Личностное пространство модели.

 

ШАГ 1. Чувство числа.

 

Итак, в предыдущей главе была описана некоторая интрига, построенная вокруг процесса расчерчивания на демонстрационном листе графического пространства, призванного стать основой первичного математического моделирования на уроках математики в первом классе. Ниже будут описаны некоторые возможные шаги (еще раз подчеркну: именно возможные, а вовсе не обязательные), которые помогут превратить это графическое пространство в живую математическую модель, способствующую формированию у детей элементарных математических смыслов.

Это шаги, с помощью которых, с одной стороны, просто-напросто продолжается работа, начало которой было описано в предыдущей главе: шаг за шагом происходит все более глубокое математическое описание нарисованной учителем демонстрационной клеточной сетки. А с другой стороны, эта работа обретает принципиально новые математические очертания: центром ее становится ключевая математическая проблема - проблема соотношения величин. И в этой связи у ребенка формируется эмпирическое ощущение числа как сущности, которая может быть познана лишь в соотношении с другими числами.

Такого рода эмпирическое чувство числа - важнейшее условие того, чтобы изучение математики в начальной школе не показалось ребенку бессмысленным набором абстрактной цифири. Постоянная работа с графикой позволяет сформировать у ребенка глубоко чувственный образ соотношения различных величин, и это является залогом его дальнейшего увлеченного отношения к миру математических вычислений. У ребенка формируется интуиция числа, образ числа именно тогда, когда он визуально работает с графикой различных числовых соотношений. А в результате у него формируется эмпирическое чувство числа задолго до того, как он овладевает техникой математических вычислений.

 

ШАГ 2. Ряд как математический объект.

 

В предыдущей главе мы остановились на том, что после заполнения таблицы детских прогнозов учитель организует коллективный обсчет горизонтальных и вертикальных рядов, ставя какие-то метки каждого обсчитанного ряда.

Несколько слов о характере меток, проставляемых учителем во время коллективного счета. На самом первом этапе нецелесообразно делать числовые пометки с помощью цифр - в этом случае внимание ребенка будет концентрироваться на цифровой записи, а не на счетном объекте. Вначале - только разделительные метки-черточки. А числовые пометки с помощью цифр - чуть позже, когда ребенок уже отчетливо видит счетный числовой объект, отчетливо видит ту РЕАЛЬНОСТЬ, которая описывается символическим образом.

В нашем же случае счетный числовой объект достаточно сложен: им являются клеточные ряды. И чрезвычайно важно, чтобы ребенок отчетливо видел, ЧТО ИМЕННО ему приходится обсчитывать. Он должен видеть и понимать, что в данном случае обсчитываются вовсе НЕ ЛИНИИ вертикалей и горизонталей, и НЕ КЛЕТОЧКИ, из которых состоит тот или иной ряд, А САМИ КЛЕТОЧНЫЕ РЯДЫ, каждый из которых обладает некоторой, если можно так выразиться, "толщиной" и длиной.

Поэтому, "дирижируя" детским хоровым счетом, учитель должен прежде всего показывать "объемным" движением руки (это когда указательный палец руки как бы намечает контур ряда быстрым вытянутым эллипсом, слегка прикасаясь к поверхности листа), что считаются именно РЯДЫ.

 Поэтому, кстати, счет заведомо не может быть слишком быстрым - ведь демонстрация каждого ряда требует времени. Тем не менее, не следует пренебрегать такого рода демонстрацией: взгляд ребенка должен ОТЧЕТЛИВО видеть считаемые ряды.

В самом деле, когда обычно считаются счетные палочки или какие-то другие ПРЕДМЕТЫ, каждый предмет отчетливо виден и отделен от других предметов.

 В этом смысле счет графических рядов на разлинованной "клеточной сетке" - занятие крайне сложное для взгляда первоклассника. И очень легко может произойти такое печальное событие, как утрата счетного объекта.

 Дети будут просто демонстрировать свой навык "счета вообще": выкрикивать очередные "имена числительные", абсолютно не задумываясь о том, к чему они в данном случае относятся. А тогда и вся последующая работа не состоится: у детей не сформируется модельный образ числа.

Итак, чрезвычайно важно, чтобы, ведя счет, дети ВИДЕЛИ считаемые ряды.

А учитель время от времени затормаживает демонстрацию и задает промежуточные вопросы, призванные выяснить, понимают ли дети, ЧТО ИМЕННО называют они теми или иными числительными именами, ЧЕМУ ИМЕННО дают они очередное числительное имя. Ведь это чрезвычайно важно, что числительные - это именно ИМЕНА, которые можно дать различным предметам или феноменам, когда мы пытаемся описать соответствующие предметы или феномены с их количественной стороны.

 

ШАГ 3. Что значит “считать”?

Позволю себе задать нелепый, на первый взгляд, вопрос: трудно ли сосчитать... что-нибудь одно?

Кажется, нет ничего проще: уж до одного-то умеет считать любой ребенок!

Но в том-то все и дело, что "считать ДО" - это совсем не то же самое, что просто считать.

Когда мы говорим, что ребенок "умеет считать до десяти" или "умеет считать до ста", мы имеем в виду то простое обстоятельство, что этот ребенок знает ПОРЯДОК СЧЕТА, знает наизусть некоторое количество ИМЕН ЧИСЛИТЕЛЬНЫХ и помнит тот порядок, в котором эти имена нужно друг за другом называть.

Однако счет - это не просто "правильное" называние имен числительных в "правильной" последовательности, но и процесс, у которого есть некий обсчитываемый объект.

Так вот, когда объект отчетливо виден, его действительно легко сосчитать, легко идентифицировать в качестве "одного". Если же счетный объект сложен, если он трудновычленяем или сам состоит из множества однородных элементов (а именно таковы наши клеточные ряды), проблема обсчета такого одинарного объекта становится достаточно неординарной.

Увы, нередко, когда объект трудно идентифицируем, встречаемся у детей (да и не только у детей) с феноменом имитации счета. Это когда ребенок уверенно произносит числительное имя "Один!", но при этом совершенно равнодушен к тому, что именно обозначается этим именем.

Чтобы кому-то не показалось, что речь идет о надуманной проблеме, приведу простой пример.

Когда в пятом классе дети знакомятся с феноменом числовой прямой, очень часто возникает следующая трудность: дети никак не могут понять, что числительными именами "один", два", "три" на числовой прямой обозначаются вовсе не точки, а отрезки. И если такого ребенка попросить показать на числовой прямой, допустим, число три, он решительно укажет на цифру три, маркирующую третье деление от нуля. В том-то все и дело, что счет является подлинным, а не имитационным только в том случае, если субъект счета (например, считающий ребенок) отчетливо представляет себе, ЧТО же он считает (представляет себе объект счета).

Ну, а теперь вернемся к проблеме счета вертикальных и горизонтальных рядов в представленной на предыдущих страницах клеточной модели.

 

Шаг 4. Считаем… один.

 

Вот учитель быстро обводит контур первого горизонтального ряда, и хор детей считает: "Один!".

Можно ли, однако, уверенно утверждать, что дети именно СОСЧИТАЛИ первый клеточный ряд, а не просто сообщили о своем знании того факта, что натуральный счет начинается с такого имени? Ведь сосчитать - это значит дать числительное имя некоторому объекту. А уверены ли мы в том, что дети УВИДЕЛИ тот объект, которому они дали числительное имя "один"?

Тем более, что длиннющий горизонтальный ряд, состоящий из тридцати клеточек, крайне трудно увидеть.

