Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с направляющим вектором

Элементы аналитической геометрии на плоскости

Декартова система координат на плоскости. Уравнение линии

Для задания декартовой системы координат на плоскости определяют точку О – начало координат, пару неколлинеарных векторов, образующих базис, и единицу измерения длины. Прямые, проведенные через начало координат параллельно и сонаправленно базисным векторам, называют осями координат. Если оси перпендикулярны, то система координат называется прямоугольной.  С горизонтальной осью абсцисс Ox и вертикальной осью ординат Oy. Ортонормированный базис на плоскости принято обозначать векторами  для оси абсцисс и  для оси ординат. Тогда координатами точки M на плоскости O xy будут проекции ее радиус-вектора  на соответствующие оси.

Если , , то для определения координат точки , делящей отрезок в заданном соотношении , используются формулы , . Расстояние между точками A и B определяется как .

Уравнением линии (кривой) на плоскости  называется уравнение, которому удовлетворяют координаты  и  каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

В общем случае уравнение линии может быть записано в неявном виде  или в явном виде , где  и  – некоторые функции.

Чтобы убедиться, что точка  лежит на данной линии , надо проверить, обращают ли координаты этой точки уравнение  в верное равенство.

Прямая на плоскости

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть прямая пересекает ось Oy в точке  и образует с осью Ox угол  ().

Возьмем на прямой произвольную точку . Тогда тангенс угла  наклона прямой найдем из прямоугольного треугольника :

.

Введем угловой коэффициент прямой , откуда получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

                                                                          (1)

1. Если , то получаем  – уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей при  острый угол с осью Ox, а при  – тупой угол.

2. Если , то , и уравнение прямой, параллельной оси Ox, имеет вид , а самой оси Oy – вид .

3. Если , то прямая перпендикулярна оси Ox и  не существует, т.е. прямая не имеет углового коэффициента, т.е. вертикальна и параллельна оси Oy. Предположим, что эта прямая отсекает на оси Ox отрезок, равный a. Очевидно, что уравнение такой прямой , т.к. абсцисса любой точки прямой равна , а уравнение оси Oy есть .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении (с заданным угловым коэффициентом)

Пусть прямая проходит через точку  и образует с осью Ox угол . Т.к. точка  лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению (1), т.е. .

Вычитая его из равенства (1), получим уравнение искомой прямой

.                                                             (2)

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с направляющим вектором

Пусть прямая проходит через точку  параллельно вектору . Рассмотрим произвольную точку прямой M (x; y). Поскольку искомая прямая и вектор  параллельны то векторы ={ x – x ₁; y – y ₁} и  также параллельны, а их координаты пропорциональны, т.е.

                                                                    (3)

Уравнение (3) и называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку M с направляющим вектором .