Методи рішення задач надійності.

Розрахунок показників надійності.

Основні положення.

 

Основні характеристики надійності промислових виробів, такі як час безвідмовної роботи, час відновлення, величина зносу, число відмовлень за визначений час, час працездатності і т.п. є випадковими величинами.

Для одного виробу неможливо пророчити, скільки часу воно безвідмовно.проробить. Але для великої кількості однакових виробів на підставі попередньої інформації про безвідмовну роботу таких виробів можна заздалегідь указати відсоток виробів, для яких час безвідмовної роботи буде дорівнює заданому.

Порушення справності всього чи виробу окремих його елементів називається ушкодженням, а порушення працездатності виробу – відмовленням.

Відмовлення поділяються на поступові (зносні), раптові, конструкційні, виробничі й експлуатаційні, відмовлення функціонування і параметричні відмовлення. При відмовленні функціонування автомобіль не може виконувати свої функції унаслідок виникнення однієї чи декількох несправностей. У випадку параметричних відмовлень відбувається вихід окремих параметрів за припустимі межі. Параметричні відмовлення можуть в остаточному підсумку привести до відмовлення функціонування. Відмовлення також поділяються на фактичні і потенційні. Потенційні відмовлення це такі, котрі запобігаються завчасним виконанням технічних впливів.

Фізичні і імовірностні моделі виникнення більшості відмовлень представимо в такий спосіб. Виникнення відмовлень зв'язане з властивостями виробу, що визначають його міцність і зносостійкість, і енергією (навантаженням), що повідомляється об'єкту протягом усього його існування і перетвориться в енергію іншого виду (наприклад, механічна енергія тертя в теплову). В міру нагромадження енергії поступово змінюються фізико-хімічні властивості об'єкта і міцність (зносостійкість) падає.

Якщо міцність об'єкта протягом визначеного інтервалу часу перевищує навантаження, що прикладаються, виникнення відмовлень при цьому виключається. Якщо міцність (зносостійкість) знижується настільки, що навантаження, що прикладається, перевищує її, настає відмовлення. Інтервал між відмовленнями характеризує тривалість роботи виробу. Таким чином, знаючи закономірність зміни міцності, характер і значення прикладеного навантаження, можна з визначеною точністю обчислити момент виникнення відмовлення.

Відмовлення, що виникають у результаті поступового нагромадження енергії (чи ушкоджень), називаються поступовими. Ця група відмовлень поєднує відмовлення, що відбулися внаслідок усталостного руйнування і зміни геометрії об'єкта в результаті зношування. Тому поступові відмовлення надалі будемо називати зносними. Якщо відома закономірність нагромадження енергії (ушкоджень, износов) і маються засоби для виміру цього нагромадження, можна здійснювати статистичні й інструментальні прогнозування виникнення зносних відмовлень. Прогнозовані відмовлення можуть бути відвернені методами профілактичного обслуговування і попереджувального ремонту агрегатів автомобіля.

При дослідженні надійності і визначенні термінів служби машин застосовуються різні статистичні моделі (закони розподілу) випадкових величин. Дослідженнями встановлено, що стосовно до автомобілів можна прийняти наступну поширеність різних законів розподілу випадкових величин: Вейбулла – 55-60%, нормальне (Гаусса) –35-40%, експонентне і логнормальне – 4-6%.

Маючи емпіричну щільність розподілу (гістограму), за допомогою математичних методів знаходимо статистичну модель (закон розподілу) випадкових величин. Можна також вирішити зворотну задачу: по статистичній моделі визначити характеристики надійності виробу, імовірність появи відмовлень і інші показники. При виборі закону розподілу недостатньо однієї формальної подібності гістограми з законом розподілу. Необхідно також враховувати фізику явища, тобто прагнути до розгляду повної моделі відмовлень.

Методи рішення задач надійності.

 

Сутність методів розрахунку машин на надійність зводиться до визначення однієї чи декількох кількісних характеристик надійності машин. Так, на підставі розрахунку машини і її елементів на надійність визначають імовірність безвідмовної роботи, коефіцієнт технічної готовності, коефіцієнт технічного використання і т.д. Аналіз цих показників дозволяє зробити шляху підвищення надійності машин. При цьому не всі показники надійності можна розрахувати, деякі з них визначаються експериментально. Вихідними даними для розрахунку є дані по конструкції елементів виробів, застосовуваним матеріалам, режимам роботи, умовам експлуатації й інших параметрів, що визначають працездатність машини.

