Задачі для самостійного розв’язання. 1. Знайти координати вершин, півосі, півфокусну відстань, ексцентриситет і рівняння асимптот гіпербол

1. Знайти координати вершин, півосі, півфокусну відстань, ексцентриситет і рівняння асимптот гіпербол, побудовати їх графіки.

1) , 2) , 3) .

2. Скласти канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої розміщені на осі ОХ, якщо

1) а=5, b=3;

2) і 2b=8;

3) 2b=6 і ;

4) рівняння асимптот і .

3. Скласти канонічне рівняння гіперболи, дійсна вісь якої лежить на осі ОХ, якщо гіпербола проходить через точки і .

4. Записати рівняння гіперболи, дійсна вісь якої дорівнює 6, і відстань фокусами дорівнює 10, записати рівняння спряженої гіперболи. Побудувати їх графіки.

5. Знайти центр, півосі, півфокусну відстань, ексцентриситет і канонічне рівняння гіпербол:

1) ;

2) ;

3) . Побудувати ці гіперболи.

Вказівка: необхідно виділити повні квадрати змінних і знайти новий початок координат, що відповідатиме паралельному переносу системи координат в новий центр (див. розв’язану аналогічну задачу 4 в попередньому параграфі для еліпса).

6. Знайти точки перетину гіперболи з прямою .

7. Відомо, що гіпербола проходить через фокуси еліпса , а її фокуси знаходяться у вершинах еліпса. Скласти рівняння гіперболи.

8. Ексцентриситет гіперболи, яка має спільні фокуси з еліпсом , дорівнює 1,2. скласти рівняння цієї гіперболи.

9. Знайти площу прямокутника, вершини якого містяться в точках перетину гіперболи і кола .

10. Гіперболи задані рівняннями і . Знайти кут між їхніми асимптотами, які розміщені в першій чверті.

Відповіді: 1. 1) ; 2) ;

3) .

2. 1) ; 2) ; 3) ;

4) . 3. . 4. , . 5. 1) ;

2) ;

3) .

6. , . 7. . 8. .

9.112. 10..