Интеграл типа Коши. Интегральная формула Коши.

Теорема1: Пусть Д-ограниченная многосвязная или односвязная область с кусочно-гладкой границей ; функция f(z) –интегрирована в  и аналетична в Д, тогда имеет место следующая формула

 – Интегральная формула Коши

Смысл функции Коши

Заметим, что в левую часть входит только точки . И значения функции под интегралом берется только в этих граничных точках. Таким образом значения функции внутри Д вполне определяется ее значениями на границе в Д.

Определение 1: Если  – граница односвязна или многосвязна ограниченной области Д и функция f(z) аналетична в Д и непрерывна в Д, то интеграл

 называется интегралом Коши.

Определение 2: Пусть - кусочно-гладкий замкнутый или разомкнутый контур на котором задана непрерывная функция  интеграл

 называется интегралом Коши

Теорема 2: Интеграл типа Коши F(z)=     есть однозначная аналетическая функция на множестве  причем n-ая производно функции F(z)

Теорема 3: (о бесконечной дифферинцируемости аналитической функции)

Если f(z) аналетичная функция в Д, то она в этой области имеет производную всех порядков и эти производные сами являются аналетичными функциями в этой облости.

Первообразная и интеграл в тфкп.

Теорема 1. Пусть ф-ия f (z) непрерывна в обл-и  тогда: . Тогда ф-ия яв-ся аналогичной ф-ей в обл.  и .

Опр 1. Ф-ия  – называется первообразной ф-иейf(z)

Теорема 2. Если  – первообразные одной и той же ф-ии f (z), то . все первообразные одной ф-ии f (z) отличаются друг от друга на const -у

Опр 2. Множество всех первообразных называется неопределенным интегралом и обозначается

Теорема 3. (формула Ньютона-Лейбница). Пусть ф-ияf(z) задана в обл.  и F(z) – одна из ее первообразных, тогда  – формула Ньютона-Лейбница.Точки

Интеграл в ф.Лейбница не зависит от пути интегрирования. А зависит олишь от значения первообразной в т.

Теорема 4. Морена. (обратная теорема к интегральной теореме Коши).

Если f(z) интегрирована в односвязной обл.  и  где произвольный замкнутый контур лежащий в , то ф-ия f(z) однозначно аналитичная ф-ия в обл.

Ряд Тейлора

Теорема Тейлора 1: Пусть функц. f (z) аналитична в области D, тогда ∀ т.  из области D Ǝ окрестность(круг)

U ( < в которой функц. f (z) представлена в виде степенного ряда:

 

 (1)

 

где коэфф. вычисляется по формулам:

 

 

где - произвольная окружность, = , < (

Теорема 2: Представление функц. f (z) удовлетворяющей условиям теоремы Тейлора в степенной ряд (1) единственно.

Опр-е 1: Ряд (1) назыв. рядом Тейлора для функц. f (z).

Опр-е 2: Если функц. f (z) в некоторой окрестности т.  представимо в виде ряда (1), то говорят, что функц. f (z) регулярна в т.

Теорема 3: Функц. f (z) регулярна в области D , когда она аналитична в этой области.

Радиус сходимости степенного ряда (1) вычисляется по формуле Коши-Адамара:

Подзаголовок:

Основные разложения ряда Тейлора в окрестности т. О:

 

 

Ряд Лорана.

Теорема Лорана: пусть f(z) анал-на и однозначна в пользе к: r<(z-z₀)<R, в этом кольце f(z) представима в виде ряда

f(z)=∑ a_n (z-z₀)ⁿ

коэф-ты вычисляются:

a_n=1/2πi ꭍ f(ч)/(ч-ч₀)ⁿ⁺¹ dч, n=±1, ±2…

контур ꙋ - окружностьꙋ: (ч-z₀)=ẟ, где чẟ<R

Определение 1: Ряд (16-1) = рядом Лорана f(z)

f(z)=∑ a_n (z-z₀)ⁿ + ∑ a_n (z-z₀)ⁿ

глав.часть правильная часть

Определение 2: Часть ряда Лорана, содержащая отрицательные степени n главной частью ряда Лорана; остальная часть – правильной частью (n ≥ 0).
Предельные случаи кольца К.
Если r=0, тогда К- проколотая R – окрест. в т. z₀

R=∞ K – проколотая окружность бесконечности

Отличия ряда Тейлора от ряда Лорана.