Вот если бы считались конфеты или пряники, не было бы никаких сомнений в том, что дети видят обсчитываемый объект. В случае же с клеточными рядами все гораздо сложнее. И потому учитель "тормозит" дальнейший счет.

 "Один?" - переспрашивает он. - А ЧТО ИМЕННО - "один"? Чего - "один"? Где он - этот "один"? Кто сможет его показать и сказать, что это такое?"

Если дети кричат: "Это вон тот ряд из клеток!", и, подбегая к демонстрационному листу, обводят контур этого первого клеточного ряда, это значит, что все в порядке, и дети ВИДЯТ считаемый объект.

Но часто происходит совсем другое: ребенок подходит к листу и нерешительно тычет пальчиком в какую-нибудь ОДНУ клеточку первого ряда. И тогда учитель переспрашивает: "Ты уверен (уверена), что это ВЕСЬ ряд, который мы сосчитали? Попробуй показать ВЕСЬ ряд, который мы сосчитали!” И лишь после того, как ВЕСЬ первый ряд показан, учитель позволяет продолжить счет.

Разумеется, такой, объектный счет труден. Он требует большого объема и высокой концентрации внимания. Но чрезвычайно важно, чтобы ребенок шести или семи лет научился справляться со столь сложной задачей.

 

ШАГ 5. Один как множество.

 

Очевидно, что расчерченная учителем (и размеченная совместно с детьми) на демонстрационном листе сетка из клеток - это не что иное, как определенного рода числовая модель, где роль числовой единицы выполняет ряд - вертикальный или горизонтальный. И очень важно, что дети с самого начала сталкиваются с крайне важной особенностью числа: числовая единица - это не просто "счетная штука", а нечто неизмеримо более сложное. И, в частности, представленная графическая модель позволяет отчетливо видеть, что каждый ряд как числовая единица - это в некотором роде условность, и что каждая единица - это МНОЖЕСТВО каких-то более мелких единиц (например, клеток, из которых состоит каждый ряд).

Понятно, что на данном этапе пока еще рано заниматься с детьми анализом этого удивительного обстоятельства. Однако важно, что взгляд ребенка с самого начала (причем вначале неосознанно!) приучается удерживать многослойность числа. Ведь каждому ребенку приходится считать ряды. А каждый ряд – это единица, и, вместе с тем, каждый ряд с очевидностью представляет собой множество клеток

Кроме того и каждая клетка, будучи представлена как единица, может, в свою очередь, рассматриваться как сколь угодно большое множество других, более мелких единиц.

Таким образом, взгляд ребенка постепенно приучается к тому, что число один - это не просто счетная "штука", но и нечто, обладающее внутренней плотностью, внутренней структурой. И на последующих этапах обучения, когда начнется специальная работа с внутренней структурой числа один (работа с идеей рационального числа), взгляд ребенка окажется уже достаточно подготовлен. И он будет воспринимать на уровне очевидности то обстоятельство что число один - это не просто "штука", не просто счетная единица, а нечто неизмеримо более сложное.

И хотя пока ребенок работает с клеточным рядом исключительно как со счетной штучной единицей, сам факт разбитости ряда на клеточные фрагменты создает фундамент более сложной числовой интуиции.

Это очень важно: описываемая работа вовсе не навязывает ребенку понятия рационального числа.

Начерченные на демонстрационной доске клеточные ряды - это примерно то же самое, чем являются у традиционного первоклассника... обыкновенные счетные палочки.

Но с одним небольшим отличием: это счетные палочки, разбитые на некоторое количество равных частей.

И оттого взгляд ребенка постоянно сталкивается с некоторым удивительным фактом: каждый ряд - это одновременно и элементарная счетная единица, и некоторое множество клеток, из которых она состоит. А привычка к такого рода странным обстоятельствам незаметно создает основу для последующего формирования элементарных структур математического понимания.

Так или иначе, но сам по себе демонстрационный лист, представляющий из себя расчерченную сетку из клеток, есть не что иное, как весьма перспективная математическая модельная структура, которая одновременно работает и на формирование элементарного счетного навыка, и на восприятие числа как глубокой реальности, выходящей далеко за пределы идеи натурального счетного ряда.

 

ШАГ 6. Пограничные метки.

 

Впрочем, вернемся к процедуре обсчета рядов.

Вот первый горизонтальный ряд сосчитан. И учитель делает особую пометку - небольшую вертикальную горизонтальную (можно фломастером особого цвета), которая как бы продолжает немного вверх ту линию, которая отделяет первый ряд от всех последующих.

 Это очень важно: черточка ставится именно НА ГРАНИЦЕ между первым и вторым рядами. Эта метка пока не маркируется никакими цифрами (хотя чуть позже, на следующем этапе это обязательно нужно будет сделать), но учитель, ставя эту метку, внятно произносит: "Один!", и еще раз показывает жестом, что эта метка обозначает первый горизонтальный ряд.

 И точно так же делаются все последующие метки. Метка метит не просто очередной ряд, но ВСЮ группу уже обсчитанных рядов. И потому это ПОГРАНИЧНЫЕ метки. Те самые, что используются в модели числовой прямой. Однако в данном случае метятся не просто расстояния на прямой линии, а длинные клеточные ряды. Если в классической числовой прямой число моделируется с помощью линейного отрезка, то в данном случае - с помощью двумерной фигуры. А двумерная фигура в качестве модели числа легче воспринимается глазом ребенка, нежели линейный отрезок.

Следующий шаг. Разделительная метка между вторым и третьим рядами. Дети дружно считают: "Два!".

И снова учитель придирается: "ДВА? А где вы видите ДВА? Чего - "два"? Кто может показать эти "два" на моем чертеже?"

Понятно, чего добивается учитель. Ведь "два" - это не просто второй ряд. Это ОБА ПЕРВЫХ РЯДА, которые учитель отделил от еще необсчитанных рядов второй меточкой. Именно в этом смысл второй меточки. И потому учительский жест, расшифровывающий смысл слова "два" должен быть адекватным: это должен быть жест, отделяющий и выделяющий ОБА первых ряда, а вовсе не жест, указывающий на второй ряд.

То же самое делается на счет "три", и на счет "четыре", и т.д.

В любом случае важно, чтобы на протяжении всего счета учитель следил за точностью своих жестов, и на каждом новом шаге, ставя очередную метку между рядами, указывал бы, что эта метка (допустим, метка десяти) метит факт обсчитанности ГРУППЫ рядов, находящихся по одну сторону от этой метки.

Если же жест учителя указывает только на один, очередной ряд, то счет в этом случае должен вестись с использованием не количественных ("один, два, три, четыре..."), а порядковых числительных ("первый, второй, третий, четвертый...").

Взгляд ребенка должен научиться отчетливо видеть, что каждое новое числительное имя обозначает вовсе не очередной ряд, а именно группу рядов, отделяемую соответствующей пограничной меткой. И если учитель уверен в том, что каждый ребенок это почувствовал, дальше можно считать без остановок. Лишь где-нибудь в середине или в конце можно будет еще раз сделать "контрольную проверку" понимания: затормозить счет и снова уточнить: "Вы говорите двадцать пять? Двадцать пять - чего? Покажите мне эти двадцать пять на чертеже!"

 

Рисунок 6.

На рисунке показан фрагмент демонстрационного листа с разделительными метками-"хвостиками", каждая из которых указывает на уже отделенную группу вертикальных рядов. Скажем, десятая метка слева указывает на то, что обсчитаны и мысленно отделены десять рядов. Прежде чем поставить соответствующую метку (на счет "десять"), учитель обводит эти десять уже обсчитанных рядов энергичным П-образным движением, подчеркивая тем самым, к чему именно относится хоровой маркер "десять". Этот П-образный контур прочерчен на рисунке жирной линией. Взгляд ребенка должен отчетливо видеть ту ГРУППУ РЯДОВ, которая маркируется очередным маркером-"хвостиком".

