Ознакомление детей с составом числа из двух меньших чисел

Дети седьмого года жизни учатся определять количествен­ный состав чисел из двух меньших сначала в пределах пер­вой пятерки, а потом в пределах десяти. Эта задача рассмат­ривается как одно из наиболее важных в подготовке детей к вычислительной деятельности.

На протяжении всех лет обучения в детском саду в про­цессе выполнения упражнений с множествами детей посте­пенно подготавливают к усвоению состава числа из двух меньших чисел. Дети создают множества, объединяют не­большие группы вместе, делят множество на части, сравни­вают их между собой. Все эти упражнения способствуют со­зданию существенной основы вычислительной деятельности. В дальнейшем это будет использоваться как один из при­емов сложения (вычитания).

Следует подчеркнуть, что основная цель этих упражне­ний не механическое запоминание таблиц, показывающих, из каких чисел составляется то или другое число, а понима­ние того, что число, так же как и множество, может быть образовано из частей, групп, других чисел, общее количе­ство которых соответствует заданному множеству или числу. Оперируя конкретными множествами и числами, дети осоз­нают отношения частей и целого. Части могут быть равными и неравными, большими или меньшими, однако всегда часть меньше целого. Приведем пример такого занятия.

Воспитатель ставит цель ознакомить детей с количествен­ным составом числа четыре.

«Положите перед собой игрушки, — говорит воспита­тель, — посчитайте их. Найдите карточку с соответствую­щей цифрой и положите ее под игрушками». Дети находят карточку, воспитатель проверяет, все ли правильно посчи­тали игрушки и взяли карточку с соответствующей цифрой. «Сколько у вас игрушек? Разложите игрушки на две цвет­ные полоски бумаги». Дети выполняют задание. «Расскажи, Петя, как ты разложил четыре игрушки. Как Алена разло­жила их? А как разложил игрушки Саша? Как можно соста­вить число четыре? Из каких меньших чисел складывается число четыре?»

Детям предлагается собрать игрушки и снова разложить их на две полосы!, однако уже иначе, не так, как они были разложены раньше. Задание повторяют трижды. В процессе

199

такого обучения они усваивают, что число четыре составля­ется из: 3 и 1; 1 и 3; 2 и 2 (рис. 28).

4-3 = 1

5-2 = 3

Рис.28

Дети могут объединить четыре геометрические фигуры из треугольников и четырехугольников, закрасить двумя цве­тами (всего было четыре фигуры, несколько из них крас­ные, а остальные — зеленые). В качестве наглядности широ­ко используются цифры. Например, дети раскладывают чис­ло шесть так: пять и один; четыре и два; три и три; два и четыре; один и шесть. При этом важно, чтобы воспитатель следил за ответами детей, в которых следует называть как все число, так и его части. «У меня было всего пять флажков, из них три флажка я отдал Ирине и два Володе. У Ирины и Володи вместе пять флажков. Итак, число пять можно разло­жить на три и два».

Воспитатель может ставить не конкретные, а проблемные вопросы. Например, на квадратную карточку в один ряд нельзя поставить семь матрешек. Он не дает конкретных ука­заний, как их разместить, а просто предлагает поставить на карточку семь матрешек. Дети самостоятельно решают раз­местить их в два ряда. При этом могут быть разные варианты: пять и две; четыре и три; шесть и одна и т.д.

Упражнения для самопроверки

количественный меньших подготовке вычислительной обучения

В этой группе дети учатся определять... состав чисел из двух... в пределах деся­ти. Задача рассматривается как одна из наи­более важных в... детей к... деятельности. К пониманию состава числа детей гото­вят на протяжении всех лет... в детском

 

выполнения множествами множества делят части упражнения чувственной состава число создать чисел количество

саду в процессе... упражнений с.... Они создают..., объединяя небольшие множе­ства вместе,... их на..., сравнивают между собой. Эти... способствуют созданию... ос­новы для изучения... числа. Основная цель этих упражнений — понять, что..., как и множество, можно... из частей, групп, других..., общее... которых соответствует заданному множеству или числу.

§ 3. Методика ознакомления детей с арифметическими задачами и примерами

В обучении решению арифметических задач условно мож­но выделить два взаимосвязанных этапа: ознакомление со структурой задачи, способами решения ее, и обучение при­емам вычислений (А.М.Леушина). При этом дети в значи­тельной степени осознают содержание арифметической за­дачи, учатся формулировать арифметические действия, ар­гументировать выбор действия, овладевают приемами сложения и вычитания.

