Преимущества и недостатки итерационных методов

Преимущества:

1) имеют простую вычислительную процедуру;

2) не требуют сложных специальных процедур для экономии памяти ЭВМ под нулевые элементы матрицы коэффициентов, как метод Гаусса;

3) самоисправление ошибок.

Недостатки:

1) не всегда могут решить систему уравнений (требуется выполнение условий сходимости)

2) сходимость итерационных процессов может быть медленной;

3) корни системы могут быть определены только приближенно с точностью ε.

ТЕМА 2.2 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Понятие о системах нелинейных уравнений

И методах их решения

Для примера приведем нелинейные уравнения балансов мощностей в узлах электрической сети, составленных по методу узловых напряжений (без вывода).

Р _{г i}и Q _г _i - активная и реактивная мощности, генерируемые в i -м узле;

Р_нi и Q_н _i - активная и реактивная мощности нагрузки в i -м узле;

Р_уi и Q_у _i - активные и реактивные потоки мощности из узла j к узлу j.

Уравнения балансов активных и реактивных мощностей в узле i

;

где означает, что узел j ‚ принадлежит множеству всех узлов, которые связаны с узлом i.

Формулы для потоков активной и реактивной мощностей от узла к узлу j следующие:

Применяются две системы координат, в которых могут проводиться расчеты:

1) прямоугольная система координат (в комплексном виде);

2) полярная система координат (через тригонометрические функции).

В полярной системе координат выражения для потоков мощности имеют следующий вид:

где ;

;

Y – заданные проходимости схемы замещения системы;

P, Q, U, - параметры режима, часть из них известна (обычно это мощности нагрузок в узлах, напряжение и угол в базисном узле), остальные являются искомыми переменными, которые следует определить в результате расчета.

Подчеркнем, что нелинейность в уравнениях выражается как наличием в них степеней второго порядка, так и наличием тригонометрических функций.

Для решения систем нелинейных уравнений используются только итерационные методы. В том числе для решения систем нелинейных уравнений могут использоваться методы простой итерации и Зейделя при условии их сходимости.

Пример: дана система нелинейных уравнений

;

Приведем к виду удобному для итерации

;

.
Результаты расчетов обоими методами сведем в таблицу (ε=0,001)

Метод простой итерации			Метод Зейделя
№ итерации	х ₁	х ₂	№ итерации	х ₁	х ₂
0	0	0	0	0	0
1	0,4	-0,375	1	0,4	-0,425
2	0,355	-0,425	2	0,3422	-0,412
3	0,3422	-0,415	3	0,3457	-0,41235
4	0,345	-0,412	4	0,3456
5	0,3457	-0,4122

Нелинейные уравнения, составленные для расчетов режимов, обычно сложнее чем в приведенном примере и их не всегда можно решить этими методами. Гораздо лучшую сходимость для решения нелинейных уравнений и вследствие этого большее применение имеет метод Ньютона. Но этот метод имеет более сложную вычислительную процедуру.

Метод Ньютона /2/ (называемый также методом линеаризации или методом касательных) применяется для решения системы нелинейных уравнений. Он эффективен, если известно достаточно хорошее приближение к корням системы нелинейных уравнений.