 

ШАГ 7. Счетный тренинг графического зрения.

Если же дети никак не могут уловить, что за объект является предметом счета, и с трудом идентифицируют группы обсчитываемых рядов, целесообразно провести особый счетный тренинг графического зрения.

В самом деле, обязательно ли вести описываемую меточную и счетную работу по отношению к столь длинным рядам? Разве ребенку не легче было бы уловить сущность описываемой работы по "пограничному" мечению рядов и отсчитыванию этих рядов, если бы счетное поле было существенно меньше? Может быть стоило бы построить небольшую модельку, рядов эдак из семи-восьми по горизонтали и пяти-шести по вертикали, и на этой модельке отработать принцип пограничной разметки?

Разумеется, это так. Когда работа ведется на большом счетном пространстве, с большими клеточными рядами многие дети не успеют уловить, что именно является объектом счета. Однако на начальном этапе важно чтобы у детей возникло не столько устойчивое понимание, сколько устойчивая интрига: желание расшифровать таинственные действия учителя. И лишь на следующем этапе учитель может предложить микромодель счетного листа – модель из небольшого числа вертикальных и горизонтальных рядов.

Если у какого-то ребенка возникают трудности с "видением" длинных рядов,, учитель останавливает обсчет большой клеточной сетки и предлагает детям потренироваться на сетках существенно меньшего размера.

Работа ведется точно так же, как и с большой сеткой: учитель отсчитывает и помечает пограничными метками ряды, а дети хором считают количество уже отсчитанных рядов. При этом дети должны отчетливо видеть те ряды и группы рядов, которые уже обсчитаны.

Когда модель клеточной сетки невелика, можно применить и такой демонстрационный прием, как штриховка уже обсчитанных и помеченных рядов. Причем метку следует ставить после того, как осуществления штриховка. В этом случае наиболее отчетливо видно, что именно метит эта очередная пограничная метка - она метит ВСЮ ГРУППУ уже сосчитанных рядов.

Скажем, на счет "один" учитель сначала штрихует первый вертикальный ряд, и лишь потом метит его пограничной меткой-"хвостиком". На счет "два" штрихует второй ряд, и дети отчетливо ВИДЯТ, что заштрихованы (а, стало быть, сосчитаны) ДВА первых ряда. Соответственно на счет "три" оказываются заштрихованы (и помечены третьей пограничной меткой) первые три ряда, и так далее, пока на счет "десять" не окажутся заштрихованы все ряды. Это одновременно и тренинг элементарного счетного навыка, и тренинг графического видения числа.

Для тренировки счетно-меточного зрения можно использовать небольшие прямоугольники различного размера и различных конфигураций; и лишь после того, как с их помощью все дети научатся отчетливо видеть маркируемые группы клеточных рядов, можно будет вернуться к обсчету большой клеточной сетки.

После того, как дети научатся видеть ряды с использованием штриховки, делается следующий шаг: рисуется новый тренировочный прямоугольник, а его обсчет и маркировка выполняется уже без использования штриховки. В этом случае дети вычленяют группы рядов исключительно силой своего воображения, мысленно отделяя в процессе счета необходимые группы клеточек.

 

Рисунок 7.

Вариант тренировочного рисунка для тренировочного счета с "пограничными" метками, состоящий из десяти вертикальных и четырех горизонтальных рядов. На таком рисунке довольно просто увидеть считаемые ряды, особенно когда обсчитанные и помеченные пограничным маркером ряды заштриховываются.

 

ШАГ 8. Иммунитет против лидерства..

 

И снова мы возвращаемся к сложной задаче обсчета вертикальных и горизонтальных рядов на большой клеточной сетке. И помним: это не просто безличная клеточная сетка из учебника, а сетка, созданная "здесь и теперь", и, к тому же, сетка, которая таинственно-прогностическим образом находится в диалоге с каждым детским вариантом, а, значит, не носит характера отчужденного знания. Описываемая работа с демонстрационной сеткой носит интерактивный характер: в ее содержании личная позиция ученика.

Вот учитель отсчитывает клеточные ряды и метит уже отсчитанные ряды пограничными метками. Но при этом он время от времени демонстративно поглядывает на составленную ранее вероятностную таблицу, в которую занесены выдвинутые наугад детские варианты. "Ну-ка, ну-ка, дети дорогие, посмотрим, чья догадка оказалась наиболее точной?.."

Чем дальше продолжается счет, тем более нетерпеливо и азартно дети всматриваются в нарисованную на демонстрационной доске сетку из клеточек: кто же угадал? чья догадка оказалась ближе всех к истине?

Однако, ставя вопрос о том, чья догадка оказалась самой точной, учитель должен быть крайне осторожным. Любой соревновательный азарт - это слишком сильное в психологическом отношении средство, чтобы пользоваться им безрассудно.

 Конечно, это очень интересно, чья детская догадка оказалась наиболее точной; однако учитель совершит грубейшую психологическую ошибку, если он придаст этому обстоятельству сверхзначимый характер (а именно так происходит в традиционной школе, где "правильный" ответ именно сверхзначим).

Традиционная школа жестко ориентирована на выявление учебных лидеров и так называемых "отстающих учеников". Предполагается, что тем самым создается некий мотивационный дифференциал, который позволяет последним подтягиваться к первым. 

Но ведь эта ситуация оказывается психологически травматична как для первых, так и для вторых: одни зарабатывают тяжелейший "комплекс неудачника", другие - возможно еще более тяжелый "комплекс лидера". Таким образом, результатом традиционного школьного обучения, ориентированного на выявление учебных лидеров, становятся травматические последствия для всех. 

Как избежать этой психологической ловушки при анализе детских вариантов? Надо найти такие средства анализа, которые ни в коей мере не превозносили бы и не унижали бы чье-либо достоинство.

Да, это очень интересно - выяснить, чей вариант оказался ближе всех к истине. Но надо уметь организовать эффектную встречу С КАЖДЫМ детским вариантом - так, чтобы ни один ребенок не почувствовал, что он потерпел поражение. И даже если чей-то вариант оказался чрезвычайно далек от истины, это не унизительное поражение, а информационный факт.

Таким образом, провоцируя у детей соревновательный азарт, учитель должен заранее подумать о психологических ограничителях этого азарта, о сдерживающих факторах азарта, которые не позволили бы нанести детям столь привычные для традиционной школы травмы - травму лидерством или травму аутсайдерством. Соревновательный азарт - это слишком сильное средство, чтобы пользоваться им бездумно. Торжественная встреча с каждым личным вариантом в процессе счета является одним из возможных ограничителей такого рода.

 

ШАГ 9. Ищем наименьший вариант.

 

Прежде чем будет обнаружен вариант, оказавшийся ближе всех к истине, детям предстоит последовательная встреча с другими предложенными ими вариантами, и прежде всего с тем, в котором было указано наименьшее число рядов. Важно не просто выявить победителя, а в том, чтобы тем или иным образом ВСТРЕТИТЬСЯ СО ВСЕМИ ВАРИАНТАМИ, которые были предложены детьми.

Еще до начала контрольного обсчета учитель предлагает детям самим определить, с чьим вариантом произойдет самая первая встреча.

 "А теперь… приготовьтесь к серии торжественных встреч со своими вариантами! Каждый встреченный вариант встречаем громким, дружным "ура!" Ну-ка, с чьим вариантом мы встретимся в первую очередь?.."

