Теорема об изменении количества движения для материальной точки

 

Количество движения материальной точки – это вектор, имеющий направление вектора скорости и равный произведению массы точки на ее скорость:

.                                         (6.1)

.                                          (6.2)

 

Производная по времени от количества движения материальной точки равна равнодействующей сил, действующих на точку.

Данное утверждение – это теорема об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме. Выражение теоремы об изменении количества движения материальной точки в интегральной форме имеет вид

.                                   (6.3)

 

Изменение  количества движения материальной точки за некоторый промежуток t – t ₀ времени равно импульсу  равнодействующей сил, действующих на точку за тот же промежуток времени

                                          (6.4)

Если сила , то импульс силы

 

.                                     (6.5)

Примеры решения задач

Задача 1

Трубка вращается с угловой скоростью рад/с. Относительно трубки движется шарик М массой m = 0,2 кг со скоростью   м/с. Определить модуль количества движения шарика в момент времени, когда расстояние ОМ = 0,4 м.

Решение

Количество движения определяется по формуле:

,

где  – абсолютная скорость точки

, ,   м/с.

 м/с;  

Ответ: .

Задача 2

Материальная точка М массой m = 1 кг равномерно движется по окружности со скоростью м/с. Определить модуль импульса равнодействующей всех сил, действующих на эту точку за время ее движения из положения 1 в положение 2.

Решение

Т.к. скорость точки в 1-ом и 2-ом положении постоянная, то модуль количества движения в 1-ом и 2-ом положении будут равны и определяются:

; .

Ответ: .

 

Теорема об изменении количества движения механической системы

 

Количество движения механической системы – вектор, равный сумме векторов количеств движения всех точек, входящих в систему:

 

.                                         (7.1)

 

Упростив эту формулу получим:

 

.                                       (7.2)

 

Количество движения механической системы есть вектор, равный произведению массы системы на скорость центра масс данной механической системы.

.                                        (7.3)

Производная от вектора количества движения механической системы по времени равна главному вектору внешних сил, действующих на систему.

Рассматривается также теорема об изменении количества движения механической системы в интегральной форме: изменение количества движения механической системы равно импульсу главного вектора внешних сил, действующих на систему.

Т.е.                                       .                                   (7.4)

 

где  – импульс главного вектора внешних сил равен векторной сумме импульсов составляющих сил.

.                                      (7.5)

 

Примеры решения задач

Задача 1

По горизонтальному участку пути движутся два вагона, массы которых кг, кг и скорости м/с, м/с. Второй вагон догоняет первый и сцепляется с ним. Пренебрегая сопротивлением движению, определить скорость вагонов после сцепления.

Решение

Согласно теореме об изменении количества движения:

 – импульс сил.

;           

Т.ак как никаких внешних сил к системе не было приложено,

то S = 0, и

Ответ:  м/с.