Лемма Бореля-Лебега

Лемма (Бореля-Лебега). Всякое открытое множество на числовой оси представляет собой сумму конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов.

Теорема 1. Объединение конечного числа и пересечение произвольного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.

Теорема 2. Дополнение замкнутого множества есть множество открытое.

Теорема 3. Объединение произвольного числа и пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество.

Перечислим также некоторые следствия, вытекающие из рассмотренных выше определений и утверждений.

1) Конечное множество не имеет предельных точек.

2) Каждое рациональное число является точкой прикосновения множества иррациональных чисел.

3) Каждое действительное число является точкой прикосновения множества рациональных чисел.

4) Пустое множество замкнуто и открыто одновременно.

5) Множество не открыто и не замкнуто в .

6) Множество является как открытым, так и замкнутым.

7) Любая -окрестность точки – открытое множество.

8) Отрезок является замкнутым множеством.