Удар называется центральным, если силы, возникшие при взаимодействии тел, проходят через их центры масс.

1. Абсолютно упругий удар - это такой удар, в результате которого механическая энергия соударяющихся тел не преобразуется в другие виды энергии. При этом не происходит потери механической энергии: кинетическая энергия движущихся тел переходит в потенциальную энергию упругой деформации; затем тела восстанавливают свою первоначальную форму и потенциальная энергия опять переходит в кинетическую. После удара происходит перераспределение кинетической энергии и тела движутся с разными скоростями.

Пусть два абсолютно упругих шара с массами  и  движутся до удара поступательно со скоростями  и , направленными вдоль оси ОХ, проходящей через их центры масс. Соударение может произойти: 1) если шары движутся навстречу друг другу, или 2) один из шаров догоняет другой. Рассмотрим второй случай (рис. 1, а). Тогда  >  > 0. Определим скорости шаров  и  после удара (рис. 1, б).

 

            

                                                                  

                                         

 

 

                  

 

Считаем, что шары образуют замкнутую систему, и вращение шаров отсутствует. Запишем уравнение закона сохранения импульса:                                  (1)   Так как все скорости направлены вдоль оси ОХ, то это выражение можно заменить следующим алгебраическим уравнением:                                 (1*)

 

где  - проекции соответствующих векторов скоростей на линию удара – ось ОХ.

Потенциальную энергию шаров до и после удара можно считать равной нулю, так как шары не деформированы. Следовательно, выполняется закон сохранения кинетической энергии:

 

.                          (2)

 

Сокращая уравнение (2) на 2, запишем уравнения (1^*) и (2), как систему, которую необходимо совместно решить для определения скоростей  и .

   

 

Перенесем слагаемые, относящиеся к  влево, а к  - вправо:

                     

 

(2*)

 

Разделим уравнение (2*) на уравнение (1*):

 

 

Умножим последнее равенство на  и сложим с уравнением (1*):

 

 

Получим: 

.

Откуда

.                                  (3)

Аналогично можно получить:

.                                 (4)

Рассмотрим частные случаи.

а) Массы шаров одинаковы: . Тогда из выражений (3) и (4) имеем , то есть при ударе шары обмениваются скоростями. Если в частности до удара второй шар был неподвижен (), то после удара первый шар остановится (), а второй шар будет двигаться со скоростью первого () в том же направлении.

б) Масса второго шара во много раз больше массы первого шара ( >> ). Тогда из выражения (3) следует, что

 

                                       (5)

 

Скорость более массивного шара почти не меняется .

Из выражения (4) получим:

 

.                              (6)

 

В частном случае, если более массивный шар покоился , то  а  (из выражения (5)), то есть скорость более легкого шара в результате удара изменяется только по направлению и шар, отскочив, движется в обратную сторону со скоростью . Например, упругий удар молекулы о стенку сосуда.

2. Абсолютно неупругий удар - это такой удар, в результате которого тела не восстанавливают свою первоначальную форму, при этом часть кинетической энергии переходит в энергию деформации и в конечном счете - в тепловую (внутреннюю) энергию. После удара тела движутся как одно целое, то есть с одинаковой скоростью.

При абсолютно неупругом ударе выполняется закон сохранения импульса. Закон же сохранения механической энергии не соблюдается: имеет место общий закон сохранения полной энергии - механической и внутренней.

Пусть два неупругих тела с массами  и  движутся вдоль оси ОХ, проходящей через их центры масс, со скоростями  и  вдоль этой оси (рис. 2, а). Тогда после центрального абсолютно неупругого удара их общая скорость поступательного движения будет , направленная также вдоль оси ОХ (рис. 2, б).

Для определения скорости тел  после удара достаточно записать закон сохранения импульса:   , или в проекциях на ось ОХ:   ,      (7) откуда                               (8) Закон сохранения полной энергии для  абсолютно неупругого удара запишется так:

                                        

                                      

 

                                                             

            

                        

      

                                                         

                             

 

                                     .         

 

,                          (9)

 

где  - энергия, затраченная на деформацию тел. Определим .

 

.

 

Подставляя в последнее выражение значение скорости  из формулы (8), получим:

 .                                 (10)

 

На практике используют абсолютно неупругий удар для изменения формы тел (ковка, штамповка, клепка и т.п.), для перемещения тел в среде (забивание гвоздей, свай и т.п.). В первом случае необходимо, чтобы энергия , затраченная на деформацию, была бы наибольшей. Это возможно, если масса неподвижного тела (наковальни) много больше массы движущегося тела (молота). В этом случае почти вся кинетическая энергия молота пойдет на деформацию наковки.

