Порядок построения векторной диаграммы

1. Построение векторной диаграммы начинаем с выбора масштаба для напряжения и тока.

Пусть m _U= 100В/см, m _I= 3А/см

2. От точки 0 горизонтально вправо проводим вектор напряжения U. В выбранном масштабе его длина будет l = U / m_U = 540 B / 100 B/см =5,4 см.

3. Вектор активного тока первой ветви I_а1 совпадает по фазе с напряжением, поэтому откладываем его вправо вдоль вектора напряжения из точки 0.

4. От конца вектора тока I_a1 откладываем вертикально вниз вектор реактивного тока первой ветви I_L1, т. к. oн отстает от напряжения на угол 90°.

5.Соединив начало (точка 0) вектора I_a1 с концом вектора I_L1, получим вектор тока I₁ первой ветви, который отстает от напряжения на угол φ₁. В выбранном масштабе длина каждого из векторов этих токов должна быть:
l I_a1 = I_a1 / m _I = 12 A/ 3 A/ см = 4 см.
l I _L1 = I _L1/ m _I = 9 A/ 3 A/см=3 см.
l I = I₁ / m _I = 15 A /3 A/см =5см.
Этот размер должен получиться автоматически в результате сложения токов I_{a 1} и I_L1. Точно также автоматически получится и угол φ₁ = 37°.

6.От конца вектора I₁ горизонтально вправо откладываем вектор тока второй ветви I ₂ = I_{a 2} . Он совпадает по фазе с напряжением и носит активный характер, угол сдвига фаз между этим током и напряжением φ₂ = 0 (поэтому он проводится параллельно вектору напряжения). Его длина l I₂ = I₂ / m _I = 12 A /3 A/см = 4 см.

7. От конца тока I₂ откладываем вертикально вверх ток третьей ветви I₃ = I_a3, который носит емкостной характер и поэтому опережает напряжение на угол φ3 = - 90°. Его длина l I₃= I₃ / m _I = 27 A /3 A/см = 9см.

8. Соединив начало (точка 9) вектора тока I₁ с концом вектора тока I₃, получим общий ток I, равный геометрической сумме токов. I₁, I₂, I₃, т. e. I = I₁ + I₂ + I_3.
Измерив длину этого вектора, убеждаемся, что она l _I = 10 см. Это значит, что с учетом масштаба его величина будет I= m _I   l _I = 3А/см ·10 см = 30 А.

Видим, что графическое и математическое определение общего (суммарного, результирующего) токов в неразветвленной части подтвердилось.

 

Трехфазные электрические цепи

Теория

В трехфазных цепях потребители соединяют по схемам «звезда»» или "треугольник". При соединении приемников энергии звездой линейные напряжения обозначаются U_АВ, U_ВС, U_СА. В общем виде U_Л. Фазные напряжения обозначаются U_А, U_В, U_С, в общем виде U_Ф. Токи обозначаются I_А, I_В, I_С, причем, ток линейный равен току фазному, поэтому в общем виде I_Л = I_Ф.

При наличии нулевого провода при любой нагрузке, а при равномерной нагрузке и без нулевого провода U_Л = √3 U_Ф (линейное напряжение больше фазного в √3 раз). При равномерной нагрузке фаз активная мощность всей цепи:

Р = √3 U_Л I_Л cos φ_Ф или Р = 3 U_Ф I_Ф cos φ_Ф.

При неравномерной нагрузке мощность всей цепи Р = Р_Ф1 + Р_Ф2 + Р_ФЗ,  где    Р_Ф = U_Ф I_Ф cos φ_Ф.

При соединении потребителей треугольником фазное напряжение равно линейному: U _Л = U_Ф. Обозначаются напряжения: U_АВ, U_ВС, U_СА. Фазные токи обозначаются I_АВ, I_ВС, I_СА. Линейные токи обозначаются I_А, I_В, I_С, в общем виде I_Л.

При равномерной нагрузке фаз I_Л = √ 3 I_Ф. При неравномерной нагрузке фаз линейные токи определяются на основании первого закона Кирхгофа из векторной диаграммы, как геометрическая разность фазных токов.

При соединении приемников энергии звездой сеть может быть четырехпроводной – при наличии нулевого провода, или трехпроводной - без нулевого провода.

При соединении приемников энергии треугольником сеть может быть только трехпроводной.

 

2.2.Пример решения задачи по схеме «ЗВЕЗДА»

В четырехпроводную сеть (рис.) трехфазного тока с линейным напряжением U_Л = 380 В включены по схеме "звезда" три группы электрических ламп накаливания одинаковой мощности. В каждой группе лампы соединены параллельно. В среднем сопротивление одной лампы составляет R _лампы = 484 Ом.

