Краткие теоретические сведения

Математический маятник

Обычно под маятником понимают тело, совершающее колебания под действием силы тяжести. При этом ось маятника не проходит через центр тяжести тела. Простейший математический маятник (Рис. 2.3), представляет собой тело, размерами которого по сравнению с длиной нити, на которой тело подвешено, можно пренебречь. Период колебаний такого маятника зависит от его длины:

(2.11)

где g = 9,8 м/с ,

l – длина нити

Рисунок 2.3 – Математический маятник

Математический маятник – это модель системы, совершающей гармонические колебания. Свободные колебания математического маятника при малых углах отклонения описываются уравнением гармонических колебаний.

В положении равновесия сила тяжести и сила упругости (сила натяжения нити) нити уравновешивают друг друга, и материальная точка находится в покое. При отклонении материальной точки от положения равновесия на малый угол α на тело будет действовать возвращающая сила , которая является тангенциальной составляющей силы тяжести:

Эта сила сообщает материальной точке тангенциальное ускорение, направленное по касательной к траектории, и материальная точка начинает двигаться к положению равновесия с возрастающей скоростью. По мере приближения к положению равновесия возвращающая сила, а следовательно, и тангенциальное ускорение точки, уменьшаются. В момент прохождения положения равновесия угол отклонения α=0, тангенциальное ускорение также равно нулю, а скорость материальной точки максимальна. Далее материальная точка проходит по инерции положение равновесия и, двигаясь в направлении, противоположном силе , сбавляет скорость. В крайнем положении материальная точка останавливается, и затем начинает двигаться в обратном направлении.

Физическим маятником называется твердое тело, совершающее под действием приложенных сил колебания около неподвижной точки не совпадающей с его центром масс.

Центр масс — это геометрическая точка, положение которой характеризует распределение масс в теле.

При малых углах отклонения (Рис.2.4) физический маятник также совершает колебания, близкие к гармоническим, с периодом

(2.12)

где l –расстояние от точки подвеса О до центра масс С;

m − масса тела;

J – момент инерции относительно оси, проходящей горизонтально через точку подвеса О.

Рисунок 2.4 − Физический маятник

Точка О^/ на продолжении прямой ОС, находящаяся на расстоянии L от оси подвеса, называется центром качания маятника, а точка С – центр масс физического маятника При этом расстояние ОО^/ = L всегда больше ОС = l. Точка О оси подвеса маятника и центр качания О^/ обладают свойством взаимности. Если ось подвеса сделать проходящей через центр качаний, то точка О, прежней оси подвеса, станет новым центром качаний и период колебаний маятника не изменится.

Расстояние L, между точкой подвеса и О и центром качания О^/, называют приведенной длиной физического маятника.

(2.13)

При подстановке последнего выражения в формулу 2.12, получим:

(2.14)

Сравнивая (2.14) и (2.12), видим, что период колебаний физического маятника совпадает с периодом колебаний математического маятника, если L=l. Иными словами, приведенная длина физического маятника равна длине математического маятника, качающегося синхронно с физическим.

Свойства маятника широко пользуются в различных приборах: в часах, при определении ускорений тел, колебаний земной коры, в гироскопах, для определения моментов инерции тел, и др.

Порядок выполнения работы

Задание 1 Определение центра масс физического маятника

1.Проткните физический маятник булавкой (Рис 2.5) недалеко от края, расширьте отверстие настолько, чтобы физический маятник свободно вращался около булавки, как около оси.

2. Воткните булавку вместе с физическим маятником и отвесом в деревянный штатив. Отметьте место, где нить отвеса пересекает нижний край физического маятника.

3. Снимите физический маятник и проведите линию через прокол и отмеченную точку.

4. Повторите пункты 1-3 для двух других точек. Три проведенные линии пересекаются в одной точке С.

Рисунок 2.5 − Эксперимент по определению центра масс физического маятника

Задание 2 Определение периода и приведенной длины колебаний физического маятника.

1. Расположите рядом с физическим маятником математический маятник, длину которого можно изменить по ходу опыта. Добейтесь синхронного колебания математического маятника и физического.

2. Измерьте длину математического маятника (от точки подвеса до центра тяжести), имеющего период колебания, одинаковый с периодом данного физического маятника. Эта длина L является приведенной длиной физического маятника. Отмерьте L на физическом маятнике (Рис.2.4) и найдите центр качений т. О^/

3.Проделайте в физическом маятнике отверстие в точке О^/ и пропустите ось через эту точку. Заставьте физический маятник вновь колебаться около оси, проходящей через центр качаний. Остался ли прежним период колебаний?

4.Определите время 6-10 полных колебаний физического маятника, а затем математического маятника и занесите в таблицы 2.4 и 2.5

5 Пункт 4 повторите еще раз

Таблицы 2.4 −Экспериментальные данные

Таблицы 2.5 −Экспериментальные данные