Статический момент площади относительно оси

Статическим моментом площади сечения относительно произвольной оси называется интеграл произведения элементарной части dA этой площади на ее расстояние от оси.  

Статический момент измеряется в единицах длины, возведенных в третью степени (см³, м³).

Рассмотрим плоскую фигуру произвольной формы (рис.8.2).

                          

                                    

                                             Рис. 8.2

 

       Проведем через произвольную точку плоскости горизонтальную ось y, и вертикальную ось z. Выделим элементарную часть dA площади фигуры, координаты которой соответственно равняются y и z. Заметим, что всякая площадь может рассматриваться как сумма безгранично большого количества элементарных частей dA. Тогда статические моменты площади заданной фигуры относительно осей y и z будут определяться соответственно следующими интегралами:                                                                                                                         

                                                                                                             (8.1)

                                                                                                             (8.2)

Проведем затем через центр тяжести сечения О_с центральные оси y_с и z_с параллельно осям y и z и вычислим   статические моменты относительно центральных осей, если известны статические моменты относительно произвольных осей y и z. Координаты элементарной части dA площади сечения относительно этих осей соответственно равны y – y_с и z – z_с (смотри рис.8.2), тогда:

 

                                                           (8.3)

                                                        (8.4)

 

Из теоретической механики известно, что статические моменты относительно центральных осей всегда равны нулю, то есть ; , тогда

                       , откуда                                             (8.5)

                       ,  откуда                                            (8.6)

 

Эти формулы используют для определения координат центра тяжести плоской фигуры произвольной формы, и произвольных размеров.

Если плоская фигура составлена из нескольких частей простой формы, площади которых и положения центров тяжести известны, то статический момент определяется как сумма статических моментов отдельных фигур, то есть:

 

                                 ==                                          (8.7)

                                   ==                                         (8.8)

 

Координаты центра тяжести сложной фигуры (плоского сечения бруса) определяются по формулам (8.5) и (8.6) соответственно.

     

Пример 8.1: Определить координаты центра тяжести плоского сечения, составленного из прямоугольника размерами h = 1 см, b = 24 см, и двутавра №16

(рис. 8.3).

Решение: Из таблиц сортамента прокатной стали, находим размеры двутавра и его площадь: H = 16 см, B = 8.1 см, А₁ = 20,2 см² (приложение 2)_.  Определяем площадь прямоугольника А₂ = 1. 24 = 24 см².

 

                                           Рис. 8.3

На чертеже сечения проведем собственные центральные оси отдельных его частей через их центры тяжести (оси y₁ и z₁   через центр О₁ двутавра и оси y₂ и   z₂  через центр О₂ прямоугольника). Определим статические моменты всего сечения относительно осей y₂ и z₂. Вспомогательные оси координат целесообразно выбрать так, чтобы координаты центров тяжести отдельных частей сечения были положительными, или равными нулю.

Учитывая размеры и расположения отдельных частей сечения, определяем координаты их центров тяжести относительно осей y₂ и z_2. В этом случае координаты точки О₁ будут иметь положительные знаки: y₁= b/2- B/2 = 24/2 - 8,1/2 = 7,95 см;

  z₁= h/2+ H/2 = 1/2 + 16/2 = 8,5 см. Координаты точки О₂ будут иметь нулевые значения:

   y₂ = 0; z₂ = 0.

Определяем статические моменты сечения относительно осей y₂ и z₂, используя формулы (2.7) и (2.8).

                          =   = 20,2 ^. 8,5 = 171,7 см3     

                          =  = 20,2 ^. 7,95 = 160,59 см3

       Определяем координаты центра тяжести всего сечения по формулам (2.5) и (2.6):

                           = 171,1/(20,2+24)= 3,87 см,  

                            = 160,59/(20,2+24)= 3,63 см.

Таким образом, центр тяжести сечения находится на расстоянии 3,87 см от оси y₂ и на расстоянии 3,63 см от оси z₂  (рис. 8.3). Следует иметь в виду, что центр тяжести сечения, составленного из двух фигур, всегда находится на линии, которая соединяет центры тяжести составляющих фигур. Это свойство используют для проверки решения задачи.