ІІІ. Примеры

Пример 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции .

Решение: Функция определена на всей числовой прямой, т.е. .

1. Найдём .

.

2. Найдём критические точки.

или .

 

3. Заполним таблицу:

	+		-		+

 

Таким образом, функция возрастает на интервалах , а убывает на интервале .

 

Пример 2. Найти экстремумы функции .

Решение: Функция определенна на всей числовой прямой, т.е. .

1.Найдём .

2.Найдём критические точки.

или

3.Заполняем таблицу:

 

	+		-		+
				-27
		max		min

 

 

Таким образом, х=0 – точка максимума, х=4 – точка минимума, а экстремумы функции равны: .

Ответ:

Пример 3. Найти асимптоты графика функции .

Решение: Функция непрерывна везде, кроме х=1, т.е. .

1. Проверим, есть ли горизонтальные асимптоты.

 

Находим:

Отсюда следует, что горизонтальных асимптот график функции не имеет.

 

2. Проверим, есть ли вертикальные асимптоты.

Разрыв функции возможен только при х=1. Так как а

то прямая х=1 – вертикальная асимптота. Других вертикальных асимптот нет, так как они находятся только либо в точках разрыва, либо на концах

её области определения.

 

3. Проверим, есть ли наклонные асимптоты.

 

Находим:

 

(аналогично );

 

Следовательно, - наклонная асимптота.

Ответ:

 

Пример 4. Провести полное исследование функции и построить её график.

Решение:

1.

2. Разрыв функция имеет в точке х=1, так как ни левосторонний предел, ни правосторонний предел не существует, т.е. , . (см.пример 3)

3. Функция непериодическая. Исследуем на четность и нечетность:

Следовательно, данная функция ни четная, ни нечетная (т.е. общего вида).

4. Найдем точки пересечения с осями координат.

С осью ОУ график пересекается при х=0, а , т.е. О(0;0).

С осью ОХ график пересекается при у=0, а при х=0, т.е. О(0;0).

Следовательно, О(о;о) – единственная точка пересечения функции с осями ОХ и ОУ.

5. Найдём все асимптоты график (см.пример 3)

- вертикальная асимптота, - наклонная асимптота.

6. Найдём интервалы монотонности и экстремумы функции:

1. .

2. х=0, х=2, х=1 – критические точки.

3. Заполним таблицу:

 

					(1;2)
	+		-	не сущес.	-		+
				-
		max				min

;

 

.

 

Таким образом, функция возрастает на интервалах , убывает на интервалах (0;1) (1;2). Х=0 – является точкой максимума, - точкой минимума, а экстремумы функции:

 

7. Найдём интервалы выпуклости и точки перегиба.

 

1.

 

2.Исследуем при х=1.

3. Заполним таблицу:

	-	+

 

Таким образом, функция выпуклая вверх на интервале и выпуклая вниз на интервале . Точек перегиба нет, так как в точке х=1 – вторая производная не существует.

8. Учитывая полное исследование, строим график функции .