Расчет энергетических параметров полупроводника

 2.1. Произведя соответствующие расчеты, построить зависимость          ln γ = f (1/Т);

2.2. Определить ширину запрещенной зоны исследуемого материала;

2.3. Высказать предположение и обосновать его: какой из известных полупроводниковых материалов исследовался в данной работе;

 2.4. Сделать вывод о доминирующем механизме рассеяния в области истощения примесей, построив соответствующий участок кривой в координатах lnγ =f( ln T).

 Справочные данные для проведения расчетов энергетических параметров полупроводника приведены в табл. 2.2 и 2.3.

 

 

Т а б л и ц а  2.2

Наименование параметра	Обозначение	Величина
Заряд электрона	е	-1,6·10-19 Кл
Постоянная Больцмана	k	8,62·10-5 эВ/К
Постоянная Планка	h	6,63·10-34 Дж·с
Масса покоя электрона	m0	9,10·10-28 г
Эффективная масса электрона в германии	mn*	0,56 m 0
Эффективная масса дырки в германии	mр*	0,35 m 0

Т а б л и ц а  2. 3

Полупроводник	Обозначение	∆ W, эВ
Германий	Ge	0,66
Кремний	Si	1,12
Арсенид галлия	GaAs	1,43
Фосфид индия	InР	1,35

Содержание отчета

Отчет должен включать:

1. Цель работы.

2. Схему установки.

3. Расчетные формулы и соотношения, используемые в работе.

4. Таблицу с измеренными и рассчитанными величинами.

5. Примеры расчета по соответствующим формулам.

6. Графики зависимостей lnγ = f (1/Т) и lnγ =f( ln T).

7. Расчет значений ∆W и χ.

8. Величину Т_i (и, если возможно, Т_s).

9.  Расчет N _Д(А) по величине Т_i.

10.  Выводы по полученным данным.

Контрольные вопросы

1. Какие носители заряда присутствуют в полупроводниках?

2. Каков преимущественный вид носителей заряда в случае донорных и в случае акцепторных примесей?

3. Как Вы понимаете термин «зона проводимости»?

4. В каких пределах лежит ширина запрещенной зоны полупроводников?

5. Чем определяется температурная зависимость электропроводности полупроводника?

6. Почему собственная проводимость в полупроводнике появляется при более высоких температурах, чем примесная?

7. Почему именно зависимость концентрации свободных носителей от температуры определяет характер зависимости проводимости полупроводника от температуры?

8. Какие существуют виды рассеяния носителей заряда?

9. В чем состоит особенность четырехзондового метода измерения электропроводности?

10.  Какие энергетические параметры полупроводника можно определить по температурной зависимости удельной проводимости?

11.  Как определить концентрацию примесей в полупроводнике?

12.  Как определить тип рассеяния носителей заряда?

Библиографический список

1.              Шалимова, К. В. Физика полупроводников / К. В. Шалимова. – М.: Энергоатомиздат, 1985.- 392 с.

2.  Пасынков, В. В. Материалы электронной техники / В. В. Пасынков,  В. С. Сорокин.- СПб.: Изд-во «Лань», 2001.- 368 с.

3. Богородицкий, Н. П. Электротехнические материалы / Н. П. Богородицкий, В. В. Пасынков, Б. М. Тареев. – Л.: Энергоатомиздат, 1985. – 304 с. (Гл. 8 «Полупроводниковые материалы». С.229–266).

4. Колесов, С. Н. Материаловедение и технология конструкционных материалов / С. Н. Колесов, И. С. Колесов.– М.: Высш. шк., 2004.– 519 с. (Гл. 3 «Полупроводниковые материалы». С. 256–264).

 

Р а б о т а  № 3

И С С Л Е Д О В А Н И Е  Э Л Е К Т Р И Ч Е С К И Х С В О Й С Т В        П Р О В О Д Н И К О В Ы Х  М А Т Е Р И А Л О В

Цель работы – ознакомление с электрическими свойствами проводниковых материалов и методикой их исследования, включая экспериментальное и аналитическое определение удельного электрического сопротивления проводников.

Основные положения

Электропроводность металлов, проводников первого рода, обусловлена движением свободных электронов. Проводниками второго рода являются электролиты, в которых прохождение тока связано с движением ионов.