Арифметическая задача — это простейшая, сугубо мате­матическая форма отображения реальных ситуаций, которые одновременно близки и понятны детям и с которыми они ежедневно сталкиваются. Есть все основания считать, что это до некоторой степени объясняет достаточно высокий инте­рес обучающихся к решению арифметических задач.

Однако, несмотря на то что вычислительная деятельность вызывает интерес, а самой проблеме отводится значительное место в программе обучения в детском саду, многие стар­шие дошкольники и даже младшие школьники (учащиеся 1—3-х классов) испытывают значительные трудности имен­но в решении арифметических задач. Около 20% детей подго­товительной группы испытывают трудности в выборе ариф­метического действия, аргументации его. Эти дети, решая арифметические задачи, в выборе арифметического действия ориентируются в основном на внешние, несущественные, псевдоматематические связи и отношения между числовыми данными в условии задачи, а также между условием и воп­росом задачи. Это проявляется прежде всего в непонимании обобщенного содержания понятий: условие, вопрос, действие, а также знаков (+, —, =), в неумении правильно выбрать необходимый знак, арифметическое действие в том случае,

 

200

201

когда заданное в условии конкретное отображение не соот­ветствовало арифметическому действию (прилетели, добави­ли, дороже — сложение; улетели, взяли, дешевле — вычита­ние). Более того, иногда отдельные воспитатели именно на эти псевдоматематические «связи» ориентируют детей. В та­ких ситуациях вычислительная деятельность формируется недостаточно осознанно.

Очевидно, основная причина низкого уровня зна­ний заключается в том, что отличает вычислительную деятельность от счетной. Во время счета ребенок имеет дело с конкретными множествами (предметов, звуков, движений). Он видит, слышит, чувствует эти множества, имеет возможность практически действовать с ними (на­кладывать, прикладывать, непосредственно сравнивать). Что же касается вычислительной деятельности, то она связана с числами. А числа — это абстрактные понятия. Вычислительная деятельность опирается на разные ариф­метические действия, которые также являются обобщен­ными, абстрагированными операциями с множествами.

Понимание самой простой арифметической задачи требу­ет анализа ее содержания, выделения ее числовых данных, понимания отношений между ними и, конечно, самих дей­ствий, которые должен ребенок выполнить.

Дошкольникам особенно трудно понимать вопрос зада­чи, отражающий математическую сущность действий. Имен­но вопрос задачи направляет внимание ребенка на отноше­ния между числовыми данными.

Обучение дошкольников решению арифметических задач подводит их к пониманию содержания арифметических дей­ствий (добавили — сложили, уменьшили — вычли). А это возможно также на определенном уровне развития аналити-ко-синтетической деятельности ребенка. Для того чтобы они усвоили элементарные приемы вычислительной деятельнос­ти, необходима предварительная работа, направленная на ов­ладение знаниями об отношениях между смежными числами натурального ряда, о составе числа, счете группами и т.д.

Особое значение в формировании вычислительной дея­тельности приобретают четкая системность и поэтапность в работе.

Обучение следует начинать с ознакомления со структу­рой арифметической задачи на основе задач-драматизаций. На одном из занятий воспитатель предлагает выполнить та­кие действия: «Поставить на стол две автомашины и один самолет». Ребенок выполняет задание, т.е. ставит на стол две

202

машины и один самолет. Воспитатель предлагает детям рас­сказать о том, что сделал ребенок. Они говорят, что Саша поставил на стол две машины и один самолет. Воспитатель говорит, что к этому маленькому рассказу я добавляю воп­рос: сколько всего игрушек Саша поставил на стол? Все счи­тают и отвечают: «Три игрушки».

«То, что вы рассказали о действиях Саши, вместе с воп­росом, который задала я, называется арифметической зада­чей. В арифметической задаче есть две части — условие и вопрос». Дети повторяют отдельно условие и вопрос, сами составляют задачи на основе практических действий.