Більшість транспортних машин працює в різних зонах у нестаціонарних режимах навантаження; робота ряду їхніх систем відбувається в умовах сильної запилення і, температурних коливань, агресивних середовищ. Це виробу багаторазової дії з регламентованим циклом роботи і простоїв (сезонна робота, інтенсивність повітряного руху і т.п.). Будучи ремонтуємими (відновлюваними) виробами з постійною структурою, транспортні машини працюють до граничного стану, обговореного діючої нормативно-технічною документацією. В умовах експлуатації ці машини працюють з ТЕ й в умовах збереження – без нього. Домінуючим фактором при оцінці наслідків відмовлення є економічні втрати.

Імовірність безвідмовної роботи машини Р(Т) при спільній дії зносних і раптових відмовлень може бути підрахована по формулі, що була знайдена з урахуванням теореми множення.

 ,

де Р(Т) – імовірність безвідмовної роботи машини за деякий період часу;

Р_и(Т) і Р_в(Т) – імовірність безвідмовної роботи при зносних і раптових відмовленнях.

Метод моментів. Сутність методу полягає в тому, що моменти розподілу, що залежать від невідомих параметрів, прирівнюються емпіричним моментам. З огляду на, що початковий (емпіричний) момент k-го порядку визначається по формулі

 ,

а центральний по формулі

 ,

для функції розподілу визначають стільки моментів, скільки параметрів невідомо, і дорівнюють їхнього вираження відповідним емпіричним моментам. Наприклад, для гамма-розподілу початковий момент v₁ дорівнює

 .

Виконавши підстановку в=βx і з огляду на, що Г(n) =(n–1)!, одержимо

 .

Після аналогічних перетворень, знаходимо .

Дорівнюючи емпіричні значення середнього  і дисперсії σ² обчисленим значенням v₁ і μ₂, одержимо ; .

Для деяких законів розподілу (нормального, експонентного, Релея) оцінки параметрів, знайдених методом найбільшої правдоподібності і методом моментів, збігаються.

Основними недоліками методу моментів є, по-перше, неможливість застосування для обробки усічених і багаторазово усічених вибірок, тому що емпіричні моменти визначаються тільки по повних вибірках; по-друге, для деяких законів розподілу оцінки параметрів не є найкращими з погляду їхньої ефективності.

Метод квантілей. Під х_р -квантілем розуміється таке значення аргументу, що відповідає заданої імовірності Р функції розподілу F(х), тобто .

Сутність методу полягає в тому, що квантілі теоретичного розподілу прирівнюються емпіричним квантілям, причому складається число рівнянь рівне кількості невідомих параметрів.

Проілюструємо метод на прикладі функції розподілу Вейбулла. Вибравши два наробітки L₁ і L₂ (L₁ < L₂) відповідні накопиченим частотам r₁ і r₂, записуємо шукані рівняння у виді:

 ; .

Із системи рівнянь знаходимо

 ,

 .

Метод квантілей може бути використаний при перебуванні параметрів усіченої вибірки, при цьому r₁ < r₂ < r, де r – кількість виробів, що відмовили.

Метод статистичного моделювання. Метод статистичного моделювання застосовується для рішення задач надійності при чи відсутності складності аналітичних рішень. Він полягає в тім, що вибирають значення незалежних перемінних з ряду випадкових чисел, а потім з ними роблять дії відповідно до функціональної залежності. Кожний з отриманих результатів розглядають як випадкову реалізацію розглянутої функції. По цих реалізаціях, попередньо представивши їх у виді варіаційного ряду, тобто упорядкованої послідовності чисел від меншого до більшого, звичайними методами математичної статистики визначають вид і параметри досліджуваної функції. Кількість реалізації N вибирають з умови одержання помилки обчислень не вище заданої. Помилка, як правило, зменшується обратно пропорційно .

В даний час для одержання рівномірно розподілених випадкових чисел використовують спеціальні генератори випадкових чисел і таблиці випадкових чи чисел обчислюють псевдовипадкові числа.

Таблиця 9.

