Собственная функция оператора проекции импульса

.

 

Уравнение на собственную функцию дает

 

 

Приравниваем правые стороны и получаем дифференциальное уравнение

 

.

Разделяем переменные

,

интегрируем

,

находим

.

 

Результат совпадает с координатной зависимостью плоской волны де Бройля

, (1.11)

 

описывающей частицу с постоянным импульсом p. В результате обоснована форма оператора импульса.

Поскольку p – любое вещественное число, то спектр непрерывный. Условие ортонормированности для непрерывного спектра

 

дает

.

 

Используем интегральное представление дельта-функции

 

,

 

находим . В результате получена собственная функция оператора импульса, или волновая функция частицы, движущейся с импульсом p:

. (2.10)

 

Множество функций со всеми возможными собственными значениями образует базис с условиями ортонормированности и полноты

,

 

. (2.10а)