На первых занятиях детям предлагаются задач и-д р а -матизации и задач и-и ллюстрации, в кото­рых требуется найти сумму (на основе объединения мно­жеств) или разность (остаток). При составлении таких задач следует идти от малых чисел к большим (до 10). Сначала одним из числовых данных служит единица. На этих заняти­ях основное внимание уделяется ознакомлению со структу­рой задачи, умению детей выделять числовые данные, уста­навливать связи между ними, называть и выполнять ариф­метические действия сложения и вычитания. Поскольку решение в этот период опирается в основном на восприятие конкретных множеств (предметы, игрушки, картинки), то дети фактически используют счет вместо вычислений. Этот этап в деятельности ребенка закономерный. Однако задача заключается в том, чтобы научить приемам вычислительной деятельности, опираясь на знание отношений между смеж­ными числами натурального ряда, а позднее — количествен­ного состава числа из единиц в пределах десяти.

После нескольких упражнений воспитатель дает опреде­ление арифметической задаче — это маленький рассказ, в котором есть числа, их не менее чем два, в конце такого рассказа ставится вопрос, который требует определения ко­личества. Вопрос начинается словами «Сколько?» или «На сколько?». Итак, в структуре арифметической задачи ребе­нок с помощью воспитателя пока еще выделяет только две части: условие и вопрос.

Ознакомившись со структурой арифметической задачи, дети решают их. С этого момента в массовой практике часто начинается абсолютно свободное составление задач и реше­ние их без учета особенностей, без выделения типов, услож­нения их.

Принципиально важно ознакомить ребенка с разными типами задач, оказать помощь в выявлении специфики, осо-

203

бенностей каждого типа. Именно это вооружает ребенка обоб­щенными способами умственной деятельности, на что в даль­нейшем можно будет опереться при изучении математики в школе.

В системе дальнейшей работы можно выделить несколь­ко этапов в зависимости от типов арифметических задач. Следует подчеркнуть, что термин «типы задач» в работе с детьми не используется, а употребляются такие слова и выражения: подобные, такие же самые, новые, совсем дру­ гие; сравните задачи, которые мы решали на прошлых занятиях, с этими задачами» и т.п.

Первый этап в работе заключается в составлении и реше­нии задач на нахождение суммы и остатка. На этом этапе важно показать детям, как изменяется множество при объе­динении или вычитании частей. Ход рассуждений сначала может идти от условия к вопросу задачи. Например: «К кор­мушке прилетели сначала три птички, потом — еще одна. Сколько всего стало птичек?» Дети вместе с воспитателем рассуждают так: было три птички, потом прилетела еще одна, теперь их стало на одну больше. Эту задачу можно решить сложением (к трем прибавить один). Делается вывод: к кор­мушке прилетели четыре птички.

«В магазине было пять телевизоров, один из них продали. Сколько телевизоров осталось в магазине?» Решая эту задачу, воспитатель учит аргументировать свои действия так: было пять телевизоров, один продали, следовательно, их осталось на один меньше. Чтобы узнать, сколько телевизоров оста­лось, нужно от пяти отнять один и получится четыре.

Воспитатель формирует представления о действиях сло­жения и вычитания, одновременно знакомит их со знаками «+» (прибавить, сложить), «—» (отнять, вычесть) и «=» (рав­но, получится).

Таким образом, ребенок постепенно от действий с конк­ретными множествами переходит к действиям с числами — решает арифметическую задачу.

Уже на втором-третьем занятии наряду с задачами-дра-матизациями и задачами-иллюстрациями можно предлагать детям решать устные (текстовые) задачи. Этот этап работы тесно связан с использованием карточек с цифрами и знаками. Особенно полезны упражнения в самостоятельном составлении аналогичных задач. При этом воспитатель должен помнить, что основное заключается в нахождении не столько ответа (названия числа), сколько в нахождении пути реше­ния. Так, дети решают задачу. «На участке детского сада в пер-

204

вый день посадили четыре дерева, а на следующий — еще одно дерево. Сколько деревьев посадили за два дня?» Вос­питатель учит ребенка мыслить во время решения задачи. Он спрашивает: «О чем идет речь в задаче?» — «О том, что на площадке детского сада посадили деревья». «Сколько деревьев посадили в первый день?» — «Четыре». — «Сколько деревьев посадили во второй день?» — «Одно дерево». — «А что спра­шивается в задаче?» «Сколько всего деревьев посадили на уча­стке за два дня?» — «Как можно узнать, сколько деревьев посадили на участке?» — «К четырем прибавить один».

