Векторы в трехмерном пространстве

Величина, полностью характеризуемая своим числовым значением в выбранной системе единиц, называется скалярной.

Величина, кроме числового значения характеризуемая направлением, называется векторной.

В трехмерном пространстве вектор представляет собой направленный отрезок  с начальной точкой А и конечной точкой В, который можно перемещать параллельно самому себе.

Под длиной вектора  понимается его числовое значение  без учета направления. В трехмерном пространстве это число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.

Два вектора  и  называют равными, если они расположены на параллельных прямых, имеют одинаковые длину и направление. Если равные векторы считать одним и тем же вектором, то такой вектор называют свободным.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Три вектора называют компланарными, если параллельны некоторой плоскости или лежат в ней.

Осью называется направленная прямая. Для определения оси необходимо задать вектор, определяющий направление оси (его называют направляющим вектором), и точку его приложения. Заданное направление оси считается положительным, а противоположное – отрицательным.

Проекцией точки A на ось l называется основание A ' перпендикуляра AA ', опущенного из точки A на эту ось.

Компонентой вектора  относительно оси l называется вектор , начало которого – точка A ' – есть проекция точки A на ось l, а конец B ' – проекция точки B на ось l.

Проекцией вектора  на ось l называется скаляр , равный длине компоненты  относительно оси l, взятой со знаком “+”, если направление компоненты совпадает с направлением оси, и со знаком “–“ в противном случае.

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называют нулевым и обозначают . Длина нулевого вектора равна нулю: . Так как направление нулевого вектора произвольно, то считают, что он коллинеарен любому вектору.

Для задания декартовой системы координат необходимо определить произвольную точку пространства O – начало координат, 3 неколлинеарных вектора – направляющие векторы осей, и единицу измерения длины. В общем случае векторы могут не быть перпендикулярными. Их называют базисными векторами или базисом.

Говорят, что оси O x, Oy и Oz в трехмерном пространстве образуют правую тройку, если для наблюдателя, смотрящего в направлении оси Oz, кратчайший поворот оси O x к оси Oy происходит против часовой стрелки. В случае произвольных векторов понятяе правой и левой тройки вводятся следующим образом. Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных векторов , ,  в трехмерном пространстве. Выберем в этом пространстве произвольную точку A и выполним параллельный перенос всех трех векторов таким образом, чтобы их начала совпали с A. Поскольку векторы некомпланарны, их концы не лежат на одной прямой и задают плоскость , причем через них проходит единственная окружность, лежащая в этой плоскости. Упорядоченная тройка векторов , ,  называется правой, если для наблюдателя, смотрящего из точки A, обход концов векторов , ,  по окружности осуществляется по часовой стрелке. В противном случае вектора образуют левую тройку.

Пусто O x, Oy и Oz – 3 взаимно перпендикулярные оси в трехмерном пространстве (координатные оси), исходящие из точки О (начало координат) и образующие правую тройку.

Для любой точки пространства M существует ее радиус-вектор  с началом в начале координат и концом в данной точке. Тогда под прямоугольными декартовыми координатами точки M понимаются проекции ее радиус-вектора на соответствующие оси, т.е. , , .

Пусть в пространстве с декартовой системой координат Oxyz задан вектор . Его проекции на координатные оси , ,  называются координатами вектора  в данной системе координат. При этом отношение длин проекций к длине вектора определяют косинусы углов, которые вектор образует с координатными осями. Их называют направляющим косинусами вектора и определяют из соотношений , , . Поскольку направляющие косинусы однозначно определяют направление вектора, он однозначно задается своими координатами.

Если известны координаты начала и конца вектора , , то координаты вектора  определяются как , а его длина – как .

Введем в рассмотрение единичные векторы (орты) , , , направленные по осям координат. Они образуют базис в трехмерном пространстве, взаимно перпендикулярны и имеют длину, равную единице. Такой базис называют ортонормированным. Тогда если вектор  имеет координаты , то выражение вида  называют координатной формой вектора или разложением вектора  по базису , , . Это разложение единственно для каждого вектора.

В трехмерном пространстве определены следующие операции над векторами.

1. Сложение векторов

Суммой двух векторов  и  называют вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора  при условии, что конец вектора  совпадает с началом вектора . Если , , то .

2. Умножение вектора на число

Произведением вектора  на число   называется вектор , имеющий длину , направление которого совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если . Если , то . Противоположным вектором  называется произведение вектора  на число (-1), т.е. .

Перечисленные операции обладают следующими свойствами:

1) Коммутативность сложения ;

2) Ассоциативность сложения ;

3) Ассоциативность умножения на число ;

4) Дистрибутивность умножения суммы векторов на число ;

5) Дистрибутивность умножения вектора на сумму чисел ;

6) Умножение вектора на ноль ;

7) Сложение вектора с противоположным ему вектором ;

8) Умножение вектора на единицу .

3. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов  и  называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. . Если , , то .

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

4. Векторное произведение векторов

Векторным произведением векторов  и  называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям: 1) его длина равна произведению длин перемножаемых векторов на синус угла между ними, т.е. ; 2) этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам; 3) если векторы , ,  неколлинеарны, они образуют правую тройку. Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах.

Если , , то .

Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

5. Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением векторов ,  и  называется число . Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенному на этих векторах, взятому со знаком “+”, если векторы образуют правую тройку, и со знаком “–”, если они образуют левую тройку. В координатной форме смешанное произведение векторов ,  и  определяется как .

Смешанное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1.  – смешанное произведение не меняется при циклической перестановке сомножителей;

2.  – смешанное произведение при попарной перестановке сомножителей меняет знак на противоположный;

3.  тогда и только тогда, когда векторы ,  и  компланарны.