Линейные неоднородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

Линейным неоднородным уравнением n -го порядка спостоянными коэффициентами называется уравнение вида

где а ₁, а ₂,..., а _n — некоторые действительные числа.

Это частный случай уравнения (7), когда выполняется условие:

а _i (х) = а _i = cons t (i = 1, 2,..., n).

Общее решение линейного неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

у = у ₀ + у*,

где у ₀ — общее решение соответствующего линейного однородного уравнения

у ^* — частное решение данного линейного неоднородного уравнения.

Частное решение у^* данного линейного неоднородного уравнения можно найти методом подбора (методом неопределённых коэффициентов). Этот метод применим только в том случае, если правая часть уравнения неоднородного уравнения имеет вид

f (x) = е ^a ^x × (P_n (x)cos b x + Q_m (x)sin b x), где P_n (x), Q_m (x) — многочлены от х степени n и m соответственно; a, b — постоянные.

Тогда частное решение у^* уравнения существует в виде

у^* = х ^s × е ^a ^x × ( cos b x + sin b x), (16)

где s — кратность корня a ± b i характеристического уравнения (если a ± b i не является корнемхарактеристического уравнения, то s = 0); k = max (n, m); , — многочлены от х степени k общего вида с неопределёнными коэффициентами.

Простейшие виды правых частей f (x)уравнения и соответствующие им частные решения у^*, указаны в табл. 2.

Таблица 2. Частные решения линейного неоднородного
уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами

№	Правая часть f (x) уравнения (14)	*Вид частного решения у^ уравнения (14)**
№	Правая часть f (x) уравнения (14)	l не является корнем характеристического уравнения (12)	l является корнем характеристического уравнения (12)
1	f (x) = P_n (x) – многочлен степени n	l = 0 – не корень Þ у^* = Q_n (x) – многочлен степени n	l = 0 – корень (12) кратности s Þ Þ у^* = х ^s × Q_n (x) – многочлен степени s + n
2	f (x) = е ^a ^x ×P_n (x)	l = a – не корень Þ Þ у^* = е ^a ^x ×Q_n (x)	l = a – корень кратности s Þ Þ у^* = е ^a ^x × х ^s × Q_n (x)
3	f (x) = P_n (x) × cosb x + + Q_m (x)sinb x	l = ± b i – не корень Þ Þ у ^* = P'_k (x) cos b x + Q'_k (x) sin b x	l = ± b i – корень кратности s Þ Þ у ^* = х ^s × ( cos b x + Q'_k (x) sin b x)
4	f (x) = е ^a ^x × (P_n (x) ×× cosb x + Q_m (x) sinb x)	l = a ± b i – не корень Þ Þ у ^ = е* ^a ^x × (P'_k (x) cos b x + + Q'_k (x) sin b x)	l = a ± b i – корень кратности s Þ Þ у ^ =х* ^s ×е ^a ^x (P'_k (x) cos b x + + Q'_k (x) sin b x)

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Решение. Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением четвёртого порядка спостоянными коэффициентами. Его общее решение найдём по формуле (10):

у = у ₀+ у^*,

где у ₀ — общее решение соответствующего линейного однородного уравнения ; у^* — частное решение данного линейного неоднородного уравнения.

1. Найдём общее решение у ₀ соответствующего линейного однородного уравнения

Запишем для него характеристическое уравнение

Его корни: k _1,2= ± 1 — простые действительные числа (п. 2.3, случай 1); k _3,4= ± i — комплексные сопряжённые простые корни (п. 2.3, случай 3; a = 0, b = 1). Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид

у ₀ = С ₁ е ^x + C ₂ е ^–х + С ₃cos x + C ₄sin x.

2. Найдём частное решение у^* данного линейного неоднородного уравнения методом неопределённых коэффициентов.

Правая часть уравнения

f (x) = 10 cos x

является частным случаем выражения (15); в табл. 2 это случай 3, где P_n (x)= P ₀(x)=10,
b =1, Q_n (x) = Q ₀(x) = 0.

Так как ± i — однократные корни характеристического уравнения, то по табл. 2 (последний столбец третьей строки) получаем частное решение у^* данного линейного неоднородного уравнения:

у^* = х × (А ₁cos x + А ₂sin x).

Найдём неизвестные величины А ₁, А ₂. Для этого продифференцируем четыре раза получившееся уравнение:

у^*' = (х × (А ₁cos x + А ₂sin x))' = А ₁cos x + А ₂sin x + х × (– А ₁sin x + А ₂cos x);

у^*'' = 2 А ₂cos x – 2 А ₁sin x – х × (А ₁cos x + А ₂sin x);

у^*''' = – 3 А ₁cos x – 3 А ₂sin x – х × (– А ₁sin x + А ₂cos x);

у^* ^IV = 4 А ₁sin x – 4 А ₂cos x + х × (А ₁cos x + А ₂sin x).