Воспитатель подводит детей к такому обобщению: чтобы к числу прибавить один (единицу), не надо пересчитывать все предметы, надо просто назвать следующее число. Когда к четырем прибавляем один, мы просто называем следую­щее за числом четыре число пять. А когда надо вычесть, отнять один — следует назвать предыдущее число, стоящее перед ним.

Предлагаем несколько задач первого типа.

1. На ветке сидело пять воробьев. К ним прилетел еще
один воробей. Сколько птичек стало на ветке?

2. Таня и Вова помогали маме. Таня почистила три карто­
фелины, а Вова — одну морковку. Сколько овощей почис­
тили дети?

3. На одной клумбе расцвело пять тюльпанов, на дру­
гой — один пион. Сколько цветов расцвело на обеих клум­
бах вместе?

Если с первых шагов обучения дети осознают необхо­димость, значение анализа простых задач, то позднее это поможет им в решении сложных математических задач. Ак­тивность умственной деятельности ребенка во многом за­висит от умения воспитателя ставить вопросы, побуждать его мыслить. Так, воспитатель спрашивает у детей: «О чем следует узнать в задаче? Как можно ответить на вопрос? Почему ты считаешь, что надо сложить? Как ты приба­вишь к четырем единицу?»

Следующий этап в работе связан с ознакомлением детей с новыми задачами: на отношения больше (меньше) на не­сколько единиц. В этих задачах арифметические действия как бы подсказаны в самом условии задачи. Отношение «больше на единицу» требует от ребенка увеличения, присчитыва­ния, сложения. Выражение «больше (меньше) на единицу» дети усваивают при сравнении смежных чисел. При этом акцентировать внимание на отдельных словах больше, мень­ше и ориентировать их на выбор арифметического действия

205

только в зависимости от этих слов не рекомендуется. По­зднее при решении «не прямых, косвенных» задач возника­ет потребность переучивать, а это намного сложнее, чем на­учить правильно делать выбор арифметического действия. Предлагаем несколько задач второго типа.

1. В Машину чашку с чаем мама положила две ложки
сахара, а в большую чашку папы — на одну ложку сахара
больше. Сколько сахара положила мама в чашку папы?

2. На станции стояли четыре пассажирских поезда, а то­
варных — на один меньше. Сколько товарных поездов было
на станции?

3. Дети собрали на огороде три ящика помидоров, а огур­
цов — на один меньше. Сколько ящиков огурцов собрали
дети?

В группе детей седьмого года жизни в начале работы вос­питатель предлагает только прямые задачи, в них вопрос как бы подсказывает, какое действие следует выполнить — сложение или вычитание.

Шестилеткам необходимо предлагать сравнивать задачи разных типов, хотя это для них довольно сложное дело, поскольку они не видят текста, а обе задачи необходимо удерживать в памяти. Основным критерием сравнения явля­ется вопрос. В вопросе подчеркивается, что нужно опреде­лить только количество второго множества, которое больше (меньше) на один, или общее количество (остаток, разни­цу). Арифметические действия одинаковые, а цель разная, что способствует развитию мышления. Воспитатель посте­пенно подводит детей к пониманию этого.

Еще более важный и ответственный этап в обучении детей решению арифметических задач — ознакомление их с третьим типом задач на разностное сравнение чисел. За­дачи этого типа решаются только вычитанием. При озна­комлении с этим типом задач внимание обращается на основное — вопрос в задаче. Вопрос начинается со слов «на сколько?», т.е. всегда необходимо определить разницу, раз­ностные отношения между числовыми данными. Воспита­тель учит детей понимать отношения зависимости между чис­ловыми данными. Анализ задачи должен быть более деталь­ным. Во время анализа дети должны идти от вопроса к условию задачи. Следует объяснить, что в выборе арифмети­ческого действия основным всегда является вопрос задачи, от его содержания и формулировки зависит решение. Поэто­му следует начинать с анализа вопроса. Сначала детям пред­лагают задачу без вопроса. Например: «На прогулку дети взя-

206

ли четыре больших мяча и один маленький. Что это такое? Можно ли это назвать арифметической задачей?» — спраши­вает воспитатель. «Нет, это только условие задачи», — отвеча­ют дети. «А теперь поставьте сами вопрос к этой задаче».