Первая группа ламп включена в фазу А, число ламп в ней n_А = 88 шт.
Вторая группа ламп включена в фазу В, число ламп в ней n_В =33 шт.
Третья группа ламп включена в фазу С, числе ламп в ней n_с = 55 шт.
Определить ток ламп I, напряжение U ламп, мощность Р ламп, на которые рассчитана лампа; Токи I_А, I_В, I_С,, протекающие в фазах и линейных проводах; мощности Р_А , P_В, P_С, P, потребляемые фазами и всей цепью. Построить в масштабе векторную диаграмму напряжений и токов и из неё графически определить величину тока в нулевом проводе I₀.

Дано. U_л = 380 В, R_ламп = 484 Ом, n _A= 88 шт. n _B = 33 шт. n _C = 55 шт.
Определить: Токи и напряжения на лампах., токи I_А, I_В, I_С, графически из векторной диаграммы Р_А, P_В, P_С, P. Построить в масштабе векторную диаграмму напряжений и токов.
Решение:

1. Запишем линейные напряжения. По условию задачи U_АВ = U_ВС = U_СА = 380В.
Тогда фазные напряжения U_А, U_В, U_С в общем виде будут: U_Ф = U_Л /√3 = 380 В /√3= =220 В, таким образом, U_А = U_В = U_С = 220 В.

2. Все лампы цепи включены на фазные напряжения, поэтому U _ламп = U_Ф =220В.

3.Ток ламп по закону Ома: I _ламп = U _ламп / R_ламп = 220 В / 484 Ом = 0, 455 А.

4. Мощность лампы Р _ламп = U _ламп ∙ I _ламп = 220 В ∙0,455 А = 100 Вт.

5. Сопротивления фаз (они активные): R_А = R_ламп / n _A = 484 Ом / 88 = 5,5 Ом,

R_В = R_ламп / n _В = 484 Ом / 33 = 14,6 Ом, R_С = R_ламп / n _С = 484 Ом / 55= 8,8 Ом.

6.Токи фаз по закону Ома:
I_А = U_A/ R_А = 220 Ом / 5,5 Ом= 40 А,
I_В = U_В / R_В =220 Ом / 14,6 Ом = 15 А,
I_С= U_С / R_С = 220 В / 8,8 Ом = 25 А.

Фазные токи ламп можно было найти по значению тока лампы и количеству ламп в фазе: I_А = I_ламп ∙ n _А, I_В = I_ламп ∙ n _В, I_С = I_ламп ∙ n _С.

7. Мощности, потребляемые фазами (они активные):
Р_A = U_A ∙ I_А = 220 В ∙ 40 А = 8800 Вт
Р_В = U_В ∙ I_В = 220 В ∙ 15 А = 3300 Вт.
Р_С = U_С ∙ I_С = 220 В ∙25 А = 5500 Вт.

8. Мощность, потребляемая цепью:

Р = Р_А + Р_В + Р_С = 8800 Вт + ЗЗ00 Вт + 5500 Вт = 17600 Вт.

Порядок построения векторной диаграммы (рис.)

1. Построение векторной диаграммы начинаем с вывода масштаба для напряжения и тока (в контрольной работе эти масштабы вам будут заданы). Пусть m _U = 44 В / см, m _I= 10 А / см.

2. Из точки 0 проводил три вектора фазных напряжений U_А, U_В, U_С, углы между которыми составляют 120° (эти углы строят с максимально возможной точностью, используя циркуль или транспортир). В выбранном масштабе их длина будет  l _UФ = U_Ф / m _U= 220 В / 44 ( В / СМ)=5 см.

3. Соединив концы векторов фазных напряжений, получим треугольник линейных напряжений U_АВ, U_BC, U_CA. Направление этих векторов совпадает с обходом против часовой стрелки. Измеряя векторы линейных напряжений, убедимся, что с учетом масштаба их длина будет равна 380 В.

4. Нагрузка фаз активная (электрические лампы накаливания обладают активным
сопротивлением), поэтому токи I_А, I_В, I_С будут совпадать по фазе с соответствующими фазными напряжениями. В выбранном масштабе их длина будет:
l _IA =I_А /m _I= 40 А / 10 (A / см) = 4 см
l _IВ =I_В /m _I= 15 А / 10 (A / см) = 1,5 см
l _IС =I_С /m _I= 25 А / 10 (A / см) = 2,5 см

5. Геометрически складываем токи I_А, I_В, I_С и получаем ток в нулевом проводе:

I₀ = I_А + I_В+ I_С.