Современные представления об электрических свойствах металлов, как и других твердых электротехнических материалов, базируются на зонной теории твердого тела. Согласно этой теории вследствие обменного взаимодействия при образовании кристалла дискретные энергетические уровни изолированных атомов расщепляются на энергетические зоны. Каждая зона состоит из множества уровней, отстоящих друг от друга по энергии на 10^-22 – 10^-23 эВ. В соответствие с принципом Паули на каждом энергетическом уровне могут находиться два электрона с противоположно ориентированными спинами. Поэтому даже при температуре абсолютного нуля n электронов в кристалле займут n/ 2 наиболее низких уровней. Максимальную энергию W_F, которую может иметь электрон при Т =0К, называют энергией Ферми, или химическим потенциалом. Вероятность заполнения электроном состояния с энергией W определяется функцией Ферми-Дирака (см. работу № 2, формула 2.1). Из данного соотношения следует, что при любой температуре для уровня с энергией W=W_F вероятность заполнения равна 0,5.

Электроны в металлах, подчиняющиеся статистике Ферми-Дирака, являются вырожденной системой частиц. Вследствие вырождения участвовать в переносе заряда могут не все, а только те частицы, которые имеют возможность под действием поля переходить на свободные энергетические уровни. В металлах уровень Ферми располагается в валентной зоне, заполненной электронами лишь частично. (Все уровни, расположенные выше уровня Ферми, с вероятностью более 0,5 свободны от электронов.) Поэтому электроны, находящиеся в данной зоне вблизи W_F, могут изменять свое энергетическое состояние и участвовать в электропроводности, в то время как частицы, находящиеся на более глубоких уровнях не возмущаются электрическим полем.

При приложении к металлу внешнего электрического поля Е участвующие в тепловом движении электроны получают некоторую добавочную среднюю скорость направленного движения (дрейфа) υ _Д. Дрейф электронов проводимости и обуславливает протекание тока, плотность которого определяется выражением:

 ,                                 (3.1)

где μ =υ _Д /Е – подвижность носителей заряда; γ– удельная электропроводность; n – концентрация носителей; е – заряд электрона.

 Соответствующий квантово-механический расчет показывает, что в случае идеальной кристаллической решетки электроны проводимости не испытывали бы при своем движении никакого сопротивления и электропроводность была бы бесконечно большой. Однако в реальных кристаллах величина подвижности ограничена рассеянием электронов в результате столкновения с тепловыми колебаниями решетки (фононами) и дефектами решетки. Среднее время между двумя столкновениями обозначают 2τ, где τ – время релаксации, характеризующее процесс установления равновесия между электронами и решеткой, нарушенного действием поля Е. Среднее расстояние, проходимое частицей без столкновений, называется средней длиной свободного пробега λ. Вычислив приращение скорости электрона под действием поля Е на пути свободного пробега, определим подвижность:

                                     (3.2)

где m* - эффективная масса электрона. Введение m* вместо фактической массы учитывает воздействие решетки на движение частицы в твердом теле. Знак эффективной массы зависит от расположения электрона в валентной зоне: вблизи ее дна m*> 0, вблизи потолка зоны m*< 0. В первом случае движение электронов в кристалле отличается от движения свободных электронов лишь величиной массы; во втором случае электроны ускоряются в направлении, противоположном действию силы, будто они являются частицами с положительным зарядом и положительной массой. Такие квазичастицы называются дырками.

Концентрация свободных электронов в чистых металлах различаются незначительно, температурное изменение n также мало. Поэтому величина подвижности определяется в основном средней длиной свободного пробега электронов, зависящей, в свою очередь, от химической природы атомов и типа кристаллической решетки.

Удельное электрическое сопротивление проводника (ρ):

,                                 (3.3)

где R, S и l – соответственно его сопротивление, сечение и длина.

Поскольку причинами рассеяния электронных волн в металле являются тепловые колебания узлов кристаллической решетки и статические дефекты структуры (примесные атомы, вакансии, междуузельные ионы, дефекты типа дислокаций), то удельное сопротивление металлов аддитивно складывается из двух слагаемых: ρ_T - сопротивления, обусловленного рассеянием электронов на фононах, и ρ _ост - остаточного сопротивления, обусловленного рассеянием носителей на статических дефектах структуры. Это правило Маттиссена (исключение составляют сверхпроводящие металлы, в которых сопротивление исчезает ниже некоторой критической температуры Т _с). Для немагнитных проводников правило Маттиссена имеет вид:

 .                                       (3.4)

Рассеяние на статических дефектах структуры не зависит от температуры.

