Пример 2

 

Идеальный газ имеет полную энергию Е и состоит из N независимых молекул. Молекула имеет массу m и является одномерным гармоническим осциллятором, колеблющимся с частотой ω. Поступательные и вращательные движения молекул не учитывать. Найти энергетическую плотность состояний и температуру газа.

Гамильтониан газа складывается из энергий N осцилляторов

 

.

 

Для изолированного газа и получаем уравнение эллипсоида в 2 N- мерном пространстве

.

 

Состояния газа с энергией E находятся в фазовом пространстве на поверхности эллипсоида с параметрами:

 

N полуосей ,

 

N полуосей ,

 

.

 

Объем эллипсоида находим из (П.2.1а)

 

, ,

получаем

.

 

Число микросостояний

 

,

 

где ; – квант энергии осциллятора.

Энергетическая плотность состояний

 

,

тогда

.

Из (2.14)

находим

, .

 

Средняя энергия одномерного гармонического осциллятора

 

.