“С Аниным!”, “С Алешиным!”, “С Катиным!” – начинают выкрикивать дети наугад. Но как проверить, кто прав?

Вроде бы вопрос несложный, тем более, что все детские предсказания сведены в вероятностную таблицу. Да как разберешься в этой таблице, когда в ней столько имен и данных! Ладно, если в классе есть дети, которые уже хорошо читают, а что делать всем остальным?

Для взрослого - это совершенно не сложная задача. А для первоклассника?

Конечно, худо-бедно названия имен числительных в пределах первых нескольких десятков сегодня знают все начинающие первоклассники. Да и кроме того определенный числительный тренинг уже произошел в процессе выше описанных шагов. Однако самостоятельно разобраться в таблице, состоящей из двадцати четырех позиций - задача не простая для рядового семилетки.

Понятно лишь то, что первая встреча произойдет с тем, кто предложил самый маленький вариант. Но ведь этот вариант еще отыскать надо! А как это сделать?

Естественно, что на помощь приходит учитель.

"Ну, давайте вспоминать, что мы тут в нашей предсказательной таблице написали… Первый у нас кто?.. Совершенно верно, Алеша. И сколько было им предсказано рядов? Совершенно верно, сто…Следующей была... Совершенно верно, Катя. И ею было предсказано... Да, именно так - 15 рядов..."

 И в таком стиле, постоянно взаимодействуя с учениками, учитель прочитывает вслух все двадцать четыре позиции предсказательной таблицы.

 При этом учащиеся воспринимают информацию частично на слух, а частично следя за движением руки учителя по таблице. Тем самым происходит еще один встроенный тренинг чтения - чтения имен и чисел. И из всего поля предсказанных вариантов дети выбирают наименьший вариант.

И уже очень скоро становится ясно, с чьим же вариантом (при последовательном обсчете рядов) должна будет произойти самая первая встреча. Дети вместе с учителем всматриваются в таблицу и обнаруживают, что наименьший вариант принадлежит Саше, указавшему 12 горизонтальных рядов. И этот вариант специальным образом маркируется в таблице.

ШАГ 10. Встреча с личным вариантом.

 

И вот, продолжается счет, а дети, и, в первую очередь, сам Саша азартно ждут момент, когда произойдет торжественная встреча с Сашиным вариантом. "...Три, четыре, пять, шесть, семь, восемь..." - считают дети, внимательно наблюдая за движениями руки учителя.

 А учитель еще немного тормозит счет: "Ну и как, скоро ли будет Сашин вариант?" "Скоро! Скоро! Совсем близко!" - кричат самые активные дети.

 "И много ли нам осталось сделать шагов до Сашиного варианта?" И кто-то быстренько пробегает взглядом оставшуюся до Сашиного варианта дистанцию и уже готов показать Сашин вариант на чертеже, и даже сказать, сколько до него осталось шагов: "Четыре шага!"

Но дело даже не в том, что кто-то из детей легко пробегает эту дистанцию взглядом и в уме подсчитывает количество оставшихся до Сашиного варианта рядов, а в том, что такого рода остановка провоцирует дополнительную активность даже у самых индифферентных детей, провоцирует повышенную потребность всматриваться в чертеж как значимый для себя.

"...Девять, десять, одиннадцать..." - дети уже в предельном возбуждении, с их губ уже готово сорваться "ура!", но именно в этот момент, прежде чем поставить двенадцатую метку, учитель делает еще одну драматическую паузу.

 Самые нетерпеливые, конечно же, "проскакивают" и кричат "ура", но учитель ироничен: "А что, разве я уже пометил двенадцать рядов?! Что же вы кричите прежде времени?.."

И лишь после того, как пауза достаточно выдержана, учитель делает очередной шаг, отчеркивает рукой двенадцать рядов, ставит двенадцатую пограничную метку, и класс неудержимо срывается на крик "Ура!".

И так будет происходить торжественная встреча со всеми двадцатью четырьмя вариантами.

Но в любом случае КАЖДЫЙ вариант, а отнюдь не только вариант так называемого "победителя" встречается радостным приветствием. И в этом случае у ребенка, разумеется, не формируется никаких травматических переживаний. Он понимает: уже в самом том факте, что им предложен какой-то (пусть и неправильный) вариант есть какая-то ценность. И, судя по всему, значительная, если его вариант вызывает к себе такое отношение. А это залог того, что и в будущем ребенок не будет бояться предлагать свои варианты, у него не будет страха оказаться униженным и осмеянным, как это повсеместно происходит в обычной школе.

Вспомним: в обычной школе самостоятельный детский вариант - это всего лишь ошибка. Ошибка, на которую ребенок не имеет права. Ошибка, за которую нужно примерно наказывать. И в ребенка закладывается страх перед ошибкой на уровне условного рефлекса. Правильный ответ - пряник; ошибка - удар кнутом. Или электрическим током. Чтобы неповадно. Чтобы учился отвечать ТОЛЬКО ПРАВИЛЬНО. А в итоге на всю жизнь в ребенке формируется страх перед собственным вариантом, страх сказать или сделать "что-нибудь не то".

 

ШАГ 11. Искусство сопереживания.

 

Впрочем, организуя торжественную встречу с каждым детским вариантом, учитель ни на минуту не упускает из виду то обстоятельство, что все эти варианты обладают разной степенью точности: какие-то оказываются ближе к истине, какие-то - дальше от нее. И чрезвычайно важно, чтобы ребенок не только почувствовал, что его вариант важен и принят как существенный, но и сумел увидеть эту разную степень точности вариантов.

Да, каждый вариант - это событие, и встречаясь с очередным вариантом своего товарища, дети радуются этой встрече. Но к каждой такой встрече должна быть примешана нотка коллективного сопереживания: "Эх, не угадал!" И учитель должен играть роль своеобразного аккумулятора и проводника этого коллективного детского сопереживания.

Обычная школьная математика вообще не предполагает в детях способности сопереживать.

Ребенок приучается переживать только за себя - переживать за свой результат, за свою способность быть правильным и примерным учеником, за свою способность находить правильные ответы.

 В детях всячески культивируется соревновательное отношение друг к другу, когда ребенок приучается испытывать радость от того, что он лучше другого (естественно, по школьной шкале ценностей - по шкале учебных оценок). При этом к кому-то относятся с завистью, к кому-то – со снисхождением; но в любом случае, к чужому содержанию здесь, скорее всего, индифферентны.

Наша математика - это математика, важнейшим принципом которой является принцип сопереживания другому. И, в частности, принцип сопереживания чужому варианту.

Вернемся к описанной в предыдущем шаге стратегии торжественных встреч с каждым детским вариантом.

Вот отгремели фанфары встречи с первым вариантом. И автор варианта - даже если это вариант весьма далек от истины - чувствует себя героем!

 Конечно, он понимает, что его вариант не верен, но одновременно он ни в малой степени не чувствует унижение.

И только теперь учитель позволяет себе осторожный вопрос: "Но удалось ли Саше угадать, сколько на нашем чертеже горизонталей?" "Н-е-е-е-т!" - грустно и расстроено (ориентируясь на интонацию учителя) тянет класс, и Саша вместе со всеми.

"Ах, как жаль!" - сокрушается учитель. А на много ли ошибся Саша? Саша! Ты сам можешь подойти к доске и попробовать показать, на сколько же ты ошибся?" И Саша подходит, и показывает, и видит (именно ВИДИТ, а вовсе не подсчитывает пока), насколько его погрешность велика. Однако при этом он совершенно не чувствует себя потерпевшим поражение.

