ЕВКЛИД Александрийский (предположительно 330—277 до н.э.) — математик Александрийской школы Древней Греции

ЕВКЛИД Александрийский (предположительно 330—277 до н.э.) — математик Александрийской школы Древней Греции, автор первого дошедшего до нас трак­тата по математике. Е. (возможно) получил образование в Академии Платона (Афины). Свои труды Е. писал по единой схеме в форме дедуктивно систематизирован­ных обозрений открытий древнегреческих математиков классического периода. Известны такие работы Е. по математике, как трактаты "О делении фигур", "Кониче­ские сечения" (в четырех книгах), "Феномены" (посвя­щенные сферической геометрии), "Поризмы", а также работы по астрономии, музыке и оптике, в которых ве­дущая роль отводилась математике. В сочинениях Е. "Оптика" и "Катоптрика" — хронологически первых систематических исследованиях свойств лучей света — рассматривались проблемы зрения и его применения для определения размеров различных предметов, пост­роена теория зеркал. Эти сочинения были математичес­кими и по содержанию, и по структуре: основное место в них, как и в "Началах", отводилось теоремам, аксио­мам и определениям. В своем главном труде "Начала" (латинизированное — "Элементы") Е. в 15 книгах изло­жил основные свойства пространства и пространствен­ных фигур, т.е. планиметрию, стереометрию и элементы теории чисел как подведение итогов предыдущего раз­вития математики в Древней Греции и закладку основа­ний для дальнейшего развития математики. В книге Е. "Начала" математика выступала, пишет М.Клайн, "...как идеальная версия того, что составляло содержание изве­стного нам реального мира...". Каждая книга "Начал" на­чинается с определений. В первой книге "Начал" приве­дены постулаты и аксиомы, за ними расположены в стро­гом порядке теоремы и задачи на построение (так, что доказательство или решение чего-либо последующего опирается на предыдущие). Там же введены 23 предва­рительных определения объектов геометрии: например, "точка есть то, что не имеет частей"; "линия — длина без ширины"; "прямая линия есть та, которая равно располо­жена по отношению к точкам на ней". Были введены оп­ределения угла, плоскости, квадрата, круга, сферы, приз­мы, пирамиды, пяти правильных многогранников и др.

За определениями следовали 5 известных постулатов (требований) Е. к построению фигур в геометрии: 1) От всякой точки до всякой другой точки возможно провес­ти только одну прямую линию; 2) Ограниченную пря­мую линию возможно непрерывно продолжать по пря­мой; 3) Из всякого центра и всяким раствором возможно описать круг; 4) Все прямые углы равны между собой; 5) Если прямая, падающая на две прямые, образует вну­тренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встре­чаются с той стороны, где углы меньше двух прямых. Пятый постулат имеет столь важное значение, что он получил специальное наименование "пятый постулат Е. о параллельных" ("постулат о параллельных", иногда также встречается неточное название "аксиома Е. о па­раллельных"). Однако Е. в трактовке пятого постулата непосредственно не упоминал о существовании двух бесконечных прямых, которые никогда не пересекаются. Далее Е. привел 9 аксиом (которые Аристотель назвал "предельно всеобщими истинами"): 1) Равные одному и тому же равны и между собой; 2) Если к равным прибав­ляют равные, то и целые будут равны; 3) Если от равных отнимаются равные, то и остатки будут равны; 4) Если к неравным прибавляют равные, то и целые будут не равны; 5) Удвоенные одного и того же равны между со­бой; 6) Половины одного и того же равны между собой;

7) Совмещающиеся один с другим равны между собой;

8) Целое больше части; 9) Две прямые не содержат про­странства. В аксиомах Е. отсутствовали как понятие не­определяемого объекта, так и полноценные определения начальных понятий. Однако система аксиом Е. послу­жила базисом для логического вывода (основываясь и на постулатах с определениями) остальных 465 предло­жений (теорем и задач) "Начал", составляя вместе с по­стулатами Е. конструктивный "каркас" геометрии Е. Со времен опубликования книги "Начала" попытки многих математиков доказать истинность постулата Е. о парал­лельных (на основании только аксиом Е. и четырех ос­тальных его постулатов) предпринимались для того, чтобы, писал М.Клайн, "...удостовериться в истинности геометрии, лежащей в основе тысяч и тысяч теорем чи-

345

стой и прикладной математики...". Такие утверждения Е., как "прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками", "через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только од­ну" и постулат о параллельных были названы Кантом "априорными синтетическими суждениями" (см. Апри­орные синтетические суждения), являющимися час­тью "оснащения" нашего разума. По Г.С.Клюгелю (1763), восприятие аксиом Е. (и в большей степени ак­сиомы о параллельных) как чего-то достоверного осно­вано на человеческом опыте, ибо аксиомы опираются не столько на очевидность, сколько на опыт. А для Канта вообще был немыслим иной способ организации опыта, чем геометрия Е. и механика Ньютона. Таким образом, со времен "Начал" Е. и фактически до конца 19 в. зако­ны окружающего нас физического пространства макро­мира были, как полагал М.Клайн, "...всего лишь теоре­мами геометрии Евклида и ничем больше...". Исследо­вания К.Гаусса, Лобачевского, Л.Бойяи, Б.Римана и др. в 19 в. привели к пониманию того, что постулат о парал­лельных невозможно доказать на основании 9 аксиом и остальных постулатов и что для обоснования постулата о параллельных необходима еще одна аксиома. А по­скольку аксиома о параллельных полностью независима от остальных, то возможно заменить ее противополож­ной аксиомой и выводить следствия из вновь сконстру­ированной аксиоматической системы. Это привело к со­зданию неевклидовых геометрий, в которых аксиома о параллельных непротиворечиво заменяется на другую аксиому, адекватную свойствам пространства, над кото­рым строится данная неевклидова геометрия. Книга "Начала" Е. дала возможность создать концепцию логи­ческого, математического подхода к познанию природы. Хотя сочинение Е. предназначалось для изучения физи­ческого пространства, структура самого сочинения, его остроумие и ясность изложения стимулировали аксио­матически-дедуктивный подход не только к остальным областям математики, но и ко всем естественным на­укам. Через "Начала" Е. понятие логической структуры всего физического знания, основанного на математике, стало достоянием интеллектуального мира.

C.B. Силков