Инъективные, сюръективные отображения

Определение 1. Отображение : называется инъективным или инъекцией, если два различных элемента из множества имеют образами при отображении два различных элемента из множества , т.е.

, .

Например, отображение : приведенное на следующей схеме

 

является инъекцией множества в множество . Здесь .

Определение 2. Отображение : называется сюръективным или сюръекцией, если каждый элемент из множества является образом при отображении по крайней мере одного элемента из , т.е.

такой, что , т.е. .

Сюръективное отображение – это отображение множества на множество .

Например, отображение :

 

 

является сюръективным, а отображение :

не является сюръективным.

Если при отображении : , то отображение - сюръективное.

Теорема. Отображение : биективно тогда и только тогда, когда оно инъективно и сюръективно одновременно.

Доказательство. Пусть : - биективно. Тогда каждый элемент является образом при отображении некоторого элемента , следовательно, отображение - сюръективно. А так как этот элемент - единственный, то из этого следует, что разным элементам соответствуют разные образы, т.е. отображение инъективно.

Обратно, пусть : - инъективно и сюръективно одновременно. Тогда в силу сюръекции , а ввиду инъективности отображения содержит единственный элемент.

Примеры.

1. ,

Отображение не сюръективно, т.к. элемент не является образом ни одного элемента из . Оно не является и инъективным, т.к. два различных элемента и имеют образом один и тот же элемент .

2. : ,

Отображение сюръективно, но не инъективно.

3. : ,

Отображение сюръективно и инъективно одновременно, т.к. оно биективно.