Система пар,  расположенных в одной плоскости, приводится к одной равнодействующей паре, момент которой равен алгебраической сумме моментов составляющих пар.

Положим, что в плоскости чертежа (рис.3.8,а) действуют три пары, моменты которых соответственно равны ,  и . Направле­ния их действия указаны на чертеже стрелками.

Возьмем произвольный отрезок АВ = h (рис.3.8,б) и на основании следствия б) свойства 3 эквивалентности пар приведем все задан­ные пары к этому отрезку h (плечу). При этом силы, образующие пары с общим плечом h будемоткладывать от точек А и В перпендикуляр­но отрезку АВ в направлениях, которые соответствуют направлениям действия заданных пар.

                                   Рис.3.8

 

Так как пары, имеющие моменты  и  действуют по часовой стрелке, то силы   и   направляем вверх от точки А, а силы  и  - вниз от точки В. Силы  и  следует направить противоположно первым двум силам. Модули сил ,  и  определяем из условия равенства моментов заданных пар и пар, приведенных к общему плечу АВ, т.е. из равенств:

                      ,  ,

Откуда находим:

                                   ,   ,                                               (3.10)

Силы ,  и , приложенные в точке А и действующие вдоль одной прямой приводятся к равнодействующей , направленной вдоль той же прямой и равной по модулю алгебраической сумме этих сил:

 

                                                                                                 (3.11)

 

Аналогично силы ,  и  приводятся к равнодействующей , модуль которой определяется выражением:

 

                                                                                                (3.12)

Силы и  параллельны между собой, направлены в противоположные стороны и имеют равные модули (согласно равенствам: 3.11 и 3.12).

Следовательно, эти си­лы образуют пару сил (, ), которая является равнодействующей заданных пар. На рис.3.8,б эта пара перемещена в положение CD.

Покажем, что момент равнодействующей пары равен алгебраичес­кой сумме моментов составляющих пар.

Обозначим момент пары (, ) буквой m, и вычислим его значе­ние по известной формуле

Заменив модуль равнодействующей её значением из равенства (3.11), получаем:

Приведенное доказательство теоремы является справедливым и для произ­вольного числа пар, т.е:

                                                                                                           (3.13)

 

3.5. Условие равновесия пар.

Для равновесия твердого тела, загруженного системы пар сил, рас­положенных в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов этих пар была равной нулю.

Допустим, что под действием трех пар, показанных на рис.34,а тело находится в равновесии. После приведения заданных пар к общему плечу h (рис.3.8,б), получим три новых пары сил, две из которых действуют по часовой стрелке, а одна противоположно. Так как по условию эти пары сил находятся в равновесии, то очевидно, что

                             и

Согласно равенствам (3.11) и (3.12) имеем: . Следовательно, момент уравновеши­вающей пары равен нулю. Тогда из выражения (3.13) получим условие равновесия плоской системы пар:

                                                                                                             (3.14)

Условие (3.14) позволяет составить уравнение равновесия плоской системы пар и определить неизвестные параметры одной из них.