найдем ускорение груза

, (1.3)

которое связано с угловым ускорением соотношением

. (1.4)

Из (1.1 ¸ 1.4) получаем рабочие формулы для определения углового ускорения системы и момента силы натяжения нити

; (1.5)

(1.6)

Так как на вращающуюся систему кроме момента силы натяжения нити действует момент силы трения (который в условиях опыта можно счи­тать практически постоянным), то основное уравнение динамики вра­щательного движения запишется как

или , (1.7)

откуда видно, что график зависимости между M и при должен иметь вид прямой, причем момент инерции I определяет тан­генс угла наклона этой прямой к оси «», а момент силы трения M_тр- точку пересечения с осью «M».

Для проверки соотношения (1.7) необходимо определить угло­вое ускорение системы при нескольких разных значениях момента си­лы натяжения нити и нанести экспериментальные точки на график. Так как любые измерения имеют погрешность, экспериментальные точ­ки не лягут точно на прямую. Однако, если отклонения этих точек от прямой не превышают погрешностей выбранного метода измерений, то проверяемое соотношение считается верным. Существует нес­колько методов оценки степени отклонения экспериментальных ре­зультатов от теоретической прямой. Рассмотрим два из них.

О

М

Первый способ сводится к тому, что для каждого измерения оп­ределяются погрешности величин и М, и на график наносятся экспе­риментальные точки с учетом этих погрешностей в виде прямоуголь­ников (рис. 2).

 

 

Рис. 2

Если теперь через эти прямоугольники можно провести прямую, то делается вывод, что в пределах выбранной точности измерений существует линейная зависимость между и М. Понятно, что в этом случае проведенная прямая не является единственной, поэтому опи­санный метод является грубым и не позволяет сделать количествен­ных оценок величин I и М.

Второй метод более точный, но и более громоздкий. Обработку экспериментальных результатов этим методом более целесообразно проводить с помощью ЭВМ. Экспериментальные точки наносятся на график в виде маленьких кружочков или крестиков (рис. 3), а нак­лон прямой и точку ее пересечения с осью М определяют по методу наименьших квадратов (см. приложение).

 

Рис. 3

Если проверяемая формула (1.7) верна, то отклонения эксперимен­тальных точек от построенной прямой не должны превышать сумму погрешностей определенных значений и М_тр. Оценка этих погрешностей для условий лаборатории дает значение порядка 10%, поэтому для проверки формулы (1.7) достаточно определить отклонение DМ, наиболее удаленной от графика экспериментальной точки (если она не является промахом), например, точки А на рис.2. Если ()100%<10%, то проверяемая формула верна в пределах точ­ности проведенных измерений.

2. ЗАДАНИЕ

2.1. Теоретическая часть

1. Дать определение следующим понятиям: момент силы, момент инер­ции, угловое ускорение (Что характеризует каждая из величин, как определяется её численное значение, каково её направление, если величина векторная?). Пояснить на рисунке смысл использованных буквенных обозначений.

2. Сформулировать II закон Ньютона для вращательного движения (словами

и аналитически). Изобразить графически характер зависимости углового

ускорения от действующего момента сил (при постоянном моменте

инерции) и от момента инерции (при постоянном моменте сил).

3.Каким образом в работе предлагается проверить спра­ведливость основного уравнения динамики вращательного движения?

4. Какими способами на маятнике Обербека можно изменить момент силы?

5. Какими способами на маятнике Обербека можно изменить момент инерции системы?

 

6. Вывести рабочие формулы для определения углового ускорения и момента силы натяжения нити.

 

2.2. Экспериментальная часть

1. Установить грузики на спицах маятника Обербека в положение, указанное преподавателем, и сбалансировать маятник.

(Почему необходима балансировка?).

2. Привести систему во вращение с помощью грузика m, подвешенно­го к нити, и измерить:

а) высоту опускания грузика;

б) время опускания грузика (не менее трех раз);

в) радиус шкива, на котором намотана нить.

3. Повторить измерения по п.2., изменяя массу грузика так, чтобы получилось не менее 4-х экспериментальных точек. Все данные занести в таблицу.

4. Вычислить угловое ускорение и момент силы в каждом из 4 ва­риантов опыта по формулам (1.5) и (1.6).

5. Нанести экспериментальные точки на график зависимости между и М.

6. Проверить выполнимость основного закона динамики вращательно­го движения одним из методов, описанных в тексте (по указанию преподавателя).

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 209

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ

 

ПРИБОРЫ И ОБОРУДОВАНИЕ: блок питания, сменный модуль, магазин сопротивления, измерительный прибор.

 

1.ТЕОРИЯ МЕТОДА

 

Земля - естественный магнит, магнитное поле которого, как полагают современные теории, обусловлено, в основном токами, текущими по поверхности ядра Земли и частично намагниченностью горных пород Земли.

Магнитное поле невидимо, но его можно обнаружить с помощью магнитной стрелки (или пробного контура с током).

Для наглядного представления магнитных полей используют линии напряженности (индукции) - линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с вектором напряженности.

Магнитное поле Земли представлено на рис. 1. Северный магнитный полюс N - в нынешнюю геологическую эпоху располагается вблизи южного географического S, а южный магнитный S - вблизи северного географического n.

 

 

Рис. 1

 

Наибольшее практическое значение имеет горизонтальная составляющая вектора напряженности магнитного поля Земли ,направление которой принимается за направление магнитного меридиана.

Для определения горизонтальной составляющей воспользуемся

методом сравнения с искусственным магнитным полем , созданным электрическим током, текущем по проводнику и направленным перпендикулярно .

