Лабораторная работа №3 Проведение дисперсионного анализа

Задание 1

Результаты наблюдений за расходом сырья при производстве одинаковой продукции по одной и той же технологии на пяти различных заводах равных мощностей представлены в таблице MS Excel на рисунке 1, считая, что расход сырья является нормальной случайной величиной.

 

Рис.1. Данные для однофакторного анализа

 

При уровне значимости 0,05 требуется выяснить, зависит ли расход сырья от того, на каком заводе произведена продукция. Оценить степень этой зависимости.

Задание 2

Данные о разрывной нагрузке пряжи, изготовленной на разных станках и из отличающегося некоторым образом друг друга сырья, представлены в таблице MS Excel на рисунке 2.

 

Рис.2. Данные для двухфакторного анализа

 

Качество пряжи измеряется величиной разрывной нагрузки. Требуется при уровне значимости 0,05 выяснить, влияют ли на качество пряжи тип станка и вид сырья, из которого пряжа производится [7].

Задание 3

Выборочные данные об урожайности пшеницы, выращенной на участках, на которые вносились различные виды удобрений и которые подвергались различной химической обработке, приведены в таблице MS Excel на рисунке 3 [9].

Требуется при уровне значимости 0,05 выяснить, влияют ли на урожайность пшеницы способы химической обработки почвы.

Рис.3. Данные для двухфакторного анализа с повторениями

 

Требуется при уровне значимости 0,05 выяснить, влияют ли на урожайность пшеницы способы химической обработки почвы.

Порядок выполнения работы

Задание 1. Результирующим признаком  является расход сырья, пять заводов – пять групп влияющего фактора . Решение задачи выполняется в два этапа.

1. Проверка гипотезы о равенстве групповых дисперсий с помощью критерия Бартлетта. Пусть : , где  – дисперсия -ой группы фактора , . Показатели, рассчитанные в ходе проверки данной гипотезы представлены в таблице на рисунке 4.

Содержимое ячеек таблицы:

в ячейках B2:F2 находятся объемы выборок , вычисленные с помощью функции СЧЕТ для каждого завода;

в ячейках B3:F3 находятся несмещенные оценки , вычисленные с помощью функции ДИСП для каждого завода;

в ячейки B4:F4 вводится формула

{=СУММПРОИЗВ(B2:F2-1;B3:F3)/СУММ(B2:F2-1)};

в ячейки B5:F5 вводится формула

{=1+1/(3*(5-1))*(СУММ(1/(B2:F2-1))-1/(СУММ(B2:F2)-5))};

в ячейки B6:F6 вводится формула

{=1/B5*СУММПРОИЗВ(B2:F2-1;LN(B4/B3:F3))},

рассчитывающая наблюдаемое значение  критерия Бартлетта;

ячейка B7 содержит формулу =ХИ2ОБР(0,05;5-1), определяющую критическую точку .

Рис. 4. Результаты проверки гипотезы :

 

Так как =0,829796 не попадает в критическую область , то гипотеза о равенстве дисперсий групп принимается, поэтому можно приступить к проверке гипотезы о равенстве математических ожиданий.

2. Однофакторный анализ – проверка нулевой гипотезы : (о равенстве средних значений объемов расходов пяти заводов). Для этого используется режим анализа Однофакторный дисперсионный анализ. Значения параметров в одноименном диалоговом окне устанавливаются следующим образом (рис. 5):

Входной интервал – вводятся ссылки на ячейки А1:А51, в которых находятся наблюдаемые значения признака  и названия уровней фактора;

Группирование – проставляется автоматически;

Метки – устанавливается флажок;

Альфа – вводится уровень значимости 0,05;

Выходной диапазон – вводится ссылка на новый рабочий лист «Однофакт-анализ».

 

Рис. 5. Диалоговое окно Однофакторный дисперсионный анализ

Показатели, рассчитанные в ходе анализа, представлены в виде двух таблиц «ИТОГИ» и «Дисперсионный анализ» на рисунке 6.

Рис. 6. Результат Однофакторного дисперсионного анализа

Вывод. Вычисленное значение =2,4155 не попадает в критическую область , поэтому нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий групп принимается. Следовательно, расход сырья статистически не зависит от завода, производящего продукцию. Для -значения имеет место неравенство 0,01<0,06, что также говорит о хорошем согласии гипотезы : с выборочными данными. С другой стороны, -значение находится близко к 0,05, что вызывает сомнения в ее истинности.

