Метод случайного поиска

Рассмотрим применение метода случайного поиска для оптимизации процесса на примере, приведенном выше. Идея метода основана на многократном (N раз) вычислении целевой функции y для значений x₁ и x₂, выбранных из отрезков [a1, b1] и [a2, b2] случайным образом. Те значения x₁ и x₂, при которых целевая функция минимальна и удовлетворяются ограничения (26.3) и являются решением.

Для определения случайного числа x на отрезке [a, b] можно использовать встроенную функцию Rnd. Тогда x=(b-a)×Rnd(1)+a.

Алгоритм метода случайного поиска

1. Ввод исходных данных: a1, b1, a2, b2, количества опытов N ичисла A, заведомо большего, чем значение целевой функции.

2. Вычисление yopt=A, x1opt=a1, x2opt=a2.

3. i=1.

4. Вычисление x₁=(b1-a1)×Rnd(1)+a1, x₂=(b2-a2)×Rnd(1)+a2.

5. Проверка ограничения: если g(x₁,x₂)<=0, то переход к пункту 8, иначе – переход к следующему пункту.

6. Вычисление целевой функции y=f(x₁,x₂).

7. Если y <yopt, то yopt=y, x1opt=x₁, x2opt=x₂, иначе – переход к следующему пункту.

8. i=i+1

9. Если i<=N, то переход к 4, иначе – переход к 10.

10. Вывод оптимальных значений x1opt, x2opt и минимального значения целевой функции yopt.

Решение задач оптимизации в приложениях Mathcad и Excel

В приложении Mathcad имеются встроенные функции, с помощью которых можно решать задачи оптимизации. Рассмотрим пример.

Пусть требуется определить оптимальные значения x ₁ и x ₂, которые обеспечивали бы максимум целевой функции

y=1,7+4,56x₁-3x₂-0,69x₁x₂-0,44x₂²

и удовлетворяли ограничениям:

3 <=x₁<=4, 0,1<=x₂<=0,9

В рабочей области приложения Mathcad требуется записать:

f(x1, x2):= 1,7+4,56x1-3x2-0,69x1x2-0,44x2²

x1:= 3

x2:=0.1

Given

4≥ x1 ≥ 3

0.9 ≥ x2 ≥ 0.1

R:= maximize(f, x1, x2)

R =

Встроенная функция minimize позволяет решить задачи оптимизации, в которых нужно определить минимум целевой функции.

В приложении Excel имеется специальная команда, с помощью которой можно решать задачи оптимизации. Например, чтобы решить предыдущий пример, можно произвести следующие действия.

– на рабочем листе, например в ячейке А1 записать значение левой границы для первого ограничения (число 3);

– в ячейке В1 записать значение левой границы для второго ограничения (число 0,);

– в ячейке С1 записать целевую функцию:

=1,7+4,56∙А1-3∙В1-0,69∙А1∙В1-0,44∙В1^2

– выполнить Сервис/Поиск решения. В появившемся окне задать имя ячейки с целевой функцией (для данного примера С1), определить, что в задаче целевая функция стремится к максимуму, ввести соответствующие ограничения для содержимого ячеек А1 и В1.

Решение задачи можно посмотреть и проанализировать на отдельном листе.

Рисунок и пр.

 

Если в пункте меню Сервис команда Поиск решения отсутствует, то её можно добавить, используя Сервис/Настройка.