Следует подвести к тому, что к условию этой задачи можно поставить два вопроса: сколько всего мячей взяли на прогул­ку? На сколько больше взяли больших мячей, чем малень­ких? В соответствии с первым вопросом следует выполнить сложение, а в соответствии со вторым — вычитание. Это убеж­дает в том, что аначиз задачи следует начинать с вопроса. Ход рассуждений может быть таким: чтобы узнать, сколько всего мячей взяли на прогулку, надо знать, сколько взяли больших и маленьких отдельно и найти общее их количество. Во втором случае надо найти, на сколько больше одних мя­чей, чем других, т.е. определить разницу. Разницу всегда на­ходят вычитанием: от большего числа вычитают меньшее.

Итак, задачи третьего типа помогают воспитателю закре­пить знания о структуре задачи и способствуют развитию умения различать и находить соответствующее арифметичес­кое действие.

На этих занятиях не механически, а более или менее осоз­нанно дети выполняют действия, аргументируют выбор ариф­метического действия. Задачи этого типа также следует срав­нивать с задачами первого и второго типов.

Вычислительная деятельность в дошкольном возрасте предполагает овладение арифметическими действиями сло­жения и вычитания, относящимися к операционной си­стеме математики и подчиняющимися особым законо­мерностям операционных действий. Сложение и вычита­ние тесно связаны со счетом, пониманием состава числа из единиц и двух меньших чисел, делением целого на части. Так, на рисунке 28 представлены отношения между числовыми данными, подводящие к выбору арифмети­ческого действия.

Арифметические действия сложения и вычитания явля­ются средством выполнения практических операций объеди­нения и разъединения совокупностей и действий опосредо­ванного сравнения. Арифметическая задача — основная фор­ма выражения деятельности такого рода.

Чтобы дети лучше запоминали числовые данные, исполь­зуются карточки с цифрами, а впоследствии и знаки.

Вначале числовые данные в задачах лучше ограничить пер­выми пятью числами натурального ряда. Дети в таких случа­ях, как правило, легко находят ответ. Основная цель этих

207

занятий — научить анализировать задачу. Дети учатся выде­лять структурные компоненты задачи, числовые данные, аргументировать арифметические действия.

Особое внимание в этот период следует уделить обуче­нию детей составлению и решению задач по иллюстраци­ям и числовым примерам.

Составление и решение арифметических задач по число­вому примеру требует сложной умственной деятельности, поскольку содержание задачи не может быть произвольным, а опирается на числовой пример как на схему.

Например, воспитатель говорит: «Сейчас мы с вами бу­дем составлять и решать задачи по картине». При этом при­влекается внимание к картине, на которой изображена реч­ка, на берегу играют пять ребят, а двое в лодках плывут к берегу. Предлагается рассмотреть картину и ответить на воп­рос: «Что нарисовано на картине? О чем хотел рассказать художник? Где играют дети? Сколько ребят на берегу? Что делают эти дети (показывает на детей в лодке)? Сколько их? Когда они выйдут на берег, их станет больше или меньше? Составьте задачу по этой картинке».

Воспитатель вызывает двух-трех ребят и выслушивает со­ставленные ими задачи. Потом выбирает наиболее удачную задачу, и все вместе решают ее. «О чем идет речь в задаче? Сколько детей играли на берегу? Сколько детей приплыло в лодке? Что надо сделать, чтобы решить задачу? Как к числу пять можно прибавить число два?» 5+1+1=7.

Воспитатель следит за тем, чтобы правильно формулиро­валось арифметическое действие и объяснялся прием при­считывания по единице.

Аналогично составляют и решают другие задачи. В кон­це занятия воспитатель, подводя итог, спрашивает, чем занимались на занятии, уточняет ответы: «Правильно, мы учились составлять и решать задачи, выбирать соответ­ствующее действие, прибавлять и вычитать число два пу­тем присчитывания и отсчитывания по единице».

Примерно так же дети составляют и решают задачи по числовому примеру. Вначале обращают внимание на само действие. В соответствии с действием (сложение или вычита­ние) составляются условие и вопрос к задаче. Можно услож­нить цель — не по каждому числовому примеру составляется новая задача, иногда по одному и тому же примеру состав­ляются несколько задач разных типов. Это, естественно, зна­чительно сложнее, зато наиболее эффективно для умствен­ного развития ребенка.