Зависимость электропроводности металлов от температуры. Эффективное рассеяние электронов на тепловых колебаниях решетки начинается лишь с некоторой характеристической температуры, которую называют температурой Дебая Θ_Д. Температура Дебая определяет максимальную частоту тепловых колебаний f _max фононов, которые могут возбуждаться в кристалле и зависит от сил связи между узлами кристаллической решетки

                                           (3.5)        

где h и k – постоянные Планка и Больцмана, соответственно. С ростом температуры амплитуда тепловых колебаний атомов и связанные с ней флуктуации периодического поля решетки усиливаются, что усиливает рассеяние электронов и вызывает возрастание ρ_T. При Т > Θ_Д, т.е. практически в области от комнатной температуры и выше, удельное сопротивление линейно возрастает с температурой. (Для большинства веществ Θ_Д лежит в пределах 100 – 500 К).

Наиболее существенный вклад в остаточное сопротивление вносит рассеяние на примесях, всегда присутствующих в реальных проводниках.

Относительное изменение удельного сопротивления металла при изменение температуры на один кельвин (градус) называют температурным коэффициентом удельного сопротивления, который также зависит от температуры

 .                                      (3.6)

В области линейной зависимости ρ(Т) справедливо выражение:

                                 (3.7)

где ρ₀ и α_ρ отнесены к началу температурного диапазона, т.е. Т ₀. Для чистых металлов α_ρ ≈ 0,004 К^-1 и при повышении температуры от 0 до 200°С α_р уменьшается примерно вдвое. На рис. 3.1 приведена зависимость удельного сопротивления меди от температуры. Скачек ρсоответствует температуре плавления меди, Т_{пл Cu}=1083 ⁰C.

Связь электропроводности и теплопроводности металлов. Электроны в металлах переносят не только электрический заряд, но и выравнивают в них температуру, обеспечивая высокую теплопроводность. Вследствие высокой концентрации электронов в металлах, электронная теплопроводность в них преобладает над другими механизмами теплопереноса. Связь между величинами удельной электропроводности γ и коэффициентом теплопроводности γ_Т выражается эмпирическим законом Видемана-Франца-Лоренца:

 ,                                          (3.8)

где L0 – число Лоренца.

Рис. 3.1. Зависимость удельного сопротивления меди от температуры

 

В табл. 3.1 приведены экспериментальные значения электрических характеристик для некоторых чистых металлов при 20 ^оС.

 Т а б л и ц а  3.1

Металл	L 0·108, В2/К2	γт, Вт/м·К	ρ·108, Ом·м	αρ·103, К-1
Медь	2,4	406	1,7	4,3
Алюминий	2,1	218	2,8	4,1
Железо	2,9	73,3	9,8	6,2

 

Наряду с чистыми металлами в электротехнике и электронике широко применяются сплавы различного назначения, а также неметаллические проводящие материалы – углеродистые, композиционные и другие. На практике зависимость сопротивления изделий из проводящих материалов от температуры оценивается по величине температурного коэффициента сопротивления

 .                                           (3.9)

Термоэлектродвижущая сила. Термоэлектрические явления в металлах и сплавах связаны с температурной зависимостью работы выхода е φ, которая необходима для удаления электрона из твердого тела в вакуум. Так как любой материал характеризуется своим значением энергии Ферми, то для каждой пары материалов А и В работа выхода будет различной. Разность энергий   е φ _А - е φ _В соответствует контактной разности потенциалов

                                         (3.10)

которая возникает в результате перехода электронов из металла с меньшей работой выхода в металл с большей работой выхода, происходящего до тех пор, пока не сравняются уровни Ферми. Если через границу между двумя металлами с различными W_F протекает электрический ток, то при переходе через эту границу электроны должны либо поглощать, либо выделять некоторую энергию (эффект Пельтье).

Наличие контактной разности потенциалов необходимо учитывать при измерении малых токов и напряжений, а также в силовых цепях.