1. Ряд Тейлора – частный случай ряд Лорана (когда нет отриц. степеней);

2. Ряд Тейлора имеет место в круге, в том числе и в центре круга для Лорана - это разложение в кольце, в центре которого он может расходиться;

3. Для коэффициентов ряда Тейлора есть формула через производную функции f(z) в точке to. Для коэффициентов ряда Лорана такой формулы нет.

Ряд Лорана на бесконечности.

Разложение функции f(z) в ряд Лорана в окрестности z=0

f(z)=∑ a_n (z-z₀)ⁿ + ∑ a_n (z-z₀)ⁿ

Для того, чтобы получить разложение функции в ряд Лорана в окружности бесконечности, необходимо произвести замену z=1/t, z=0⇒ t= ∞

F(1/t)=g(t)

g(t)=∑ a_n (1/t)ⁿ + ∑ a_n (1/t)ⁿ=∑ a_ntⁿ + ∑ a_ntⁿ

т.е., не обращая внимания на обозначение – разложение функции f(z) =∑ a_nzⁿ + ∑ a_nzⁿ- разложение функции f(z)

n= -∞ (правильная) n=1 (главная часть)

в ряд Лорана на бесконечности.

Разложение функции f(z) в ряд Лорана как в окрестности z=0, так и в окрестности z=∞  одинаковые f(z) =∑ a_nzⁿ, но главная и правильная части у этих разложений разное.

 

 

17. Особые точки аналитической функции.

Определение 1: Точка  в которой функция f(z) непрерывна или определена, но не является аналетичной называется особой точкой аналетичной функции f(z)

ОТ-особая точка

Определение 2: ОТ называется изолированная S, если  окрестность этой точки в которой нет других ОТ-к.

В противном случае ОТ называется неизолированной

ИОТ – изолированная ОТ

НеИОТ- неизолированная ОТ

Определение 3: ИОТ называется ОТ однозначного характера, если в некоторой проколотой окрестности этой точки функция f(z) однозначна. в противном случае ИОТ наз-ся ИОТ многозначного или неоднозначного характера.

Если число ОТ конечно, то все эти точки изолированы. Если ОТ образуют бесконечное множество, то все предписанные точки этого множества будут неизолированы.

Пусть  ИОТ однозначного характера функции f(z) по определению, это означает, что существует проколотая окрестность этой точки в которой функция f(z) разлагается в ряд Лорана.

Главная часть ряда Лорана

Определение 4: ИОТ однозначного характера называется:

1 Устранимой ОТ (УОТ), если разложение функции в ряд Лорана не содержит главную часть (гл.ч.=0)

2 Полюсом порядка m, если главная часть ряда Лорана содержит конечное число отрицательных степеней причем наивысший порядок отриц. степени =m

3 существенной ОТ (СОТ) если главная часть ряда Лорана бесконечна

Схема ОТ

                                                  ОТ аналетичской функции f(z)

                                                       ИОТ                       неИОТ

            ИОТ одинарного характера ИОТ неодинарного характера

ОТполюс порядка m СОТ

 

Пример 1:

-ОТ, т.кf(0) 0

-ОТ, т.кsinz  при

 

Главнаячасть ряда Лорана =0

2

Главная часть ряда Лорана =            

 

Определение 5: Полюс первого порядка называется простым.

 

 

Свойства ОТ

Теорема1. ИОТ z₀≠∞ однозначного характера для функции f(z) будет УОТ. Тогда и только тогда, когда УОТ ⇔  .

В свою очередь конечный предел f(z) при z →z₀∃ тогда и только тогда, когда f(z) ограничена в некоторой проколотой окресности в точке z₀.

.

Теорема2. Если z₀≠∞ - УОТ функции f(z), то эту функцию можно доопределить в точке z₀ и получить функцию F(z) аналитическую в точке z₀. Следующим образом:

Пример

f(z)=sinz/z;

z₀=0-УОТ.

, устранили особенность в т. z=0

 

Теорема3. Точка z₀ = ∞ - полюс порядка n для функции f(z), тогда и только тогда, когда

 и

Теорема4. z₀≠∞ -СОТ функции f(z) тогда и только тогда, когда  не существует.