Выборочный коэффициент детерминации

= = =0,1768

показывает, что только 17% общей выборочной вариации расхода сырья связано с выбором завода.

 

Задание 2.

Результирующим признаком  является величина разрывной нагрузки пряжи, факторами – тип станка () и вид сырья () (см. рис. 2). Необходимо проверить гипотезы:

– о равенстве математических ожиданий групп фактора

: ,

– о равенстве математических ожиданий групп фактора

: ,

– о равенстве математических ожиданий взаимодействия факторов

: .

Для решения данной задачи используется режим анализа Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений. Значения параметров в одноименном диалоговом окне устанавливаются следующим образом (рис. 7):

Рис. 7. Диалоговое окно Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений

 

Входной интервал – вводятся ссылки на ячейки А2:C5, в которых находятся значения наблюдаемого признака  и названия уровней факторов;

Метки – устанавливается флажок;

Альфа – вводится уровень значимости 0,05;

Выходной диапазон – вводится ссылка на новый рабочий лист «Двухфакт-без-повторений».

Показатели, рассчитанные в ходе анализа, представлены в виде двух таблиц «ИТОГИ» и «Дисперсионный анализ» на рисунке 8.

 

Рис. 8. Результат Двухфакторного

дисперсионного анализа без повторений

Вывод. Вычисленное значение -критерия фактора  (тип станка) =4,3333 не попадает в критическую область , образованную правосторонним интервалом, поэтому гипотеза : принимается, т. е. считается, что влияние типа изготавливающего станка на качество пряжи не подтвердилось. Для -значения имеет место неравенство 0,1875>0,1, что говорит о хорошем согласии гипотезы  с выборочными данными.

Вычисленное значение -критерия фактора  (вид сырья) =25 попадает в критическую область , образованную правосторонним интервалом, поэтому гипотеза : отвергается, т. е. считается, что вид сырья влияет на качество пряжи. Так как для -значения имеет место неравенство 0,038<0,1, то гипотеза  так же не принимается.

Выборочный коэффициент детерминации

= = =0,7009

показывает, что на 70% всей выборочной вариации качества пряжи влияет вид сырья. Влиянию типа станка подвержено только 24% выборочной вариации: = = =0,243.

Задание 3.

Результирующим признаком  является урожайность пшеницы, факторами – вид удобрений () и способ химической обработки () (см. рис. 3).

Необходимо проверить гипотезы:

– о равенстве математических ожиданий групп фактора

: ,

– о равенстве математических ожиданий групп фактора

: ,

– о равенстве математических ожиданий взаимодействия факторов

: .

Для решения данной задачи используется режим анализа Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями. Значения параметров в одноименном диалоговом окне устанавливаются следующим образом (рис. 9):

 

Рис. 9. Диалоговое окно Двухфакторный

дисперсионный анализ с повторениями

Входной интервал – вводятся ссылки на ячейки B2:F11, в которых находятся значения наблюдаемого признака  и названия уровней факторов;

Число строк для выборки – вводится число наблюдений для каждой пары групп факторов  и , т. е. число 3;

Альфа – вводится уровень значимости 0,05;

Выходной диапазон – вводится ссылка на новый рабочий лист «Двухфакт-без-повторений».

Показатели, рассчитанные в ходе анализа, представлены в виде двух таблиц «ИТОГИ» и «Дисперсионный анализ» на рисунке 10.

Вывод. Вычисленное значение -критерия фактора  (вид удобрений) =123,64 попадает в критическую область , поэтому гипотеза : отвергается, т. е. считается, что вид используемого удобрения влияет на урожайность пшеницы. Для -значения имеет место неравенство <0,1, поэтому гипотеза  не принимается.

Выборочный коэффициент детерминации

= = =0,8323

показывает, что на 83% всей выборочной вариации урожайности пшеницы влияет вид удобрения.

 

Рис. 10. Результат Двухфакторного

дисперсионного анализа с повторениями

 

Вычисленное значение -критерия фактора  (способ химической обработки) =3,9862 попадает в критическую правостороннюю область , поэтому гипотеза : отвергается, т. е. считается, что способ химической обработки также влияет на урожайность пшеницы. Так как для -значения имеет место неравенство 0,016>0,1, то гипотеза  так же не принимается.