Подставим выражения для у ^IV и у в исходное уравнение у ^IV ‑ y = 10 cos x:

4 А ₁sin x – 4 А ₂cos x + x (А ₁cos x + А ₂sin x) – хА ₁cos x – хА ₂sin x = 10 cos x.

После преобразований получим уравнение:

4 А ₁sin x – 4 А ₂cos x = 10 cos x.

Приравняем коэффициенты в левой и правой частях при sin x и cos x:

4 А ₁ = 0; – 4 А ₂ = 10.

Отсюда А ₁ = 0; А ₂ = – 5/2. Подставим эти значения в частное решение у^* данного линейного неоднородного уравнения:

у^* = х × (А ₁cos x + А ₂sin x) = – 5/2 х sin x.

3. Таким образом, общее решение данного линейного неоднородного уравнения спостоянными коэффициентами имеет вид

у = у ₀+ у^* = С ₁ е ^x + C ₂ е ^-х + С₃cos x + C ₄sin x ‑ 5/2 х sin x.

Пример 2. Найти общее решение уравнения

у'' ‑ 3 у' + 2 y = x ² + 3 x.

Решение. Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением второго порядка спостоянными коэффициентами. Его общее решение найдём по формуле (10):

у = у ₀+ у^*,

где у ₀ — общее решение соответствующего линейного однородного уравнения у'' – 3 у' + 2 y = 0;
у^* — частное решение данного линейного неоднородного уравнения.

1. Найдём общее решение у ₀ соответствующего линейного однородного уравнения
у'' ‑ 3 у' + 2 y = 0.

Запишем для него характеристическое уравнение

k ²‑ 3 k + 2 = 0.

Его корни k ₁= 1, k ₂= 2 — простые действительные числа (п. 2.3, случай 1). Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид

у ₀ = С ₁ е ^x + C ₂ е ^2х.

Правая часть уравнения f (x) = x ² + 3 x — многочлен 2-й степени — является частным случаем выражения (15). В табл. 2 это случай 1, где P_n (x)= P ₂(x)= x ² + 3 x. Так как 0 не является корнем характеристического уравнения, то по табл. 2 (предпоследний столбец первой строки) получаем частное решение у^* данного линейного неоднородного уравнения:

у^* = Q ₂(x) = А ₁ x ² + А ₂ x + А ₃.

Найдём неизвестные величины А ₁, А ₂, А ₃. Для этого продифференцируем два раза получившееся уравнение:

у^*' = (А ₁ x ² + А ₂ x + А ₃ = 2 А ₁ x + А ₂; у^*'' = 2 А ₁.

Подставим выражения для у'', у' и у в исходное уравнение:

2 А ₁ – 6 А ₁ x – 3 А ₂ + 2 А ₁ x ²+ 2 А ₂ x + 2 А ₃= x ²+ 3 x.

После преобразований получим уравнение:

2 А ₁ x ²+ (2 А ₂– 6 А ₁) x + (2 А ₁ – 3 А ₂ + 2 А ₃) = x ²+ 3 x.

Приравняем коэффициенты в левой и правой частях полученного равенства при одинаковых степенях неизвестного x:

Решив систему, получим А ₁ = 1/2; А ₂ = 3; А ₃ = 4. Подставим эти значения в частное решение у^* данного линейного неоднородного уравнения:

у^* = x ² + 3 x + 4.

3. Таким образом, общее решение данного линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид

у = у ₀+ у^* = С ₁ е ^x + C ₂ е ^2х + x ² + 3 x + 4.

Пример 3. Найти общее решение уравнения

у'' ‑ 2 у' + y = x ∙ e^x.

у = у ₀+ у^*,

где у ₀ — общее решение соответствующего линейного однородного уравнения у'' ‑ 2 у' + y = 0;

у^* — частное решение данного линейного неоднородного уравнения.

1. Найдём общее решение у ₀ соответствующего линейного однородного уравнения
у'' ‑ 2 у' + y = 0.

Запишем для него характеристическое уравнение

k ²– 2 k + 1 = (k – 1)² = 0.

k ₁= k ₂= 1 — действительный корень кратности 2 (п. 2.3, случай 2). Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид

у ₀ = е ^x (С ₁+ C ₂ х).

