Конфигурация конечного автомата

Определение 2.2.1. Конфигурацией или мгновенным описанием (instantaneous description) конечного автомата называется любая упорядоченная пара , где и .

Замечание 2.2.2. Содержательно конфигурация представляет собой "мгновенное описание" конечного автомата. Если представить, что исходное слово, принадлежность которого рассматриваемому языку надо проверить, дано в некотором "входном потоке", то в конфигурации слово w есть та часть исходного слова, которая пока осталась во входном потоке (это некоторый суффикс исходного слова), а q - текущее состояние "управляющего устройства".

Определение 2.2.3. Определим на множестве всех конфигураций конечного автомата M бинарное отношение (такт работы (step)) следующим образом. Если и , то . Иногда вместо пишут .

Пример 2.2.4. Рассмотрим конечный автомат

из примера 2.1.2. Тогда .

Определение 2.2.5. Бинарное отношение определяется как рефлексивное, транзитивное замыкание отношения .

Пример 2.2.6. Для конечного автомата из примера 2.1.2 выполняется и .

Лемма 2.2.7. Пусть дан конечный автомат . Слово принадлежит языку L(M) тогда и только тогда, когда для некоторых и верно .

Лемма 2.2.8. Если и , то .

Доказательство. Лемму легко доказать индукцией по количеству тактов в вычислительном процессе, ведущем из конфигурации в конфигурацию .

Упражнение 2.2.9. Рассмотрим конечный автомат.

Перечислить все конфигурации , удовлетворяющие условию .

Упражнение 2.2.10. Существуют ли конечный автомат M, состояния q₁, q₂ и слова x, y, z, такие что и ?

Упражнение 2.2.11. Как связаны |Q|, , , |w| и число достижимых из (в смысле ) конфигураций?