Выборочный коэффициент детерминации для фактора

= = =0,0268

показывает, что только 2,68% всей выборочной вариации урожайности пшеницы связано с влиянием способа химической обработки.

Значение -критерия взаимодействия факторов =3,4221 попадает в критическую правостороннюю область  Значит, эффективность различных видов удобрений изменяется в зависимости от способа химической обработки почвы. Так как для -значения имеет место неравенство 0,005<0,1, то гипотеза  отвергается.

Влиянию взаимодействия факторов подвержено только около 7% выборочной вариации:

= = =0,069105.

Индивидуальные задания по теме «Дисперсионный анализ»

Цель: приобретение навыков проводить однофакторный и двухфакторный (с повторениями и без повторений) анализы в пакете MS Excel.

Задачи: уметь выбрать область применения однофакторного и двухфакторного анализов; уметь подобрать необходимые методы и формулы для расчетов; уметь использовать функции и дополнение Анализ данных для проведения однофакторного и двухфакторного анализов.

Задание 1: На химическом заводе разработаны два новых варианта технологического процесса. Чтобы оценить, как изменится дневная производительность при переходе на работу по новым технологиям, завод в течение 10 дней работает по каждому варианту, включая существующий вариант. Дневная производительность завода (в условных единицах) представлена в таблице 2.

При уровне значимости 0,01 требуется выяснить, как зависит дневная производительность от технологического процесса. Оценить степень этой зависимости.

Сделать выводы и предоставить отчет.

Задание 2: В процессе производства получается побочный нежелательный продукт, процентное содержание которого измеряется тремя различными катализаторами при двух значениях давления. Данные о процентном содержании побочного продукта для трех катализаторов в случаях верхнего или нижнего уровней давления представлены в таблице 3.

Требуется при уровне значимости 0,05 определить, что оказывает более значимое влияние на выявление побочного продукта: катализатор или уровень давления.

Сделать выводы и предоставить отчет.

Задание 3: Партии мяса от пяти различных поставщиков загружаются в агрегат для упаковки в банки, который имеет шесть наполняющих цилиндров. Наудачу берутся по три наполненные банки каждым цилиндром и взвешиваются. Веса соответствующих банок представлены в таблице 4.

Требуется при уровне значимости 0,05 выяснить, влияет ли на вес банки наполняющий ее цилиндр.

Сделать выводы и предоставить отчет.

Таблица 2. Данные о дневной производительности по различным технологиям (каждое значение надо умножить на , где – номер в журнале)

День  работы	Дневная производительность
	Существующая технология	Вариант 1	Вариант 2
1	119	53	76
2	26	128	149
3	96	176	97
4	174	106	77
5	71	96	114
6	101	172	197
7	135	81	179
8	171	163	178
9	148	73	90
10	20	108	109

 

Таблица 3. Данные о процентном содержании побочных продуктов

(к каждому значению надо прибавить , где – номер в журнале)

Уровень давления	Катализатор
	1	2	3
Верхний	1,31	1,22	1,09
Нижний	1,13	1,04	1,44

Таблица 4. Данные веса банок мяса, наполненных на различных цилиндрах (к каждому значению надо прибавить , где – номер в журнале)

Номер банки	Номер цилиндра	Номер поставщика
		1	2	3	4	5
1	Цилиндр 1	9,4	7,9	0,3	6,8	4,2
2		8,7	11,1	7,7	1,8	5,5
3		1,1	7,3	3,7	4,4	11,8
1	Цилиндр 2	10,0	11,6	5,2	2,1	5,7
2		8,3	7,6	0,7	7,3	3,4
3		2,3	4,7	9,7	11,3	5,8
1	Цилиндр 3	5,0	0,4	8,9	7,1	9,6
2		9,5	5,9	1,0	9,1	2,5
3		10,2	2,6	4,5	3,1	6,2
1	Цилиндр 4	1,2	6,4	11,9	6,9	8,1
2		11,5	5,9	9,0	5,3	2,4
3		11,9	7,8	1,7	5,1	8,8
1	Цилиндр 5	10,5	4,3	3,8	1,4	11,2
2		8,6	1,9	5,6	10,1	8,4
3		4,8	7,4	0,8	4,7	3,6
1	Цилиндр 6	11,4	5,7	9,9	2,2	7,2
2		6,0	8,2	3,2	10,9	6,1
3		11,7	6,3	0,2	7,0	9,2