Но самое главное, что в этом процессе происходит тренировка способности сопереживания другому.

Вся традиционная школа построена на идее лидерства, на идее ущемления и унижения детского достоинства в различных ситуациях учебной неуспешности. Вероятностная модель противопоставляет этому классическому школьному принципу нечто совершенно иное. Каждый вариант - это ценность, каждый вариант - это событие. И если детский вариант оказался неточен или неверен, это менее всего означает некое унижающее достоинство ребенка "поражение" или не дай Бог катастрофу (как это нередко происходит в традиционной школе). Нет, это просто вариант - очередной интересный вариант для анализа. И одновременно предмет для азартного переживания "угадал - не угадал". А задача учителя состоит в том, чтобы каждый детский вариант стал предметом мощного сопереживания-поддержки со стороны всех детей.

 

ШАГ 12. Исследовательская позиция.

 

А учитель тем временем предлагает Саше занять новую позицию - позицию исследователя, которому интересно, НА СКОЛЬКО же он ошибся.

“Саша! Ты можешь сам попробовать сосчитать, насколько твой вариант отличается от истинного? Ну-ка посмотри, сколько рядов осталось до последней горизонтали? На сколько рядов ты ошибся?”

Тем самым снова ведется тренинг прогностической способности детей, но на этот раз на более коротких счетных отрезках.

Сначала Саша пытается "прикинуть на глазок", на сколько его вариант “не дотянул” до истины. А затем с помощью учителя и класса считает эти оставшиеся ряды, а учитель записывает получившуюся погрешность в таблицу. 

Оказывается, Саша ошибся на двадцать восемь горизонталей. Именно это число и записывается в третью графу таблицы напротив Сашиного имени.

И не важно, что дети пока “не проходили” пока еще двузначных чисел. По мере дальнейшего заполнения таблицы (сначала этой, а потом и других) как раз и происходит освоение числового мира, и в ребенке образовывается сначала туманное, а затем все более и более ясное представление о том, как записываются те или иные числа и как читаются те или иные символические математические обозначения. Правда, освоение чисел происходит не по заранее придуманному порядку, а стихийно, хаотически, вразброс. 

Впрочем, еще раз подчеркну: важно не просто записать те или иные данные в таблицу, а убедиться в том, что Саша отчетливо видит и может сам показать на чертеже общее количество горизонталей, собственный предсказательный вариант и те горизонтали, которые составляют погрешность. И естественно, что демонстрация каждой из этих групп рядов должна происходить не посредством простого тыкания пальцем. Всякий раз ребенок должен тщательно обводить КОНТУР той или иной группы. (См. рисунок 8).

Важно, что шестилетний или семилетний ребенок, который научился видеть такого рода группы рядов, обретает способность отчетливо видеть (именно видеть, а не вычислять пока) и то, в каком количественном соотношении находятся соответствующие тем или иным графическим группам числа, например: двенадцать, двадцать восемь и сорок.

Описываемая работа с чертежом делает ОЧЕВИДНОЙ, на сколько число двадцать восемь больше, чем число двенадцать, а число сорок - больше, чем число двенадцать или двадцать восемь.

И понятно, что при встрече с другими личными вариантами у детей будут появляться графические образы других числовых соотношений.

Таким образом, в процессе описываемой работы у ребенка формируется элементарная визуальная математическая культура. В частности, взгляд научается видеть принципиальное количественное соотношение чисел, представленных теми или иными группами рядов.

При это принципиально важно, что первые группы числовых графических соотношений такого рода имеют глубоко ЛИЧНУЮ окрашенность. Предметом анализа становятся не абстрактные, непонятно откуда взявшиеся варианты, а личные, авторские варианты, предложенные самими детьми. И именно через призму этих личных вариантов ребенок всматривается в графику количественных соотношений между числами. Ведь он не просто абстрактные двенадцать и двадцать восемь сравнивает, а числа, на которых лежит печать личной заинтересованности.

 

Рисунок 8.

На рисунке выделены жирной контурной чертой три группы горизонтальных рядов: первые двенадцать рядов, оставшиеся двадцать восемь рядов и общее их количество. Первые двенадцать рядов уже коллективно обсчитаны и помечены пограничными метками.

 Кроме того на рисунке эти двенадцать рядов для наглядности выделены штриховкой; однако на уроке это делать совсем необязательно: достаточно обвести жирной чертой контур этих двенадцати рядов.

Незаштрихованы и не помечены (пока!) пограничными метками ряды, составляющие погрешность. Эти ряды тоже сосчитаны, но как бы отдельно от первых двенадцати, и в вероятностную таблицу (в графу "погрешность") занесено, что Саша ошибся на двадцать восемь рядов. Однако общее количество горизонтальных рядов по-прежнему пока не сосчитано.

 

ШАГ 13. Визуальный тренинг.

 

Естественно, что в последующем будет возможна и целесообразна тренировочная работа с "безличными" вариантами, предложенными учителем, причем на любых, произвольных клеточных площадях.

Скажем, учитель очерчивает прямоугольник, состоящий из десяти рядов по пять клеточек каждый. А затем очерчивает один ряд, второй ряд, третий, и всякий раз спрашивает детей, сколько рядов уже очерчено, а сколько - нет.

Вначале, для облегчения восприятия очерчивание может сопровождаться штриховкой.

На следующем этапе учитель ограничивается тем, что очерчивает ту или иную группу рядов фломастером.

Наконец, если визуальное восприятие рядов уже достаточно сформировано, можно показывать те или иные группы рядов, очерчивая их "вообразительно", тыльной стороной карандаша или ручки, или просто указательным пальцем, постепенно убыстряя процесс этой обводки. И чем быстрее будет обводить учитель очередную группу рядов, тем азартнее будут включаться в предложенную игру дети

После того, как детьми определено количество обведенных и необведенных рядов, учитель может сделать соответствующую символическую запись, например: 1+9=10, а дети должны уметь расшифровать эту запись, показав на чертеже, ЧТО ИМЕННО обозначается в этой символической записи цифрой 1, что - цифрой 9, а что – двузначной записью 10.

Учитель показывает на чертеж и спрашивает детей: ну-ка покажите, ГДЕ здесь "один" (ряд)? А ГДЕ здесь "девять" (рядов)? А ГДЕ здесь "десять" (рядов)?

Понятно, что прямоугольники могут быть любого размера, а вычленяться в них может любое количество рядов. Тем самым, с одной стороны, происходит тренинг визуального математического мышления (глаз ребенка научается ВИДЕТЬ соотношение различных величин, когда за единицу принимается клеточный ряд той или иной длины), а, с другой стороны, происходит элементарный счетный тренинг.

Впрочем, более подробно о счетных тренингах такого рода речь пойдет в других главах. На начальном же этапе принципиально важно, что работа идет только с личными вариантами детей, поскольку в этом случае у них формируется ощущение личной сопричастности математике.

Рисунок 9.

На рисунке изображено несколько прямоугольников, состоящих из десяти рядов по пять клеточек в каждом. Но естественно, что для работы в классе достаточно одной модели прямоугольника такого рода, и на этой модели можно демонстрировать все возможные случаи. Учитель на одном и том же прямоугольнике последовательно или хаотически очерчивает различные группы рядов (один, два, три, четыре, пять...), а дети устанавливают, сколько рядов очерчено, а сколько - нет.

 

ШАГ 14. Сопричастность сложному.