В замкнутой цепи из двух различных проводников, имеющей в простейшем случае два спая, контактные разности потенциалов направлены в разные стороны и поэтому при одинаковой температуре спаев суммарная разность потенциалов равна нулю. Однако U_АВ зависит от температуры вследствие хотя и очень слабой, но различной температурной зависимости работ выхода е φ _А и е φ _В. Величина термоэлектродвижущей силы металлических термопар пропорциональна разности температур спаев:

 ,                                      (3.11)

где α _Т – коэффициент термо-э.д.с.

Влияние деформаций на удельное сопротивление. Большое влияние на удельное сопротивление металлов оказывает искажение структуры, вызванные напряженным состоянием твердого тела. Изменение удельного сопротивления при упругом растяжении или сжатии на практике приближенно оценивается формулой

                                    (3.12)

где ρ – удельное сопротивление металла при механическом напряжении σ; ρ₀ – удельное сопротивление металла до механического воздействия; s – коэффициент механического напряжения, характеризующий структуру данного металла; знак «+»соответствует растяжению, знак «-» – сжатию.

Изменение ρпри упругих деформациях связано с изменением амплитуды колебаний узлов кристаллической решетки металлов. При растяжении амплитуда увеличивается, при сжатии – уменьшается. Увеличение амплитуды колебаний ведет к снижению подвижности носителей заряда.

 Пластическая деформация, как правило, повышает удельное сопротивление металла вследствие искажения кристаллической решетки.

б).

а).

Удельное сопротивление сплавов.   Как уже отмечалось, примеси и нарушения в структуре кристаллической решетки ведут к увеличению удельного сопротивления про-водников. Значительный рост удельного сопротивления имеет место при сплавлении двух и более металлов в том случае, если они образуют твердый раствор (при отвердевании совместно кристал-лизуются – атомы одного металла входят в кристаллическую решетку другого).

Пример зависимости удельного сопротивления сплава двух металлов от изменения их процентного содержания представлен на рис. 3.2, а.

б).

a).

 При этом наблюдается и определенная закономерность в изменении температурного коэф-фициента удельного сопротивления (рис. 3.2, б). Данные изменения параметров обусловлены не только изменением подвижности носителей заряда, но в ряде случаев и частичным возрастанием их концентрации с ростом температуры. Сплав, у которого уменьшение подвижности носителей заряда с ростом температуры компенсируется возрастанием концентрации носителей, имеет α_ρ=0.

Наиболее значимые электротехнические металлы и сплавы

Проводники низкого сопротивления

Медь – наиболее широко используемый материал в электротехнике. Его преимущества: малое удельное сопротивление, высокая механическая прочность, удовлетворительная стойкость к коррозии, хорошая техно-логичность, относительная легкость пайки и сварки.

Алюминий — второй по значению проводниковый материал. Удельное сопротивление в 1,6 раза больше удельного сопротивления меди, но алюминий в 3,3 раза легче меди (большая проводимость на единицу массы). Более распространен в природе, меньшая себестоимость. Недостаток – низкая механическая прочность.

Латунь – сплав меди с цинком (до 50 %), часто с добавками Al, Fe, Mn, Ni, Pb и других элементов (в сумме до 10 %). Хорошо обрабатывается давлением, удовлетворительная механическая прочность, высокая пластичность, стоек к коррозии.

Железо (сталь) — наиболее дешевый и доступный металл, высокая механической прочность. Однако даже чистое железо имеет значительно более высокое по сравнению с медью и алюминием удельное сопротивление. Удельное сопротивление стали (железа с содержанием углерода и других элементов – As, Mn, P, Al, Si), еще выше. Характерна малая коррозийная устойчивость, поэтому поверхность стальных проводов защищают слоем более устойчивого материала, чаще всего покрывают цинком.

        Проводники высокого сопротивления

Сплавы высокого сопротивления применяют при изготовлении электроизмерительных приборов, образцовых резисторов, реостатов, электронагревательных устройств. В электроизмерительной технике от них требуется возможно меньшее значение температурного коэффициента сопротивления и малая термо-э.д.с. относительно меди. Наиболее распространенными являются сплавы на медной основе – манганин и константан, а также хромоникелевые (нихромы) и железохромалюминиевые сплавы.

Манганин – 85 % – Cu, 12 % – Mn, 3 % – Ni, отличается желтоватым оттенком, технологичен. Для получения малого α_р и высокой стабильности сопротивления во времени сплав подвергают отжигу в вакууме с последующим медленным охлаждением и длительной выдержкой при комнатной температуре.

Нихром – от 55 до 78 % – Ni, от 15 до 23 % – Сr, до 1,5 % – Mn, остальное – железо. Используют для нагревательных элементов. Высокая жаростойкость (до 1200 °С) с близкими значениями температурных коэффициентов линейного расширения сплавов и их оксидных пленок.

Константан – 60 % – Сu, 40 % – Ni. Данное соотношение меди и никеля, обеспечивает максимальное значение ρ и минимальное значение α_ρ(близко к 0 и обычно имеет отрицательный знак) (рис. 3.2). Хорошо поддается обработке. При нагреве до 400 – 500 °С  на поверхности образуется прочная и гибкая пленка оксида (электроизоляционная). Константан в паре с медью или железом приобретает большую термо-э.д.с., что позволяет использовать его для изготовления термопар.

 Особенности измерения сопротивления проводниковых материалов. Измерение величины удельного электрического сопротивления проводниковых и полупроводниковых материалов затруднено существованием так называемых контактных сопротивлений, возникающих в местах соприкосновения измерительных электродов с поверхностью образца. Величина контактного сопротивления определяется материалом проводника и контактов; состоянием их поверхности; контактным усилием и рядом других факторов.При использовании двухэлектродной схемы (рис. 3.3, а), когда падение напряжения на образце измеряется с помощью тех же электродов (Т ₁ и Т ₂), через которые к нему проводится ток, величина контактных сопротивлений (R _КТ1 и R _КТ2) входит составной частью в общее измеряемое сопротивление, что вносит большую погрешность в определяемое значение R_Х, а следовательно, и ρ. С целью снижения этой погрешности при измерении удельного сопротивления проводников и полупроводников применяют четырехэлектродный (четырехзондовый) метод (рис. 3.3, в).

 

 

.

 

 

В дополнение к токовым  вводят  еще и потенциальные электроды

(П ₁ и П ₂), и по величине падения напряжения на них определяют сопротивление соответствующего участка образца. Входное сопротивление измерителя напряжения R_v при этом должно быть много больше суммы контактных сопротивлений потенциальных электродов R _КТ1 и R _КТ2. На рис. 3.3 представлены расположение электродов (а, в) и соответствующие эквивалентные схемы (б, г). При расчете удельного электрического сопротивления исследуемого образца учитываются его геометрические размеры – площадь сечения S и расстояние между потенциальными электродами (зондами) l.

Описание измерительной установки

Измерительная установка (рис. 3.4) состоит из термостата, в котором смонтированы исследуемые проволочные проводники и резисторы. Все измерения осуществляются с помощью универсального измерительного прибора Р4833.

 

   

 

 

Сопротивления металлических проволочных проводников длиной  1 м измеряют по 4-х электродной (зондовой) схеме при соответствующей коммутации переключателями П ₁ и П ₃.

Измерение сопротивления резисторов проводится по                         2-хэлектродной (зондовой) схеме; необходимая коммутация при этом осуществляется переключателями П ₁ и П ₂.

В работе исследуются следующие резисторы:

С5-5 – резистор из тонкой проволоки манганинового ряда, намотанной на керамическое основание и покрытый стеклоэмалью;

ВС –  высокостабильный резистор, состоящий из углеродной пленки на керамическом основании;

МЛТ –многокомпонентный сплав (железо, хром, никель, алюминий, вольфрам и лантаноиды), нанесенный тонкой пленкой на керамическое основание;

ММТ-4 – полупроводниковое медно-марганцевое сопротивление, терморезистор;

МОИ – металлооксидное объемное сопротивление.

Порядок выполнения работы

Перед началом испытаний изучить лабораторную установку, ознакомиться с порядком подключения исследуемых образцов и требуемых схем измерений. Заготовить необходимые таблицы для занесения экспериментальных данных, переписать параметры объектов измерений, необходимые для дальнейших расчетов. После собеседования с преподавателем приступить к выполнению работы.