Напряжение в поперечных сечениях стержня

 

Продольная сила N в произвольном поперечном сечении бруса является равнодействующей внутренних усилий в этом сечении. При растяжении или сжатии стержня внутренние усилия действуют в каждой точке сечения. Они направлены перпендикулярно поперечному сечению и имеют название нормальных напряжений σ. Равнодействующая нормальных напряжений действует вдоль оси стержня и равняется продольной силе N.  На каждую элементарную площадку dA поперечногосечения действует элементарная нормальная сила, которая равняется произведению σ∙dA. Учитывая, что таких сил в сечении стержня бесконечное множество и их равнодействующая равняется N,   найдем:

 

                                                                                                                      (9.1)

       В формуле (9.1) σ  есть нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня, а величина А есть площадь этого сечения.

       Определенный интеграл (9.1) по всей площади сечения можно вычислить в случае, если известный закон распределения нормальных напряжений по этой площади, т.е. известна эпюра нормальных напряжений по ширине и высоте сечения.    Исследование напряжений при действии осевых сил позволяет сделать вывод, что в сечениях стержня достаточно удаленных от точек нагружения стержня сосредоточенными силами, нормальные напряжения равномерно распределены по всей площади сечения (рис.9.4), то есть напряжение σ является постоянной величиной. Это обстоятельство позволяет вынести σ   за знак интеграла в зависимости (9.1) и в результате получаем:

                                          

                                                                                                               

                                                     Рис. 9.4

 

                                    , откуда       

                                                                                                                              (9.2)

 

       Таким образом, нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня при растяжении (или сжатии) равняется отношению продольной силы N, действующей в этом сечении, к площади A поперечного сечения.

       Нормальные напряжения изменяются по длине стержня в зависимости от изменения продольной силы N  и площади сечения A. Если на некотором участке стержня продольная сила и площадь сечения имеют постоянные значения, то напряжение также будет иметь постоянное значение. Эпюра напряжений по длине стержня будет ограничена прямой, параллельной оси стержня. Если продольная сила линейно зависит от положения сечения (при равномерно распределенной нагрузке), а его площадь является постоянной, то напряжение также будет линейно зависеть от положения сечения, то есть эпюра нормальных напряжений будет ограничена прямой, наклоненной к оси стержня под некоторым углом.

Заметим, что эпюра нормальных напряжений имеет скачки в сечениях стержня, где действуют внешние сосредоточенные силы, а также в сечениях, где происходит изменение площади сечения.

Пример 9.2. Определить напряжение в характерных сечениях стержня, рассмотренного в примере 9.1 и построить эпюру этих напряжений по высоте стержня, если площадь верхней части стержня равняется 10 см², а площадь нижней части стержня равняется 20 см².

 

 

                                                                                                                    

                                                     Рис.9.5

 

Последовательность решения задачи:

        1) Используем эпюру продольных усилий, построенную в примере 9.1. Перенесем эту эпюру  на рис.9.5,б. и вычислим по формуле (9.2) напряжение в двух сечениях каждого участка стержня: в начале и на конце, поскольку нормальные напряжения, как и продольные силы, линейно зависят от положения сечения.

Для верхней части стержня, длина которого равна 3м, имеем:

при x₁ = 0 - σ = 100 /10 = 10 кН/см² (100 МПа),

при x₁ =3 м - σ = 160 /10 = 16 кН/см² (160 МПа).

     Для нижней части стержня имеем:

при x₂ =0   - σ = 360 /20 = 18 кН/см² (180 МПА),

при x₂ =2 м - σ = 260 /20 = 13 кН/см² (130 МПа).                                                                                                     

     На рис.9.5,в построена эпюра нормальных напряжений.

 

             9.4. Напряжения в наклоненных сечениях стержня

            

       Рассмотрим стержень, на который действует сила растяжения F (рис. 9.6,а). Через произвольную точку n проведем поперечное сечение nn₂, площадь которого равняется A   и сечение nn₁, расположенное под углом α относительно поперечного сечения. Площадь этого сечения обозначим через A_α.

    Соотношение между площадями двух сечений определяется равенством:

                                                                                                                       (9.3)

       В точках наклоненного сечения nn₁ действуют равномерно распределенные напряжения p (рис.9.6,б). Равнодействующая этих напряжений равняется произведению pA _α и направлена вдоль оси стержня. Из условия равновесия нижней части стержня имеем: Σ X_i =0, pA _α - F = 0, откуда pA _α =F, или                                             

                                                                                                                               (9.4)

Подставим в зависимость (9.4) вместо площади A _α ее значения из зависимости (9.3), в результате получим:  

, окончательно                                                       (9.5)                                                                                           

        Пользуясь правилом параллелограмма, разложим напряжение p на две составляющие: σ_α и τ_α. Составляющая σ_α направлена перпендикулярно наклоненному сечению и называется нормальным напряжением в наклонном сечении, а составляющая τ_α действует в плоскости сечения и называется касательным напряжением в том же сечении (рис. 9.6,в). Нормальное напряжение в наклоненном сечении стержня имеет положительный знак в случае, если оно направлено от сечения (напряжение растяжения) и отрицательный знак, если оно направлено к сечению (напряжение сжатия).  

                               

                                   

                                                                      Рис.9.6

 

 

Касательное напряжение τ_α в наклоненном сечении принимается положительным, если вектор этого напряжения пытается повернуть отсеченную часть стержня в направлении часовой стрелки относительно произвольной точки С, расположенной на внутренней нормали сечения.

Из силового треугольника (рис 9.6,в), находим:

       , или

                                                                                                                    (9.6)    

       ,    или  

                                                                                                                    (9.7)

       Анализируя формулы (9.6) и (9.7), можем сделать следующие выводы:

1) Нормальные напряжения имеют максимальные значения при α = 0 (т.е. в поперечных сечениях стержня) и нулевые значения при α = 90⁰ (т.е. в сечениях параллельных оси стержня).

        2) Касательные напряжения имеют максимальные значения в сечениях, расположенных под углом 45⁰ к оси стержня. Из формулы (9.7), при α = 45⁰, легко найдем максимальное значение касательного напряжения, равное половине нормального напряжения, которое возникает в поперечном сечении стержня. При α = 90⁰ по той же формуле   находим   τ_α = 0. Таким образом, в сечениях стержня, параллельных оси, касательные напряжения не возникают.