Скорость и ускорения движущейся точки при векторном способе задания ее движения

 

Основная задача кинематики точки и твердого тела состоит в том, чтобы, зная закон движения точки (тела), установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих данное движение.

Скоростью точки называются вектор, определяющий быстроту и направления ее движения в каждый момент времени.

.

Вектор скорости точки равна первой производной от ее радиуса-вектора по времени и направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

Размерность скорости  или .

Ускорением точки называют вектор. Характеризующий быстроту изменения величины и направления скорости точки.

.

Вектор ускорения точки равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиус-вектора точки по времени.

Размерность ускорения – [м/с²].

В общем случае вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и его можно расположить на нормальную и касательную составляющие ;  направлено по нормали к траектории точки в сторону вогнутости.  и направлено по касательной к траектории точки.

Положение точки на плоскости определяется ее радиусом-вектором . Определить модуль ускорения точки в момент времени t ₁ =2 c.

; ;

, т.к. вектора  и  перпендикулярны между собой, то их сумму найдем по теореме Пифагора.

; м/с².

Ответ:   м/с².

1.3. Скорость и ускорение точки при
координатном способе задания ее движения

 

Вектор скорости точки . Отсюда

; ;

Проекции вектора скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

Зная проекции вектора скорости, найдем ее величину и направление.

Углы α, β и γ, которые вектор  образует с координатными осями Ox, Oy, Oz соответственно, находятся как углы направляющих косинусов: ; ; ; ,

Аналогично определяем координаты, направляющие косинусы и модуль ускорения:

; ; ;

; ; ; ;

 

Задача 1

Даны уравнения движения точки: , , где x и y – в см. Определить, в какой момент времени t ₁   ускорение точки равно 7 см/с².

Решение

Полное ускорение точки состоит:

Ускорение точки определим через его проекции на оси координат Ох и О y ;  см/с; см/с²

Ускорение ;  см/с;  см/с²

;

Возведем обе части в квадрат и определим время t ₁:

 

; ; ; с.

Ответ:   с

 

1.4. Скорость и ускорение точки при естественном
способе задания движения

 

Рассмотрим, определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения, т.е. при задании траектории точки и закона движения точки вдоль этой траектории в виде s=f(t) (рис.1.2).

В этом случае значения векторов и  определяют по их проекциям на подвижные оси Мτ n b оси естественного трехгранника, с началом в движущейся точке М.

Ось Mτ – направлена по касательной к траектории точки в сторону положительного отсчета координаты s; ось Мп – по главной нормали к траектории точки. Ось Mb – перпендикулярно к первым двум так, чтобы оси образовывали правую систему координат. Mτ – касательная,
Мп – нормальная и Mb – бинормальная оси координат.

Величина скорости точки равна первой производной дуговой координаты точки S по времени:

.

Скорость точки v направлена в сторону положительного отсчета s, когда v > 0 при v < 0 в противоположную сторону.

Рис.1.2

Вектор ускорения точки определяется его касательной  и нормальной  составляющими.

,

Которые равны: ;    ,

где  – радиус кривизны траектории в точке М.

При  вектор  совпадает с направлением оси Мτ, а при  – в противоположную сторону.

a_n – всегда положительно направлено по главной нормали.

Задача 1

Задано уравнение движения по криволинейной траектории:  Определить полное ускорение точки в момент времени с, если в этот момент радиус кривизны траектории  м.

Так как точка движется по криволинейной траектории, то ускорение имеет две составляющие a _τ – касательное; a_n – нормальное и .

Составляющие полного ускорения равны:

;                  при t ₁ =3 c

м/с;

м/с²= const;

 м/с²;

 м/с².

Точка совершает криволинейное равноускоренное движение.

Ответ:   м/с².