Правила нахождения производных

Если нам известна исходная функция, мы можем отыскать по ней ее производную. В алгебре существует достаточно много правил отыскания производных, или дифференцирования.

Если с - постоянное число, и f(x), g(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

Правило константы	y = C => y ' = 0 y = (Cf)' = C (f)'
Правило суммы	y = f(x) + g(x) => y ' = f '(x) + g'(x)
Правило умножения	у = (fg)' = f 'g+g'f
Правило деления
Правило сложной функции	если y = f(x), u = g (y), то функция u = g(f(x)) - сложная функция, или суперпозиция. u' = g(f(x))' = g'(y)*f '(x)
Обратная функция	если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функции x = f -1(y), то она тоже имеет производную в соответствующей точке: (f -1(y))у=у0 =

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список производных основных элементарных функций.

f(x)	f '(x)	f(x)	f '(x)
С		sin x	cos x
ха	аха-1	cos x	– sin x
ах	ахlna	tg x
ех	ех	ctg x
log a x		arcsin x
		arccos x
		arctg x
		arcctg x

Кроме правил для нахождения производных нужно помнить следующие правила:

1. переменная без показателя степени – это переменная в первой степени (x = x ¹);

2. переменная в нулевой степени – это единица (x ⁰ = 1).

Например, найти производную функции: y = x² + 3x - 10

y ' = (x² + 3x – 10)' = (x²)'+ (3x)' – 10'=2 x ^2-1 + 3 x ^1-1 - 0 = 2 x ¹ + 3 x ⁰ = 2 x + 3