 

Не сомневаюсь, что у многих читателей этой главы уже неоднократно возник вопрос: а почему вообще я предлагаю начинать обучение детей математике с расчерчивания огромной клеточной сетки с огромными клеточными рядами? Не правда ли, весьма странный путь с точки зрения традиционной школьной математики, которая все обучение подчиняет жесткому сценарию "от простого к сложному"?

В традиционной школе долгое время идет обучение счету в пределах первого десятка, затем происходит переход к числам первой сотни и т.д.

 А здесь - все вверх тормашками.

Вначале - безумный клеточный монстр из тридцати двух вертикальных и сорока горизонтальных рядов, и лишь потом введение небольших клеточных структур. Что за странная логика? Не проще ли было бы начинать с небольших прямоугольников - вроде тех, которые описывались в предыдущем шаге?

Весь вопрос в том, как мы понимаем суть образования.

 Или это процесс обучающей дрессировки, или это образование-диалог.

А в последнем случае мы должны понимать одну очень важную вещь: такое образование не может состояться и даже начаться, если ребенок не пережил момент удивления и даже недоумения.

Уже на самом первом этапе ребенок должен встретиться с чем-то грандиозным и загадочно-непостижимым.

Именно такое изумление и растерянность призвана выполнить на первых порах расчерчиваемая учителем гигантская клеточная сетка.

 Заметьте: мы уже столько возимся с этой сеткой, а до сих пор не решен вопрос, что это за сетка и зачем она нужна.

 Она уже испещрена массой пометок, она уже вовсю работает, на ней начинают прорисовываться - смутно пока - контуры каких-то фигур и количественных соотношений... Но все это по-прежнему не для "заучивания", не для "усвоения", не для "запоминания", а для чего-то совершенно другого.

В самом деле, вот оказались вычленены совершенно случайные двенадцать рядов. И учитель специально очерчивает эти двенадцать рядов, и очерчивает оставшиеся двадцать восемь, чтобы дети отчетливо увидели, как много "не дотягивают" Сашины ряды до общего количества горизонталей.

В чем смысл этой процедуры? Возможно, в том, чтобы у детей возник первоначальный - смутный пока еще - образ числа двенадцать в соотношении с числом двадцать восемь и с числом сорок (истинное количество горизонтальных рядов).

Но почему именно двенадцать?

Да потому, что некий мальчик Саша, в данном, конкретном классе совершенно случайно предположил, что на чертеже, должно быть, двенадцать горизонтальных рядов. И его предположение оказалось первым в вероятностной таблице.

А окажись в классе какой-нибудь мальчик Миша, который выдвинул бы гипотезу о восьми рядах, и на визуальную авансцену анализа выплыло бы совершенно иное числовое соотношение: между восемью и тридцатью двумя.

 В общем, никакой логики "введения материала"!

 Но если все начинается с хаоса случайных чисел, как же этот хаос можно усваивать?! - воскликнет в ужасе какой-нибудь возмущенный учитель.

В том-то все и дело, что пока не идет никакой речи о каком-либо "усвоении". Задача совсем в другом: в том, чтобы ребенок УДИВИЛСЯ, увидев свое отражение (свой вариант) в огромной и непонятной пока сетке из клеток и почувствовал "вкус" числовых соотношений.

 Вот - вариант из двенадцати рядов. А вот - из двадцати восьми или сорока. Не надо ничего пока "усваивать", но почувствуйте, что называется, разницу!

Работа, о которой ведется речь в настоящей главе, это вообще не работа счетно-тренингового характера. Ее задача совершенно в ином: будоражить математическое воображение ребенка и формировать ощущение личной причастности к тем или иным математическим проблемам, которые открываются пока лишь маленьким своим краешком, интригуя и завораживая, и лишь обещая быть разрешенными в будущем.

И только в том случае, если ребенок сумел пережить это чувство сопричастности некоей непостижимой пока математической сложности, освоение тех или иных простых математических навыков будет носить для него осмысленный характер.

 

ШАГ 15. Последовательность вариантов.

 

Итак, произошла коллективная встреча с первым - Сашиным - вариантом.

 И оказалось, что в этой встрече заключено много математически ценного для всех первоклашек.

 Обнаружено, в частности, на сколько рядов Сашин вариант "не дотянул" до правильного, обсчитаны оставшиеся ряды, но... До сих пор не установлено общее количество горизонтальных рядов на демонстрационном чертеже.

И вот, наступает минута прощания с Сашиным вариантом - нужно продолжать счет. Но не просто бездумный счет, а счет, предполагающий, что уже в очень скором времени произойдет встреча еще с чьим-то личным вариантом. С чьим же?

"Ну хорошо, а чей там вариант следующий по очереди?.." - задает учитель новый коварный вопрос.

Вопрос, предполагающий новый этап работы с вероятностной таблицей: требуется найти следующее (в порядке возрастания) предположение.

Что значит - "следующий по очереди"?

Разумеется, имеется в виду не порядок поступления вариантов, а то, какой вариант станет очередным предметом коллективного сопереживания, т.е. какой вариант окажется следующим в процессе последовательного порядкового счета.

Если в таблицу записано двадцать четыре варианта, семилетний ребенок вполне способен найти среди этих вариантов тот, который будет очередным после варианта “двенадцать”. Особенно легко это сделать, если ребенок находится в коллективной ситуации класса.

Еще раз подчеркну: в самой вероятностной таблице детские варианты находятся в состоянии хаотической неупорядоченности, обусловленной порядком их поступления. Может ли семилетний ребенок выделить из этой мешанины вариантов некую "цепочку возрастания" от самого меньшего к самому большему варианту? Разумеется, может. При условии, что ему помогает учитель.

Итак, учитель задал вопрос, и дети снова пытаются воспользоваться помощью таблицы, которая с каждым новым шагом становится все более и более знакомой. Кто же там следующий за Сашей?

Пока в таблице отмечен и выделен только один - Сашин - вариант. И эта пометка в таблице упрощает поиск. Сашин вариант, будучи одиннадцатым по порядку поступления, как бы делит таблицу на две части, и это облегчает восприятие. Тем более, что один раз таблица уже зачитывалась вслух.

Тем не менее, и целесообразно зачитать таблицу еще раз. Но на этот раз учитель еще в большей степени пользуется помощью детей. "Ну-ка, вспоминаем. Кто там у нас первый в таблице?" - "Алеша!" - "Сколько он предсказал горизонтальных рядов?" - "Сто!". "А дальше?" - "Катя, у нее 15 рядов!" - "А дальше?" - "Оля, у нее 35 рядов!" Учитель показывает одну за другой позиции вероятностной таблицы, а дети частично вспоминают, а частично считывают информацию с этой таблицы.

Но вот таблица дочитана до конца, и дети приходят к выводу, что вторым вариантом, с которым произойдет встреча, будет Катин вариант, предсказавшей пятнадцать горизонтальных рядов, после чего Катин вариант маркируется в таблице особым цветом.

И снова продолжается хоровой счет, и снова моделируется "коллективное сопереживание" очередному варианту. На этот раз - Катиному.

И отчерчивается группа из пятнадцати рядов, и определяется, что Катин вариант на двадцать пять позиций "не дотягивает" до истинного, и в вероятностную таблицу вносится соответствующая погрешность напротив Катиного имени...

Одним словом, повторяется схема действий, описанная в предшествующих шагах, но уже в применении к новому числовому соотношению. (См. рис.10)

 

ШАГ 16. Коллективная истина.

 

И точно так же, по той же схеме идет работа с каждым очередным вариантом.