208

Так, по числовому примеру 4+2 дети составляют и реша­ют две задачи: первую — на отношение больше на несколько единиц (на 2) и вторую — на нахождение суммы (сколько всего). При этом ребенок должен осознавать отношения и зависимости между числовыми данными.

На основе примера 4—2 они должны составить три задачи: первого, второго и третьего типа. Сначала вос­питатель помогает вопросами, предложениями: «Сей­час мы составим задачу, где будут слова — на два мень­ ше, а потом по этому самому примеру составим задачу, где не будет таких слов, и нужно будет определить раз­ницу в количестве (сколько осталось). — А потом вос­питатель спрашивает: «А можно ли на основе этого при­мера составить новую, совсем другую задачу?» Если дети сами не могут сориентироваться, то воспитатель под­сказывает им: «Составьте задачу, где вопрос начинался бы со слов на сколько больше (меньше)».

Такие занятия помогают понять основное — арифмети­ческие задачи по своему содержанию могут быть разными, а математическое выражение (решение) одинаковое. В этот пе­риод обучения большое значение имеет «развернутый» спо­соб вычисления, активизирующий умственную деятельность ребенка. Накануне воспитатель повторяет количественный состав числа из единиц. Потом предлагает прибавлять число 2 не сразу, а присчитывать сначала 1, потом еще 1. Включение развернутого способа в вычислительную деятельность обес­печивает развитие логического, при этом способствуя усвое­нию сущности этой деятельности.

После того как у детей сформируются представления и некоторые понятия об арифметической задаче, отношениях между числовыми данными, между условием и вопросом за­дачи, можно переходить к следующему этапу в обучении — ознакомлению с преобразованием прямых задач в обратные. Это даст возможность еще глубже усвоить математическую формулу задачи, специфику каждого типа задач. Воспитатель объясняет, что каждую простую арифметическую задачу мож­но преобразовать в новую, если искомое задачи взять за одно из данных новой задачи, а одно из данных преобразованной задачи считать искомым в новой задаче.

Такие задачи, где одно из данных первой задачи является искомым во второй, а искомое второй задачи входит в данные первой, называются взаимообратными задачами.

Итак, из каждой прямой арифметической задачи путем преобразования можно сделать две обратные задачи.

209

8 Заказ 1392

Если дети при решении задач с первых шагов будут ори­ентироваться на существенные связи и отношения, то слова стало, осталось и другие не дезориентируют их. Независимо от этих слов они правильно выберут арифметическое дей­ствие. Более того, именно на этом этапе педагог должен об­ратить внимание на независимость выбора решения задачи от отдельных слов и выражений.

Ознакомление с прямыми и обратными задачами по­вышает познавательную активность, развивает способ­ность логически мыслить. При решении любых задач дети должны исходить из вопроса задачи. Взрослый учит ре­бенка аргументировать свои действия, в данном случае аргументировать выбор арифметического действия. Ход мыслей при этом может идти по схеме: «Чтобы узнать..., нам необходимо..., потому что...» и т.д.

В группе детей седьмого года жизни можно ознакомить с новыми приемами вычислений — на основе счета груп­пами. Дети, научившись считать парами, тройками, мо­гут сразу прибавлять число 2, а потом и 3. Однако спешить с этим не следует. Важно, чтобы у них сформировались прочные, достаточно осознанные умения и навыки при­считывания и отсчитывания по единице.

В современных исследованиях по методике математичес­кого развития есть некоторые рекомендации к формирова­нию обобщенных способов решения арифметических задач. Один из таких способов — решение задач по схеме-формуле. Это положение обосновано и экспериментально проверено в исследованиях Н.И.Непомнящей, Л.П.Клюевой, Е.А.Тар-хановой, РЛ.Непомнящей. Предложенная авторами форму­ла — это схематическое изображение отношения части и целого (рис. 29). Целое в данном случае — круг. Работой, предшествующей этому этапу, является практическое де­ление предмета (круга, квадрата, полоски бумаги) на ча­сти. То, что дети делают практически, воспитатель потом изображает в схеме-формуле. При этом он рассуждает так: «Если круг поделить пополам, то получатся две половины. Если эти половины сложить, то образуется снова целый

Рис.29