Глава 4. Колебания и волны

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

 

Механические колебания – периодически повторяющиеся движения точки в 2-х противоположных направлениях.

Период – промежуток времени, в течение которого система совершает одно полное колебание:

, где N – число полных колебаний за время t.

Частота – число колебаний в единицу времени:

, , .

Циклическая частота:

, .

Гармонические колебания – колебания, которые происходят по закону синуса (косинуса):

x = x_mcos (ωt + φ ₀), где

x – смещение тела от точки равновесия,

x_m – амплитуда колебаний (максимальное смещение),

φ₀ – начальная фаза,

(ω t + φ ₀) – фаза колебания.

Скорость   при φ₀=0

υ=x´=-ωx_msinωt.

Ускорение  при φ₀=0

a=υ´=-ω²x_mcosωt.

Свободные колебания – это колебания в системе под действием внутренних сил.

Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити.

Период колебаний математического маятника:

, где l – длина маятника.

Период колебания пружинного маятника:

, где k – жёсткость пружины.

Вынужденные колебания – колебания, возникающие под действием периодически меняющейся внешней силы.

Механические волны – распространяющиеся колебания в упругой среде с течением времени.

Скорость волны – расстояние, которое за единицу времени проходит любая точка волновой поверхности.

Длина волны – расстояние, на которое волна распространяется за период:

λ=νT, [λ] =1м.

Контрольные вопросы

1. В каком положении на колеблющееся тело действует наибольшая возвращающаяся сила. Максимуму потенциальной или кинетической энергии они соответствуют.

2. Чем отличаются собственные колебания от свободных?

3. Что можно сказать о числовом значении скорости и ускорения в крайних положениях колеблющейся точки.

4. Колебание маятника в чесах относится к незатухающим. Чем это объясняется?

5. При каком условии возникает механический резонанс?

6. На Луне ускорение свободного падения в 6 раз меньше, чем на Земле. Как измениться период колебания математического маятника, если его перенести с Земли на Луна?

 

 

Примеры решения задач

Задача 1. Сколько колебаний совершает математический маятник длиной 4,9м за время 5мин?

Дано: l =4,9м t=5мин	СИ:   3×102с
n -?

                           Решение:

Период колебаний определяется по формуле

Искомое число колебаний находим из отношения

                                           

                                           

Задача 2. Вертикально подвешенная пружина растягивается прикрепленным к ней грузом на величину D l =0,8см. Чему равен период свободных колебаний груза?

Дано: D l= 0,8см	СИ: 8×10-3м
T -?

                       Решение:

Период колебаний груза, прикрепленного к пружине, определяется формулой

На груз действует сила тяжести F _Т. и сила упругости F _{упр .} Условие равновесия груза – равенство сил по модулю: F _Т.= F _{упр .,} или

mg = k D l, отсюда

Следовательно,                          

 

Задача 3. Груз, прикрепленный к пружине, колеблется на горизонтальном гладком стержне. В некоторый начальный момент времени груз смещают от положения равновесия на 10см и отпускают. Определить координату груза через 1/8 периода колебаний.

Дано: xm=10м	СИ: 0,1м
x -?

Решение:

Зависимость координат груза от времени выражается

x = x_mcos × t,

поскольку  и , то ;

Задача 4. Пользуясь графиком (рис.), запишите уравнение гармонических колебаний груза, закрепленного на пружине.

Решение:

Уравнение гармонических колебаний имеет вид: x = x_m sin w t

По графику зависимости x (t) определяем, что амплитуда колебаний 0,2 м.

Для нахождения циклической частоты используем формулу ;  

Тогда уравнение запишем x =0,2 sin 10 p t

Упражнения

 

1. Составить уравнение колебаний математического маятника, длина которого 2,45м, а амплитуда колебаний 10см.

                                                                                         Ответ: x=0,1 sin2t.

2. Колебание точки описывается уравнением x=0,05 cos20πt. Определить скорость точки через 1/60с после начала движения.

                                                                                         Ответ: -2,7м / с.

3. Определить ускорение свободного падения в некоторой местности, если нитяной маятник длиной 40см колеблется с той же частотой, что и пружинный массой 2000г на пружине с жёсткостью 49,1Н/м.

                                                                                         Ответ: 9,82м / с².

4. К пружине динамометра подвесили груз, при этом указатель опустился на 2,5см. Какой будет частота колебания груза на этой пружине, если его вывести из состояния равновесия?

                                                                                         Ответ: 3,2Гц.

5. Координата груза маятника изменяется по закону . Изобразить колебания графически.

6. Один из маятников совершил 10 колебаний, а другой за то же время 6. Найти длину каждого маятника, если разность их длин 20см.

                                                                                            Ответ: 11,25см, 31,25см.

Самостоятельно

7. Записать уравнение гармонических колебаний по следующим данным: амплитуда 20см, начальная фаза π/4, частота колебаний 1Гц.

                                                                                        Ответ:

8. Как относятся длины двух математических маятников, если за одно и тоже время один совершил 10 полных колебаний, а второй 20?

                                                                                         Ответ: l₁/l₂=4.

9. За какое время маятник отклонится от положения равновесия на половину амплитуды, если период его колебаний 3,6с?

                                                                                         Ответ: 0,3с.

10. Груз, массой 1000г, подвешен на пружине жёсткостью 0,1кН/м и совершает колебания с амплитудой 10см. Написать уравнение этих колебаний.

                                                                                         Ответ: x=0,1 sin10t.

11. Чему равна максимальная величина ускорения точки, движение которой описывается уравнением .

                                                                                         Ответ: 0,2м / с².

12. * Если к некоторому грузу, колеблющемуся на пружине, подвесить гирю 100г, то частота колебаний уменьшится в 1,4 раза. Какой массы груз был подвешен первоначально?

                                                                                         Ответ: 100г.