Поліноми Лежандра. Твірна функція. Формула Родріга. Елементарні властивості та графіки. Диференціальне рівняння та задача на власні значення

40. Ортогональність, норма і повнота системи поліномів Лежандра.

41. Розкладання потенціалу точкового заряду за поліномами Лежандра та його особливості. Симетрія оператора Лапласа і його розв’язки.

42. Похідні поліномів Лежандра, приєднані функції Лежандра та їх зв’язок із задачею на власні функції кутової частини оператора Лапласа в сферичних координатах.

Сферичні функції (СФ). Явний вигляд, ортогональність і нормування. СФ як спільна система власних функцій кількох операторів, зв’язок з квантовою механікою, теорема додавання для СФ (без доведення). Частинні випадки СФ. Фізична інтерпретація СФ як хвиль на сфері.

44. Узагальнені функції: – функція, поняття слабкої границі. Представлення – функціЇ інтегралом та рядом Фур’є. Диференціювання узагальнених функцій.

45. Фундаментальний розв’язок рівняння Лапласа. Основна інтегральна формула Гріна та наслідки з неї, теорема про середнє та принцип максимуму (самостійно - див. Тихонов, Самарский) для гармонічних функцій.

46. Функції Гріна: представлення розв’язків еволюційних крайових задач з однорідними межовими умовами.

47. Функції Гріна: представлення розв’язків стаціонарних крайових для рівнянь еліптичного типу з однорідними і неоднорідними межовими умовами. Представлення розв’язків еволюційних крайових задач з неоднорідними межовими умовами.

48. Операторний погляд на математичну фізику. Лінійний оператор як математичний об’єкт з певними властивостями, матриця оператора. Диференціальні крайові задачі в обмеженій області як задачі для відповідного оператора. Обернений оператор і функція Гріна. Резольвента оператора і його спектр. Власні функції оператора як базис, симетричний, ермітово спряжений і самоспряжений оператори, оператор проектування, спектральні представлення оператора, оберненого оператора (функції Гріна) і резольвенти. Образ Лапласа функції Гріна рівняння теплопровідності і резольвента, зв’язок з методом відокремлення змінних.

Приклад білету: БІЛЕТ № 6

1. Питання з числа виділених жирним шрифтом.
2. Питання з числа тих, що не виділені жирним шрифтом.
3. Задача.

Розподіл балів за завдання білету (всього до 60 балів, які входять в результат 2 семестру):

Питання №1 — до 25 балів. Питання №2 — до 15 балів. Задача — до 20 балів, за бажанням студента зараховується результат підсумкової контрольної (якщо він позитивний).

Підготував доц. В.Хотяїнцев