При этом векторы токов можно складывать в любой последовательности. Так, на диаграмме к концу вектора I_С путем параллельного переноса пристроен вектор I_А, к концу вектора I_А пристроен путем параллельного переноса вектор I_В. Точка 0 соединена с концом вектора I_В – это и есть ток в нулевом проводе I ₀. Величина токов в нулевом проводе I₀ = l _I0 ∙ m _I = 2,2 см ∙ 10 А/см = 22 А. Т.е. ток в кулевом проводе определен графически, его величина I₀ = 22 А.

2.3.Пример решения задачи по схеме «ТРЕУГОЛЬНИК»

В трехпроводную сеть (рис.) трехфазного тока с линейным напряжением U_Л = =220 В включены по схеме "треугольник" три группы электрических ламп накаливания одинаковой мощности. В каждой группе лампы соединены параллельно. В среднем сопротивление одной лампы составляет R_ЛАМП = 242 Ом. Первая группа ламп включена в фазу АВ, число ламп в ней n_АВ =11 шт. Вторая включена в фазу ВС, число ламп в ней п_ВС = 22 шт. Третья группа ламп включена в фазу СА, число ламп в ней п_СА = 33 шт.
Определить: ток I _ламп, напряжение U _ламп и мощность Р _ламп, на которые рассчитана лампа; токи I_АВ, I_ВС, I_СА, протекающие в фазах цепи; мощности Р_АВ, Р_ВС, Р_СА, Р, потребляемые фазами и всей цепью. Построить в масштабе векторную диаграмму напряжений и токов, и из неё графически определить величину токов I_А, I_В, I_С в линейных проводах.

При соединении потребителей треугольником фазное напряжение равно линейному: U_Л = U_Ф. Напряжения обозначаются U_АВ, U_ВС, U_СА. Фазные токи обозначаются I_АВ, I_ВС, I_СА. Линейные токи обозначаются I_А, I_В, I_С, в общем виде I_Л.

При равномерной нагрузке фаз I_Л = √ 3 I_Ф.

При неравномерной нагрузке фаз линейные токи определяются на основании первого закона Кирхгофа из векторной диаграммы, как геометрическая разность фазных токов.

Решение.

1. Запись линейных напряжений U_АВ, U_ВС, U_СА, в виде U_Л.
По условию задачи U_АB = U_ВС =U_СА= 220 В. При соединении " треугольником " линейное напряжение равно фазному, поэтому U_Л =U_Ф.

2. Вce лампы цепи включены на фазное напряжение, поэтому U_ламп = U_Ф= 220В.

3. Ток лампы по закону Ома: I _ламп = U _ламп / R_ламп = 220В / 242 Ом = 0,909 А.

4. Мощность лампы: Р _ламп = U _ламп ·I _ламп = 220 В· 0,909 А= 200 Вт.

5. Сопротивления фаз (они активные):
R_АВ = R _ламп / n _АВ = 242 Ом / 11 = 22 Ом,
R_ВС = R _ламп / n _ВС = 242 Ом / 22 = 11 Ом,
R_СА = R _ламп / n _СА = 242 Ом / 33 = 7,33 Ом.

6. Токи фаз по закону Ома:
I_АВ = U_АВ / R_АВ = 220 / 22 = 10 А,
I_ВС = U_ВС / R_ВС = 220 / 11 = 20 А,
I_СА = U_СА / R_СА = 220 / 7,33 = 30 А.

Фазные токи можно найти по значению тока лампы и количеству ламп в фазе.
I _АВ = I _ламп · n _АВ
I _ВС = I _ламп · n _ВС
I _СА = I _ламп · n _СА

7. Мощности, потребляемые фазами (они активные)
Р_АВ = U_АВ · I_АВ = 220 В ·10 А = 2200 Вт,
Р_ВС = U_ВС · I_ВС = 220 В ·20 А = 4400 Вт,
Р_СА = U_СА · I_СА = 220 В ·30 А = 6600 Вт.

8.Мощность, потребляемая цепью
Р=Р_АВ = Р_ВС = Р_СА =2200 + 4400 + 6600 = 13200 Вт.

9. Векторная диаграмма напряжений и токов. Построение векторной диаграммы начинают с выбора масштаба для напряжения и токов (в контрольной работе эти масштабы вам заданы). Пусть m _U = 55 В / см и m _I = 10 А / см.