Свойства сходящихся степенных рядов

Мы знаем, что конечная сумма непрерывных функций непрерывна; сумма дифференцируемых функций дифференцируема, причем производная суммы равна сумме производных; конечную сумму можно интегрировать почленно.

Оказывается, для «бесконечных сумм» функций – функциональных рядов в общем случае свойства не имеют места.

Например, рассмотрим функциональный ряд

Очевидно, что все члены ряда – непрерывные функции. Найдем область сходимости этого ряда и его сумму. Для этого найдем частичные суммы ряда

,

тогда сумма ряда

Таким образом, сумма S (х)данного ряда, как предел последовательности частичных сумм, существует и конечна при х Î (-1;1),значит, этот промежуток является областью сходимости ряда. При этом его сумма является разрывной функцией, так как

Итак, этот пример показывает, что в общем случае свойства конечных сумм не имеют аналога для бесконечных сумм – рядов. Однако для частного случая функциональных рядов – степенных рядов – свойства суммы аналогичны свойствам конечных сумм.

Свойства сходящихся степенных рядов

Рассмотрим степенной ряд

Для него справедливо

1.  Сумма степенного ряда непрерывна в интервале сходимости ряда.

2. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости, т.е.

-  сумма ряда S (х) дифференцируема в интервале сходимости;

- ряд, составленный из производных членов ряда

сходится в интервале сходимости исходного ряда, причем его сумма

равна S ¢ (х).

3. Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку , принадлежащему интервалу сходимости, т.е.

В частности, очевидно, что степенной ряд  можно почленно интегрировать по отрезку [0 ,х ]для любого х из интервала сходимости ряда. При этом получим

.

Заметим, что ряды, полученные из данного степенного ряда почленным дифференцированием или интегрированием, являются так же степенными рядами, сходящимися в том же интервале, что и исходный ряд.

Из приведенных свойств следует, что степенной ряд в интервале сходимости можно почленно дифференцировать любое число раз, причем получающиеся при этом ряды имеют тот же интеграл сходимости, а суммы соответственно равны S '(х), S "(х), S "(х),.... Аналогичное утверждение можно сформулировать для почленного интегрирования ряда.

 

Пример 22

Найти сумму ряда

 

Решение.

Данный ряд является степенным по степеням х, центр сходимости х ₀=0, числовой коэффициент а_п = п. Найдем радиус и интервал сходимости ряда:

,

следовательно, интервал сходимости х Î (–1;1).

Обозначим за S (х) сумму данного ряда и проинтегрируем ряд почленно по отрезку [0; x ]для любого х из интервала сходимости ряда:

Полученный ряд составлен из членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q = х и первым членом а= х.

    Нам известно, что при знаменателе | q | <1сумма бесконечной геометрической прогрессии . Таким образом, при | х | < 1

Чтобы найти искомую сумму ряда S (х), необходимо продифференцировать полученное равенство

.

Итак, внутри интервала сходимости степенной ряд сходится к функции , т.е. =  для х Î (–1;1).