Пусть магнитный меридиан MN располагается в плоскости чертежа, как показано на рис. 2. Направление горизонтальной составляющей в точке А нам покажет магнитная стрелка, помещенная в эту точку (положение 1 рис. 2). Создадим в этой точке искусственное поле . Поля по принципу суперпозиции складываются геометрически: _. Магнитная стрелка повернется на угол и установится вдоль результирующего поля рез (положение 2, рис. 2).

 

 

Рис. 2

 

Из геометрии рис. 2 , отсюда

. (1)

Искусственное поле создается с помощью электрического тока, текущего по кольцевым проводникам (колеца Гельмгольца), которые представляют собой две одинаковые катушки (содержащие одинаковое число проволочных витков ), расположенные симметрично оси магнитной стрелки компаса (рис. 5), поэтому

, (2)

где - напряженность магнитного поля катушки;

- число витков в катушке;

- напряженность магнитного поля, создаваемого проволочным витком.

Напряженность магнитного поля витка вычисляется на основании принципа суперпозиции и закона Био-Савара-Лапласа.

В соответствии с принципом суперпозиции напряженность магнитного поля на оси витка в точке А равна геометрической сумме напряженностей полей , создаваемых элементами витка в этой точке

. (3)

В соответствии с законом Био-Савара-Лапласа

.

Построив векторы от всех элементов тока (по правилу векторного произведения) замечаем, что они образуют коническую поверхность (рис. 3)

Рис. 3

Для определения модуля напряженности Н_В запишем уравнение (3) в проекциях на оси х, у, z:

и найдем .

Для любой пары диаметрально противоположных элементов (например dl₁ и dl₂) проекции векторов и на ось у равны по абсолютной величине и имеют противоположные знаки, поэтому в сумме дают ноль, тогда =0. Аналогично для проекций на ось z: =0.

Проекции же на ось х для всех векторов имеют одинаковые знаки, тогда

H_B= . (4)

На основании закона Био-Савара-Лапласа модуль найдется, как

,

А его проекция на ось х:

, (5)

где α – угол между и ; α=90°; sinα=1;

β – угол между и осью х (рис.4), β одинаков для всех элементов тока

Рис. 4

Подставляя (5) в (4), получим

, (6)

где R – радиус витка.

В треугольнике ОВА ÐВ=β, ;

С учетом этих соотношений для модуля напряженности поля, созданного одним витком, по которому течет ток I, получаем:

. (7)

Так как в каждой катушке n витков, а токи в катушках направлены так, что их магнитные поля усиливают друг друга

. (8)

Подставляя это выражение в (1), окончательно получаем рабочую формулу для определения горизонтальной составляющей поля Земли

. (9)

 

2. ЗАДАНИЕ

 

2.1. Теоретическая часть

1. Какой метод используется для определения напряженности магнитного поля Земли а данной работе?

2. На какое поле реагирует магнитная стрелка?

3. Запишите связь между горизонтальной составляющей поля Земли (Н₀) и напряженностью поля тока (Н₁)в данном методе? При каком условии эта связь справедлива? Поясните с помощью рисунка взаимную ориентацию Н₀ и Н₁ и укажите на рисунке расположение колец Гельмгольца.

4. Напряженность магнитного поля,созданного электрическим током, определяется на основе закона Био-Савара-Лапласа и принципа суперпозиции полей. Что определяет закон Био-Савара-Лапласа? Запишите этот закон в векторной форме и по модулю, поясните словами и с помощью рисунка все величины в него входящие. Чему равен угол между (проверьте сделанный вами рисунок!)

5. Принцип суперпозиции для нахождения напряженности магнитного поля, созданного одним витком колец Гельмгольца, записывается в виде: , почему не справедливо аналогичное равенство для модулей векторов Н_В и dН?

6. Как найти модуль Н_В, если известен модуль dН (по закону Био-Савара-Лапласа) и его проекции на координатные оси?

7. Запишите формулу для расчета напряженности магнитного поля, созданного током в экспериментальной установке, и окончательную рабочую формулу для экспериментального определения горизонтальной составляющей напряженности магнитного поля Земли, поясните словами все буквенные обозначения в этих формулах.

 

2.2. Экспериментальная часть

1. Соедините сменный модуль с блоком питания, в результате этого образуется цепь (рис.4).

 

 

 

Рис. 5

где 1 - кольца Гемгольца; 4 - миллиамперметр;

2 - компас; 5 - переключатель направления тока;

3 - магазин сопротивлений; 6 - блок питания.

2. Поверните кольца Гемгольца (при отсутствии тока в них) так, чтобы стрелка компаса была параллельна плоскостям колец.

3. Замкните переключатель в положение 1. С помощью магазина сопротивлений установите определенное значение тока (по указанию преподавателя). Определите угол отклонения стрелки компаса при этом токе.

4. Переведите переключатель направления тока в положение 2 (противоположное первому). Определите силу тока I₂ и угол отклонения стрелки (течет ток противоположного направления).

5. Повторите измерения, поочередно выполняя действия п.3, п.4. Результаты занесите в таблицу 1.

6. Вычислите по формуле (9) значение горизонтальной составляющей напряженности поля Земли (по средним значениям силы тока и угла отклонения стрелки).

7. Оцените полученный результат. Вычислите погрешность произведенных измерений .

8. Запишите окончательный результат в виде .

Таблица 1

№ опыта
I, мА							<I>=
j, град							<j>=