Нормальное распределение Гаусса

Если некий признак имеют в среднем частиц, то при большом числе частиц N и большом среднем и при относительно малом отклонении от среднего распределение Пуассона для вероятности признака у n частиц переходит в нормальное распределение, или распределение Гаусса:

 

. (1.40)

 

Условие позволяет считать n и квазинепрерывными величинами, тогда вероятность (1.40) становится плотностью вероятности

 

. (1.41)

 

Распределение получил Гаусс в 1809 г.

 

Карл Фридрих Гаусс (1777–1855)

 

Доказательство (1.40)

Условие означает и выполнение распределения Пуассона

.

Логарифмируем

.

 

При используем формулу Стирлинга для факториала (рассматривалась в курсе ММФ)

,

тогда

.

Получаем

.

 

Вводим отклонение от среднего , тогда

 

.

 

Для распределения Гаусса выполняется . Разлагаем по степеням малой величины и сохраняем первые два слагаемых разложения, считая остальные несущественными:

 

.

Находим

.

 

Потенцируем результат и, используя , заменяем , и получаем (1.40)

.

Характеристическая функция. Подставляем распределение Гаусса (1.41) для непрерывной случайной величины

 

 

в определение характеристической функции (1.14)

 

,

 

где сделана замена . Используем интеграл из курса ММФ

 

,

 

находим характеристическую функцию для нормального распределения

. (1.42)

 

Выполняется (1.16) , следовательно, распределение Гаусса (1.41) нормировано

. (1.43)

 

Среднее число частиц с неким признаком получаем из (1.17) и (1.42)

.

 

Тождество означает, что в нормальном распределении (1.41) величина является средним числом частиц с неким признаком.

Среднее квадратичное числа частиц находим аналогично

 

. (1.44)

 

Результат (1.44) совпадает с выражением для распределения Пуассона.

Дисперсия числа частиц получается из (1.44)

 

, (1.45)

 

дисперсия равна среднему числу частиц.

Из (1.41) и (1.45) получаем плотность вероятности в виде

 

. (1.47)

 

Функция показана на рис. 1.2.

 

 

Рис. 1.2. Распределение Гаусса,

 

Центральная предельная теорема – при суммировании большого числа независимых случайных величин, имеющих различные распределения, результирующее распределение близко к распределению Гаусса.

Теорема обосновывает применимость нормального распределения к многочисленным случайным процессам. Теорему доказал Ляпунов в 1901 г.

Александр Михайлович Ляпунов (1857–1918)