Следующим после Кати оказывается вариант Олега (восемнадцать горизонталей), затем - вариант Нади (двадцать горизонталей), и так далее. Продолжается хоровой коллективный счет, и происходят все новые и новые встречи с личными предсказательными вариантами детей, и с каждым новым вариантом происходит все большее приближение к заветной цели, а, следовательно, уменьшается погрешность в соответствующей графе вероятностной таблицы.

Но вот, счет все больше и больше подбирается к последней горизонтали.

И последний детский вариант, который встречается на этом пути, - вариант Оли и Юли, согласно которому на демонстрационном листе находится 35 горизонтальных рядов.

Конечно, и этот вариант "не дотягивает" целых пять рядов. Но благодаря чертежу любому первоклашке очевидно что Оли и Юли точность попадания в цель оказывается выше, чем у их предшественников. Особенно если еще раз специально продемонстрировать величину погрешности у всех, чьи варианты встретились раньше.

Итак: у Саши величина погрешности составила двадцать восемь рядов, у Кати - двадцать пять, у Олега - двадцать два, у Нади - двадцать, у Саши - тринадцать, у Сени - двенадцать, а у Оли и Юли - всего пять.

И учитель еще раз показывает на доске соответствующие группы рядов, и у детей появляется еще одна возможность осуществить операцию визуального сравнения этих величин.

Понятно, что учитель радуется изо всех сил тому, как близко приблизились к истине Оля и Юля.

Однако самое главное заключается в том, что дети класса отнюдь не испытывают чувства зависти к удачливым предсказателям. Совсем наоборот: весь класс неудержимо радуется, потому что благодаря пройденному совместному пути Юлин и Олин вариант оказывается уже в каком-то смысле ОБЩИМ вариантом. Ведь описанная выше стратегия торжественных встреч с каждым вариантом необратимо уже детей в единую команду. И тому же Саше нисколько не обидно, что его собственная погрешность составила целых двадцать восемь рядов. Он чувствует себя членом единой команды, и он изо всех сил "болеет" за то, чтобы среди записанных в вероятностную таблицу вариантов оказались гораздо более точные, чем его собственный.

Таким образом, в классе происходит вовсе не соревнование детей друг с другом, (что порождало бы зависть к более удачливым соперникам), а... коллективное соревнование за приближение к истине.

И когда, наконец, обсчитываются последние пять горизонтальных рядов и выясняется, что горизонтальных рядов сорок, и дети обнаруживают, что ни один их прогноз не оказался абсолютно точным, это вызывает общий расстроенный вздох: "Эх, не угадали!!"

В смысле - ВСЕ.

А если бы кому-то все-таки удалось угадать точно, то это вызвало бы взрыв всеобщего восторга: дети восприняли бы это как общую победу, победу команды.

И это, возможно, самый главный психологический результат описываемого процесса: класс начинает чувствовать себя как единое целое, как единая команда.

 

ШАГ 17. После Рубикона. Ряды-невидимки.

 

Итак, пройдена сложная счетная дистанция, в ходе которой произошла встреча с восемью детскими предсказаниями, находящимися в зоне "недолета", а также произошло упорядочение этих предсказаний по их абсолютной величине. Выяснены и продемонстрированы величины погрешностей и показано, что самое точное предсказание принадлежит Оле и Юле – у их предсказания погрешность составляет всего пять рядов.

Но что делать дальше? Ведь в предсказательной таблице заявлены двадцать четыре варианта, и большая часть из них, как выясняется, находится в "зоне перелета". Что же, оставить эти варианты без внимания?

Разумеется, нет.

После того, как истинное количество горизонтальных рядов установлено, работа с вероятностной таблицей продолжается как ни в чем ни бывало. Меняется только одно: характер ГРАФИЧЕСКОЙ работы с детскими вариантами.

Ибо на новом отрезке пути учитель вынужден предложить детям работу с... невидимыми рядами, а, следовательно, работу в пространстве воображения.

 При этом смысл работы странным образом переворачивается: если до сих пор смысл виделся в том, чтобы установить, сколько же на самом деле учитель начертил рядов, то теперь, когда ответ уже известен, внимание сосредотачивается на самих детских вариантах, оказавшихся в "зоне перелета".

 

Шаг 18. Так кто же победитель?

 

"Итак, мы выяснили, что у нас сорок горизонтальных рядов. Так чье же предсказание оказалось самым верным? Кто из нас оказался ближе всех к истине?" - задает учитель очередной исполненный коварства вопрос.

Естественно, что кто-то из детей поддастся на провокацию и простодушно укажет на Олю и Юлю. И действительно, среди восьми уже отслеженных детских вариантов (вариантов из "зоны недолета") это самые точные варианты.

Однако учитель не спешит соглашаться с детьми. "Вы абсолютно уверены в том, что именно Оле и Юле принадлежит вариант, наиболее близкий действительному положению дел?" И настойчиво, в разных формах повторяет этот вопрос, покуда кто-нибудь из детей не вспомнит о том, что в таблице есть еще и другие варианты.

Варианты, с которыми пока не произошла встреча.

"Так кто там у нас на очереди в таблице?" - невозмутимо спрашивает учитель.

И снова - взрыв страстей. Дети снова азартно всматриваются в таблицу, пытаясь определить, кто же идет следующим по очереди. И уже без особого труда определяют, что следующим на очереди оказывает вариант другого Алеши - вариант, предсказавший сорок один (!) горизонтальный ряд.

А ведь это уже почти абсолютно точное попадание "в яблочко".

"А на сколько ошибся Алеша?" – спрашивает учитель.

В общем, ответить на этот вопрос можно уже без всякого чертежа. Ведь Алеша ошибся всего лишь на один ряд.

Тем не менее, учитель подходит к демонстрационному листу и показывает вприкидку, "на глазок", где бы ПРИМЕРНО проходила граница сорок первого ряда - так, чтобы дети могли в воображении увидеть этот сорок первый ряд.

И лишь после того, как будет включена работа воображения, можно будет взять линейку и наметить этот сорок первый ряд легким пунктиром.

Причем уже не требуется прочерчивать этот ряд полностью, а достаточно наметить его фрагмент. Но так, чтобы дети могли отчетливо видеть, сколько это - сорок один ряд по сравнению с сорока рядами, и чтобы они отчетливо могли увидеть величину Алешиной погрешности.

И это будет момент встречи с Алешиным вариантом.

"Ну, так на сколько рядов ошибся Алеша?" "На один!" "Ура?" "Ура-а-а-а!"

Оказывается, кому-то из класса удалось ошибиться в совем предсказании всего лишь на один.

И, разумеется, это победа.

Не просто Алешина победа, а победа всего класса.

 

ШАГ 19. Работа вприкидку.

 

Тем не менее, работа продолжается. Ведь в таблице осталось еще много вариантов, и от учителя зависит, чтобы эти варианты превратились из абстрактных символов в что-то наглядно-чувственное. Дети должны увидеть собственными глазами, что из себя представляет, хотя бы примерно, каждый вариант.

Однако это вовсе не значит, что учителю теперь придется расчерчивать демонстрационный лист аж до четырехсотой горизонтали - это просто физически невозможно в силу ограниченности листа.

На самом деле учитель расчерчивает не более десятка дополнительных горизонталей, а далее переходит к работе в воображении.

"Итак, вот Алешин вариант из сорока одного ряда, а вот его погрешность, - показывает еще раз учитель, и идет дальше. - А кто там следующий?"

И снова - поиск по таблице предсказаний.

 И обнаружение Наташиного варианта с ее сорока тремя горизонталями.

"А кто-нибудь попробует подойти к доске и показать, где бы проходила граница Наташиного варианта? Где бы проходила внешняя граница сорок третьего ряда?"