В самом деле, при

 

.                         (11)

(  кинетическая энергия молота). Из последнего выражения видно, что максимальное значение  будет при >> .

Если целью удара является перемещение одного из тел, то расход энергии на деформацию должен быть минимальным. При  справедливо выражение (11), откуда следует, что , если , то есть если >> . Следовательно, масса движущегося тела должна быть много больше массы неподвижного тела (молоток - гвоздь). Тогда почти вся кинетическая энергия движущегося тела передается неподвижному телу, и этим обеспечивается его движение.

 

Описание установки

Опытная установка состоит из панели, на которой укреплена стойка с двумя одинаковыми стальными шарами (1 и 2), подвешенными на электропроводящих нитях. На панели смонтирована электрическая схема, имеющая два электромагнита ЭМ1 и ЭМ2, переключатели П-1 и П-2, счетчик импульсов ПСО2 - 4 и генератор частоты (см. схему на рис. 3).

 

П-1

Принцип определения силы соударения упругих шаров состоит в следующем. Если один из шаров отклонить от вертикали на некоторый угол, то он поднимется на высоту  (рис.4), и, следовательно, его потенциальная энергия равна . При падении потенциальная энергия переходит в кинетическую, и в момент удара она равна . По закону сохранения энергии

,

откуда скорость

 .                                           (12)

Согласно второму закону Ньютона изменение импульса тела равно импульсу силы

,                                               (13)

 

где  - время взаимодействия шаров. Если другой шар неподвижен, и массы шаров одинаковы, то при центральном упругом ударе движущийся шар остановится, а неподвижный получит скорость u. Изменение импульса первого шара 

.

 

Тогда выражение (13) примет вид:

, или ,

откуда . Подставляя значение скорости (12), получим:

.                                       (14)

Таким образом, необходимо экспериментально определить  - время удара и затем вычислить силу удара .

 

Выполнение работы

Для определения времени соударения шаров используется метод импульсного хронометра. Генератор импульсов соединен последовательно с шарами. Если шары привести в контакт, то за фиксированное время  можно определить число импульсов  и определить время одного импульса

 За время соударения  через электрическую цепь пройдет  импульсов. Тогда время соударения

.                                        (15)

 

1) Включить генератор частоты переключателем П-1.

2) Привести шары в положение контакта.

3) Установить на пересчетном устройстве время замера .

4) Нажать кнопку «сброс», а затем – «пуск». Примечание: перед началом каждого измерения необходимо нажимать кнопку «сброс».

5) Записать число импульсов  в таблицу.

6) Опыт повторить не менее трех раз и записать в таблицу среднее значение .

7) Установить на пересчетном устройстве время, значительно большее, чем время соударения шаров. Для данного опыта устанавливаем время 1000с.

8) Включить один из электромагнитов переключателем П-2 и отвести к нему шар. При этом шар поднимется на высоту .

9) Нажать кнопку «сброс», а затем - «пуск».

10) Изменить положение переключателя П-2, т.е. отключить один электромагнит и включить другой. При этом шар отпускается, соударяется с другим шаром, и другой шар притягивается к включенному электромагниту. За время соударения  электрическая цепь замыкается, и пересчетное устройство фиксирует число импульсов , прошедших по цепи за это время .

11) Записать значение  в таблицу.

12) Опыт повторить не менее трех раз, вычислить среднее значение  и записать в таблицу.

13) По формуле (15) вычислить среднее время соударения шаров:

 

и записать в таблицу.

14) Вычислить среднюю силу центрального упругого удара шаров по формуле (14).

.

Результат записать в таблицу.

 

Таблица измерений и вычислений

,              ()
№ опыта
1.	0,1
2.	0,1
3.	0,1

 

Записать выводы, полученные в работе.

 

Контрольные вопросы

1. Какова цель работы?

2. Что называется ударом? Что такое прямой и центральный удар?

3. Какой удар является абсолютно упругим? Записать для него законы сохранения.

4. Как определяются скорости шаров после абсолютно упругого удара?

5. Как на опыте в данной работе определяется скорость шара в момент удара?

6. Какой удар является абсолютно неупругим? Записать для него законы сохранения.

7. Как определить скорость тел после абсолютно неупругого удара?

8. Как определить энергию деформации тел в результате абсолютно неупругого удара?

9. Чем отличаются между собой абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары?

10. Сформулировать и записать второй закон Ньютона через изменение импульса тела.

11. Чему равно изменение импульса шара при упругом ударе о такой же неподвижный шар?

12. Вывести расчетную формулу, по которой определяется сила соударения шаров.

13. В чем заключается метод импульсного хронометра, используемый в данной работе?

14. Как в данной работе определить время соударения шаров?

Лабораторная работа № 4