Быстрота Изменения величины

 

Среднее значение физической величины может изменяться со временем по двум причинам:

1) из-за зависимости оператора величины от времени;

2) из-за некоммутативности оператора величины с гамильтонианом.

 

Оператор производной по времени. Среднее значение величины (2.28)

 

изменяется с быстротой

 

.

 

Используем уравнение Шредингера (2.54)

 

,

,

получаем

.

 

Гамильтониан эрмитовый, тогда первое слагаемое в квадратных скобках равно . Объединяем его с третьим слагаемым

 

. (2.66)

 

Выражение в круглой скобке по определению является оператором производной по времени

. (2.67)

 

Слагаемые в правой стороне (2.67) описывают причины, вызывающие изменение физической величины A с течением времени – зависимость от времени и некоммутативность с гамильтонианом.

Оператор проекции скорости. В (2.67) подставляем , получаем

. (2.67а)

Используем

,

 

,

находим

.

 

На практическом занятии доказывается

 

,

в результате

. (2.67б)

 

Оператор скорости связан с оператором импульса классическим соотношением, что подтверждает правило соответствия.

Сохраняющаяся величина описывается оператором , удовлетворяющим согласно (2.67) условию

 

.

 

Если оператор не зависит от времени , тогда

 

. (2.68)

 

Величина сохраняется в любом состоянии, если ее оператор не зависит от времени и коммутирует с гамильтонианом.

Стационарное состояние Ψ для величины a, описываемой оператором , не зависящим от времени , характеризуется тем, что в этом состоянии среднее значение a постоянно

 

.

 

Если оператор не коммутирует с гамильтонианом , тогда с учетом (2.66)

получаем условие на Ψ

. (2.69)

 

Величина а стационарна в состоянии , если среднее значение коммутатора оператора с гамильтонианом равно нулю. В этом случае оператор преобразует состояние в ортогональное к нему состояние.