10	09	73	25	33	76	52	01	35	86	34	67	35	48	76	80	95	90	91	17
37	54	20	48	05	64	89	47	42	96	24	80	52	40	37	20	63	61	04	02
08	42	26	89	53	19	64	50	93	03	23	20	90	25	60	15	95	33	47	64
99	01	90	25	29	09	37	67	07	15	38	31	13	11	65	88	67	67	43	97
12	80	79	99	70	80	15	73	61	47	64	03	23	66	53	98	95	11	68	77
66	06	57	47	17	34	07	27	68	50	36	69	73	61	70	65	81	33	98	85
31	06	01	08	05	45	57	18	24	06	35	30	34	25	14	86	79	90	74	39
85	26	97	76	02	02	05	16	56	92	68	66	57	48	18	73	05	38	52	47
63	57	33	21	35	05	32	54	70	48	90	55	35	75	48	28	46	82	87	09
73	79	64	57	53	03	52	96	47	78	35	80	83	42	82	60	93	52	03	44
98	52	01	77	67	14	90	56	86	07	22	10	94	05	58	60	97	09	34	33
11	80	50	54	31	39	80	82	77	32	50	72	56	82	48	29	40	52	42	01
83	45	29	96	34	06	28	89	80	83	13	74	67	00	78	18	47	54	06	10
88	68	54	02	00	86	50	75	84	01	36	76	66	79	51	90	36	47	64	93
99	59	46	73	48	87	51	76	49	69	91	82	60	89	28	93	78	56	13	68
65	48	11	76	74	17	46	85	09	50	58	04	77	69	74	73	03	95	71	86
80	12	43	56	35	17	72	70	80	15	45	31	82	23	74	21	11	57	82	53
74	35	09	98	17	77	40	27	72	14	43	23	60	02	10	45	52	16	42	37
69	91	62	68	03	66	25	22	91	48	36	93	68	72	03	76	62	11	39	90
09	89	32	05	05	14	22	56	85	14	46	42	75	67	88	96	29	77	88	22
91	49	91	45	23	68	47	92	76	86	46	16	28	35	54	94	75	08	99	23
80	33	69	45	98	26	94	03	68	58	70	29	73	41	35	53	14	03	33	40
44	10	48	19	49	85	15	74	79	54	32	97	92	65	75	57	60	04	08	81
12	55	07	37	42	11	10	00	20	40	12	86	07	46	97	96	64	48	94	39
63	60	64	93	29	16	50	53	44	84	40	21	95	25	63	43	65	17	70	82
61	19	69	04	46	26	45	74	77	74	51	92	43	37	29	65	39	45	95	93
15	47	44	52	66	95	27	07	99	53	59	36	78	38	48	82	39	61	01	18
94	55	72	85	73	67	89	75	43	87	54	62	24	44	31	91	19	04	25	92
42	48	11	62	13	97	34	40	87	21	16	86	84	87	67	03	07	11	20	59
23	52	37	83	17	73	20	88	98	37	68	93	59	14	16	26	25	22	96	63
04	49	35	24	94	75	24	63	38	24	45	86	25	10	25	61	96	27	93	35
00	54	99	76	54	64	05	18	81	59	96	11	96	38	96	54	69	28	23	91
35	96	31	53	07	26	89	80	93	54	33	35	13	54	62	77	97	45	00	24
59	80	80	83	91	45	42	72	68	42	83	60	94	97	00	13	02	12	48	92
46	05	88	52	36	01	39	09	22	86	77	28	14	40	77	93	91	08	36	47

Генератори випадкових чисел найчастіше засновані на вимірі рівня шуму електронних чи ламп випромінювання радіоактивних речовин. До генераторів випадкових чисел може бути віднесена і рулетка.

Таблиці випадкових чисел приведені в багатьох книгах по математичній статистиці.

Випадкові числа Y із заданим законом розподілу х=1–F(y)=P(у), якщо існує функція в=Р^-1(х), зворотна Р(у), одержують по випадкових числах, рівномірно розподіленим в інтервалі [0;1]. Підставляючи в останню формулу значення X, рівномірно розподілені в інтервалі [0;1], одержуємо сукупність чисел Y, розподілених за законом Р(у).

Зокрема, для закону Вейбулла  маємо зворотну функцію

 ,

де Р(t) позначене через х. При γ=1 закон Вейбулла перетворюється в експонентний . Зворотна функція в цьому випадку спрощується

 .

Приклад. Потрібно одержати десять випадкових чисел (N =10), розподілених за законом Вейбулла з параметрами γ=2, t₀=1.

Рішення. При заданих параметрах з вираження одержуємо

 .

В отриману формулу замість х підставляємо послідовно 10 випадкових чисел, рівномірно розподілених у відрізку [0,1]. Ці числа, узяті підряд з табл.9 з додаванням перед комою нуля й округлені до третього знака після коми, приведені в другому рядку табл.10. У третьому рядку містяться результати обчислень, у четвертої результати розташовані у варіаційний ряд, а в п'ятої приведені статистичні оцінки імовірностей того, що час безвідмовної роботи t перевищить значення t_i:

Таблиця 10.

1	j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	X	0,101	0,765	0,347	0,810	0,375	0,649	0,248	0,206	0,084	0,196
3	t	1,154	0,517	1,029	0,459	0,990	0,701	1,234	1,257	1,574	1,276
4	ti	0,459	0,517	0,701	0,9901	1,029	1,234	1,257	1,276	1,514	1,574
5	P(ti)	0,909	0,818	0,727	0,636	0.545	0,454	0,364	0,273	0,182	0,091

 

Відповідність отриманих чисел t_i закону Вейбулла з параметрами γ=2, t₀=1.