И снова идет работа с оценкой "на глазок".

Дети подбегают к демонстрационному листу и ПРИКИДЫВАЮТ, где, по их мнению, заканчивался бы чертеж, если бы на нем было изображено сорок три горизонтальных клеточных ряда. И ставят свои ориентировочные точки, не пользуясь никакими измерительными приборами… за исключением собственных пальцев.

И лишь после того, как все желающие поставили свои точки, учитель намечает пунктиром фрагменты сорок второго и сорок третьего рядов, давая детям возможность самим убедиться, кто из них оказался точнее всех в своих прикидках.

 И уже после этого определяется погрешность (составляющая в данном случае три ряда), и эта погрешность заносится в вероятностную таблицу.

И в том же духе работа продолжается дальше. Сначала с помощью вероятностной таблицы отыскивается очередной вариант, затем дети пытаются вприкидку, "на глазок" определить, где бы проходила линия соответствующей горизонтали, а затем учитель вносит свои графические коррективы уже с помощью измерительных приборов.

 

Рисунок 10.

На рисунке изображен демонстрационный лист с отмеченными пунктиром детскими вариантами количества горизонтальных рядов. Представлено большинство вариантов, но естественно, что некоторые детские варианты здесь просто не поместились. Вместе с тем, это вовсе не значит, что они не имеются в виду.

Такого рода персональная разметка демонстрационного листа позволяет работать с математическим пространством как субъективно-личным пространством. Дети переживают абстрактную математическую модель как свою личную. С другой стороны, такая разметка позволяет отчетливо видеть, насколько точны оказались различные варианты.

Опираясь на такую субъективно-личную разметку, можно решать разнообразные задачи. Например, не составляет труда определить количество рядов, на которое ошибся тот или иной ребенок. Или определить, насколько вариант Наташи ближе к истине, нежели вариант Игоря. Причем для решения этих задач не требуется никакая техника вычислений: все ОЧЕВИДНО, надо только научиться видеть.

 

 

Шаг 20. Работа с воображением.

 

Понятно, однако, что описываемая стратегия работы с детскими вариантами достаточно скоро себя исчерпывает: попросту заканчивается свободное место на демонстрационном листе. И что делать дальше?

И здесь оказывается возможна новая увлекательная игра: учитель предлагает детям ПРИКИНУТЬ (снова прикинуть, т.е. определить приблизительно, "на глазок"), какого размера оказался бы демонстрационный лист, если бы оказались верны именно эти варианты. Иначе говоря, учитель относится к каждому варианту именно как к варианту, а не как к "ошибке". Ведь в чем отличие варианта от ошибки? Ошибка - это то, что требует исправления; вариант - это то, что требует обсуждения условий, в которых этот вариант - верен. И детям предоставляется возможность продемонстрировать условия истинности каждого предложенного варианта.

"Кто там следующий? Да, Коля предположил что у нас на листе поместится семьдесят четыре горизонтальных ряда... Увы, такое количество рядов уже не помещается на нашем листе. Но может быть кто-нибудь попытается показать, где бы закончился наш демонстрационный лист, если бы это было действительно так?... Да, пожалуй, действительно здесь... А возможно и еще дальше..."

При этом учитель может взять в руки указку или еще какой-нибудь длинный предмет и с помощью этого предмета вприкидку показать, где же закончилась бы демонстрационная сетка, будь в ней действительно семьдесят четыре горизонтальных ряда. Для этого достаточно отмерить ширину четырнадцати рядов и присовокупить это расстояние к шестидесятой горизонтальной полосе. Возможно, что результат в буквальном смысле этого слова повиснет в воздухе, но не надо этого бояться: детям такой поворот событий во всяком случае понравится.

Следующий вариант (вариант еще одного Алеши, составляющий сто горизонталей!) вероятнее всего "продлит" (естественно, снова в воображении) демонстрационную сетку до пола. В самом деле, при ширине одной горизонтали в два сантиметра сетка из ста горизонталей вытянулась бы на целых два метра! Можно представить, как изумятся и обрадуются дети встрече с таким вообразительным вариантом! А Алеша будет даже немножечко горд, что ему удалось предложить такой неожиданный (пускай и неправильный) вариант.

Еще более интересным оказывается Митин вариант: ведь он с его двумястами горизонталями растягивается аж на четыре метра! Чтобы отметить, где бы закончился лист с таким вариантом, придется воспользоваться полом и мелом. А дети будут просто в восторге от такого поворота дел: ведь это так удивительно и весело - видеть учителя, ползающего с мелом и указкой по полу!

И, наконец, самый фантастический вариант, вариант из четырехсот горизонталей занял бы... целых восемь метров, т.е. вольготно расположился бы во всю длину класса! И вновь очевидно, что такой вариант вызовет дружный взрыв восторга-восхищения у всех детей. Особенно когда учитель с помощью указки снова будет честно отмерять границу этого варианта прямо на полу между рядами...

И что крайне важно: при соблюдении принципов описанной выше работы ни один ребенок не почувствует себя интеллектуально униженным. Как бы ни был фантастичен тот или иной вариант, дети видят, что это вариант-событие. Настойчивое превращение учителем каждого варианта в учебную ценность - гарантия того, что при работе такого рода исключен издевательский смех более успешных учеников над неудачниками, а, стало быть, исключены психологические травмы детей.

Таким образом, КАЖДЫЙ детский вариант оказывается учебной ценностью, благодаря которой у детей расширяется ощущение числа и формируется способность количественных сравнений. И чем разнообразнее предложенные детьми варианты, тем более богатые учебные возможности открываются для учителя и для детей.

 

ШАГ 21. Вероятностная таблица в порядке возрастания.

 

Теперь в самую пору "переформатировать" исходную вероятностную таблицу и расположить ее участников в порядке возрастания предложенных вариантов - в соответствии с тем, как расположились детские варианты на демонстрационном листе.

Новая таблица расчерчивается рядышком с первой, являя пример элементарного упорядочивания произвольного числового ряда (упорядочения по абсолютному возрастанию величин).

И снова учитель ничего не объясняет, а просто вводит организационное правило новой таблицы.

"Чей вариант был самым меньшим? Правильно, Сашин. Записываем его в нашу новую таблицу первым. А кто будет следующим? Конечно, Катя...." и т.д.

 При этом было бы очень неплохо, чтобы каждый очередной участник подходил к демонстрационной доске, сам находил себя в предыдущей таблице, и показывал, откуда и куда он перемещается, записывая свое имя и свой вариант в новой таблице.

Помогает в составлении такого рода таблицы демонстрационный лист (рис. 10), с которого без труда считывается возрастающая последовательность вариантов. И лишь "вообразительные" варианты, не поместившиеся на листе, дети упорядочивают без опоры на графику, "в уме".

А после того, как новая таблица составлена, можно дать еще одно, "закрепляющее" задание: прочертить "траектории", по которым произошло перемещение детей из одной таблицы в другую. Каждый ребенок подходит к доске и прочерчивает свою траекторию перемещения, причем желательно - фломастерами разных цветов.. Обычно дети выполняют такое задание с большим энтузиазмом.

 

Рисунок 11.

На рисунке представлены оба варианта таблицы, расположенные на одном уровне и частично соединенные "траекториями перемещения". Чем больше прочерчивается такого рода "траекторий перемещения", тем больше похож получающийся чертеж на новую головоломку - из серии тех "путаниц", которые так любят дети этого возраста.

 

ШАГ 22. Задача распределения мест.

 

И лишь после того, как произошла встреча с каждым без исключения вариантом, а варианты оказались распределены в порядке возрастания их абсолютных ве