Основное кинетическое уравнение

Основное кинетическое уравнение описывает эволюцию распределения вероятностей в цепи Маркова с непрерывным временем. «Основное уравнение» здесь — не эпитет, а перевод термина англ. Master equation. Для вектора-строки распределения вероятностей π основное кинетическое уравнение имеет вид:

и совпадает, по существу, с прямым уравнением Колмогорова. В физической литературе чаще используют векторы-столбцы вероятностей и записывают основное кинетическое уравнение в виде, который явно использует закон сохранения полной вероятности:

где Tij = qji.

Если для основного кинетического уравнения существует положительное равновесие  0″ />, то его можно записать в форме

Функции Ляпунова для основного кинетического уравнения

Для основного кинетического уравнения существует богатое семейство выпуклых функций Ляпунова — монотонно меняющихся со временем функций распределения вероятностей. Пусть 0)» /> — выпуклая функция одного переменного. Для любого положительного распределения вероятностей (pi > 0) определим функцию Моримото H_h (p):

.

Производная Hh (p) по времени, если p (t) удовлетворяет основному кинетическому уравнению, есть

.

Последнее неравенство справедливо из-за выпуклости h (x).

Примеры функций Моримото H_h (p)

H_h (p)=S _i | p_i − p_i *|, h(x) = | x − 1 |,;

эта функция — расстояние от текущего распределения вероятностей до равновесного в L ₁-норме. Сдвиг по времени является сжатием пространства вероятностных распределений в этой норме. (О свойствах сжатий см. статью Теорема Банаха о неподвижной точке.)

H_h (p)=S _i p_i ln(p_i / p_i *),  h (x) = x ln x,

эта функция — (минус) энтропия Кульбака (см. Расстояние Кульбака — Лейблера). В физике она соответствует свободной энергии, деленной на kT (где k — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура):

если  (распределение Больцмана), то

.

H_h (p)= -S _i p_i ^*ln(p_i / p_i ^*),  h (x) = − ln x,;

эта функция — аналог свободной энергии для энтропии Бурга, широко используемой в обработке сигналов: S _Burg =∑ _i ln p_i

• , ;

это квадратичное приближение для (минус) энтропии Кульбака вблизи точки равновесия. С точностью до постоянного во времени слагаемого эта функция совпадает с (минус) энтропией Фишера, которую даёт следующий выбор,

• , ;

это (минус) энтропия Фишера.

• 0, \, q\neq 1″ />, ;

это один из аналогов свободной энергии для энтропии Тсаллиса. Энтропия Тсаллиса (Tsallis entropy)

служит основой для статистической физики неэкстенсивных величин. При  она стремится к классической энтропии Больцмана — Гиббса — Шеннона, а соответствующая функция Моримото — к (минус) энтропии Кульбака.