Проверка нормальности распределения по критерию

Шапиро-Уилка.                                    

 

Критерий Пирсона  широко применяется для проверки различных гипотез. Но именно при решении задач о проверке нормальности распределения заинтересованная общественность в последние годы стала отдавать предпочтение критерию Шапиро-Уилка. Тому есть следующие причины.  Во-первых, некоторые ограничения возможностей критерия Пирсона связаны с тем, что в теоретическую модель нормального распределения закладываются выборочные оценки математического ожидания и среднеквадратичного отклонения исследуемой случайной величины, а это может быть оправданно лишь при выборках большого объема. Во-вторых, как уже отмечалось, при получении гистограммы исходная выборка фактически распадается на несколько малых, сообразно числу ступеней гистограммы. Доверие к этим малым выборкам очень низкое именно в силу их малости.

Критерий Шапиро-Уилка оказался хорошим конкурентом критерия  Пирсона при проверке нормальности распределения именно в малых и средних выборках.

Чтобы показать, как проводится проверка нормальности распределения с применением критерия Шапиро-Уилка, мы взяли из исходной выборки 1 (табл.1) десять первых элементов, и эту малую выборку проверили на нормальность по Шапиро-Уилку. Как удалось убедиться, вывод о нормальном распределении в сравнительно большой выборке 1 объемом n₁ = 25, полученный по Пирсону, подтверждается анализом малой части этой выборки объемом 10 элементов, выполненным по Шапиро-Уилку на том же уровне значимости α = 0.05.

 

                                                                                                                                       

Пример применения критерия Шапиро-Уилка.             (*)

 

Исходные данные - выборка значений кардиоинтервала объемом n = 10.

Задача: проверка гипотезы о выполнении нормального закона распределения в заданной выборке

Нулевая гипотеза:

Н₀: < (Т₁) = f(Т₁) >                     

Здесь (Т₁) – эмпирическое распределение случайной величины Т₁

f(Т₁) – теоретическое распределение случайной величины Т₁ в соответствии с нормальным законом распределения. Параметры  М(Т) и s не известны.

₁

Проверку гипотезы выполняем по критерию Шапиро-Уилка

 

Таблица 7. К вычислению контрольного значения W -критерия.

 

№	T1j	Упорядоченное T1j	k	∆T	α n , k,	∆T α n , k,
1	2	3	4	5	6	7
1	0.83	0.44	1	0.66	0.5739	0.3788
2	0.72	0.68	2	0.15	0.3291	0.0494
3	0.68	0.70	3	0.08	0.2141	0.0171
4	0.75	0.72	4	0.03	0.1224	0.0036
5	0.74	0.74	5	0.01	0.0399	0.0004
6	0.44	0.75		b=å∆T α n , k,		0.4493
7	1.10	0.75
8	0.70	0.78
9	0.75	0.83
10	0.78	1.10

 

Контрольное значение критерия Шапиро-Уилка:

Критическое значение критерия, на уровне значимости α = 0.05:

Т.к.  > , нулевая гипотеза принимается.

Вывод: с доверительной вероятностью p = 0.95 в проанализированной выборке выполняется нормальный закон распределения.                                    (**)

 

  Пояснения к вычислениям по таблице 7.  

     1. В столбце 2 помещена анализируемая выборка,  В столбце 3 все элементы этой выборки размещены в порядке возрастания.

2. В столбце 4 пронумерованы, а в столбце 5 – записаны разности ∆ k. Они вычисляются следующим образом: из последнего элемента упорядоченной выборки вычитается первый, затем из предпоследнего – второй, и т. д.. Если объем выборки – число нечетное, то центральный элемент упорядоченной выборки в образовании разностей не участвует (т.е. если бы объем выборки был бы 11, а не 10,  то все равно было бы образовано 5 разностей).

3. В столбце 6 помещены значения коэффициентов α _{n , k}, взятые в  приложении 4. В таблице приложения выбирается столбец коэффициентов, соответствующий объему анализируемой выборки  n и количеству получившихся разностей k. В нашем примере n = 10, k = 5.

4. В столбце 7 – произведения чисел столбцов 5 и 6, а внизу – их сумма b, необходимая для вычисления контрольного  значения критерия W.

5. Таблица критических значений критерия Шапиро-Уилка приведена в приложении 5.

 ВНИМАНИЕ: при работе с критерием Шапиро-Уилка нулевая гипотеза принимается, если контрольное значение критерия больше критического (а не меньше, как обычно в подобных ситуацияхпри работе с другими критериями).

 

Предисловие к вычислениям границ доверительных интервалов.

1.Процедура определения границ доверительного интервала для математического ожидания случайной величины достаточно проста. Но применять ее можно в случае, если в выборке выполняется нормальный закон распределения. В литературе встречается дополнение: «… или близкие к нему распределения».

2. Установлено, что случайные погрешности измерений подчиняются нормальному закону распределения, «или близки к нему».

5. В нашем примере оказалось оправданным определение границ доверительных интервалов для истинного среднего в обеих выборках. Будут ли оправданны такие действия в условиях Ваших исходных данных, – Вам предстоит выяснить. Но все же после этого, в интересах обретения навыков, следует определить границы доверительных интервалов для условий Вашего индивидуального задания по приведенной ниже методике.