Уравнения, не содержащие искомой функции и производных этой функции до порядка k

Лекция3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Дифференциальное уравнение n -го порядка имеет вид

или, если оно разрешено относительно старшей производной,

y ⁽ ⁿ ⁾ = f (x, y, , ,..., y ⁽ ⁿ ^- ¹⁾). (1)

Решением дифференциального уравнения (1), как и уравнения первого порядка, называется дифференцируемая функция у = у (х), которая при подстановке в уравнение (1) обращает его в тождество.

Решения дифференциальных уравнений высших порядков могут быть общими, частными или особыми.

Общее решение уравнения (1) зависит от переменной х и n произвольных постоянных, т.е. имеет вид:

у = у (х, С ₁, С ₂,..., С _n).

Решение, которое получается из общего решения при некоторых фиксированных значениях постоянных С ₁, С ₂,..., С _n, называется частным решением уравнения (1).

Для того, чтобы получить частное решение из общего, обычно задают начальные условия:

, , ,..., .

При этом отыскание частного решения уравнения (1), удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется решением задачи Коши для этого уравнения.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения (1) аналогична соответствующей теореме, рассмотренной ранее (п. 1.1) для случая n = 1.

Особым решением уравнения (1) называется такое решение, во всех точках которого условие единственности не выполняется.

Из всего многообразия дифференциальных уравнений высших порядков в данном разделе рассмотрим только основные простейшие виды, а именно — уравнения, допускающие понижения порядка, и подробнее остановимся на линейных уравнениях второго порядка.

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Рассмотрим простейшие виды дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.

2.1.1. Уравнения вида y ⁽ ⁿ ⁾ = f (x).

Общее решение дифференциального уравнения такого вида получают n -кратным интегрированием самого уравнения:

y ⁽ ⁿ ⁾ = f (x);

;

……………………………...............

где .

Так как являются постоянными величинами, то общее решение можно записать в виде

Пример 1. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: у (0) = 1/32, , .

Решение. 1) Найдём общее решение последовательным интегрированием данного уравнения:

;

; ;

2) Для нахождения частного решения необходимо определить константы С ₁, С ₂, С ₃, С ₄. Подставим начальные условия в полученные нами уравнения:

Видим, что С ₁= 0, С ₂= 1/4, С ₃= 0, С ₄= 0. Следовательно, искомое частное решение имеет вид

Уравнения, не содержащие искомой функции и производных этой функции до порядка k – 1 включительно

Уравнения, не содержащие искомой функции и производных до порядка k - 1 включительно, можно записать в виде

. (2)

Порядок такого уравнения можно понизить на k единиц заменой , т.е. взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных. Тогда уравнение (2) примет вид

Из последнего уравнения можно определить функцию

z = f (x, С ₁, С ₂, ..., С_{n -k}),

а затем найти у из уравнения y⁽^k⁾ = f (x, С ₁, С ₂,.., С_{n -k}) k -кратным интегрированием.

Пример 2. Найти частное решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям у (2) = 1, .

Решение. Данное уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка, не содержащим искомой функции.

1. Найдём общее решение данного уравнения. Полагая , преобразуем уравнение
к виду

. (3)

Это неоднородное линейное уравнение первого порядка. Решим его методом Лагранжа.

Сначала найдём общее решение соответствующего однородного линейного уравнения первого порядка:

Для этого разделим переменные и проинтегрируем:

, где .

Затем найдём общее решение неоднородного линейного уравнения (3). Пусть

. (4)

Дифференцируя это равенство, получим . Подстановка z и в уравнение (3) даёт

(x –1)∙ C ' (x) = x (x – 1) C' (x) = x

Подставим последнее равенство в (4), получим общее решение неоднородного линейного уравнения (3):

Так как , получим

Это уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя его, получим общее решение исходного уравнения:

2. Для нахождения частного решения необходимо определить константы С ₁, С ₂. Подставим начальные условия у (2) = 1, в полученные нами уравнения:

Решив систему, получим С ₁= –3; С ₂= 1/3. Следовательно, искомое частное решение имеет вид