Правая часть уравнения f (x) = x ∙ е ^x является частным случаем выражения (15). В табл. 2 это случай 2, где P_n (x)= P ₁(x)= х, a = 1. Так как a = 1 — это корень характеристического уравнения кратности 2, то по табл. 2 (последний столбец второй строки) получаем частное решение у^* данного линейного неоднородного уравнения:

у^* = е ^x × х ² × Q ₁(x) = е ^x × х ² × (А ₁ x + А ₂) = е ^x × (А ₁ х ³+ А ₂ х ²).

Найдём неизвестные величины А ₁, А ₂. Для этого продифференцируем два раза получившееся уравнение:

у^*' = (е ^x × (А ₁ х ³+ А ₂ х ²) = е ^x × (А ₁ х ³+ (А ₂+ 3 А ₁) х ²+ 2 А ₂ x);

у^*'' = е ^x × (А ₁ х ³+ (А ₂+ 3 А ₁) х ²+ 2 А ₂ x + 3 А ₁ х ²+ 2(А ₂+ 3 А ₁) х + 2 А ₂).

Подставим выражения для у'', у' и у в исходное уравнение:

е ^x × (А ₁ х ³+ (А ₂+ 3 А ₁) х ²+ 2 А ₂ x + 3 А ₁ х ²+ 2(А ₂+ 3 А ₁) х + 2 А ₂) – 2 е ^x × (А ₁ х ³+ (А ₂+ 3 А ₁) х ²+ 2 А ₂ x +
+ е ^x × (А ₁ х ³+ А ₂ х ²) = х ∙ е ^х.

Разделим равенство на е ^x и после несложных преобразований получим уравнение

6 А ₁ x + 2 А ₂= x.

Приравняем коэффициенты в левой и правой частях полученного равенства при одинаковых степенях неизвестного x: 6А ₁ = 1; 2 А ₂ = 0. Откуда получим А ₁ = 1/6; А ₂ = 0. Подставим эти значения в частное решение у^* данного линейного неоднородного уравнения:

у^* = е ^x × х ³.

у = у ₀+ у^* = е ^x (С ₁+ C ₂ х) + е ^x × х ³= е ^x (С ₁+ C ₂ х + х ³).

Пример 4. К источнику с электродвижущей силой (ЭДС), равной е (t), подключили контур, состоящий из последовательно соединённых катушки индуктивности L, омического сопротивления R и ёмкости C. Найти силу тока i в цепи как функцию времени t, если в начальный момент времени сила тока в контуре и заряд конденсатора равны нулю.

Решение. По закону Кирхгофа электродвижущая сила в цепи равна сумме падений напряжения на индуктивности, сопротивлении и ёмкости:

е (t) = U_L + U_R + U_C,

где U_L = ; U_R = R i; U_C = .

Заметим, что последнее равенство получается из соотношения между силой тока и зарядом конденсатора: , откуда , а так как U_C = , то U_C = + . По условию задачи q ₀= 0. Таким образом, получаем интегрально-дифференциальное уравнение е (t) = + R i + . Продифференцировав его по t, получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

+ R + .

Здесь возможны два случая: 1) е (t) = С = сonst; 2) е (t) = E sin w t.

Рассмотрим первый случай. Здесь . Тогда получим однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

+ + .

Характеристическое уравнение имеет корни

Если ³ 0, то корни характеристического уравнения — действительные и общее решение есть функция непериодическая. Соответственно апериодической является и сила тока. Никаких электрических колебаний в цепи не произойдёт.

Если же < 0, то общее решение

где , определяет электрические колебания.

Так как , то .

Следовательно, начальные условия можно записать в виде

; .

Дифференцируя i по t, имеем

Подставив t = 0 в выражения для i и , получим

0 = С1, ,

откуда С ₁ = 0, .

Итак, частное решение уравнения принимает вид

Рассмотрим второй случай. Так как е (t) = E sin w t, то E × w × cos w t. Тогда получим линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

+ + E × w × cos w t.

Его общее решение найдём по формуле (10):

где i ₀ - общее решение соответствующего линейного однородного уравнения (его мы уже нашли, рассматривая первый случай); - частное решение данного линейного неоднородного уравнения. Найдём частное решение данного линейного неоднородного уравнения методом неопределённых коэффициентов.

Правая часть уравнения f (t) = E × w × cos w t является частным случаем выражения (15);

в табл. 2 это случай 3, где P_n (t)= P ₀ (t) == E × w × cos w t, b =w, Q_n (t) = Q ₀ (t) = 0. Так как ± w i не является корнем характеристического уравнения, то по табл. 2 (предпослед-ний столбец третей строки) получаем частное решение линейного неоднородного уравнения: