Расчёт конических зубчатых колёс.

  Расчёт конических зубчатых колёс целесообразно выполнять, ориентируясь на зависимости, приведенные в главе 7 для цилиндрических колёс.

 Расчёт контактных напряжений допускается выполнять по упрощенной формуле:                            

Рис. 8.1

,      (8.1)

где R – среднее конусное расстояние (R = R_e – 0,5 b;R_e – внешнее конусное расстояние); коэффициент нагрузки К_Н принимается таким же, как и для цилиндрических прямозубых передач, при условии, что степень точности конических колёс на единицу выше, чем цилиндрических; Т₂ – вращающий момент на колесе, Нмм; b – ширина зубчатого венца.

 Проектировочный расчёт начинают с определения внешнего делительного диаметра колеса:     .                           (8.2)

Для прямозубых передач K_d =99, для колёс с круговыми зубьями K_d =86.

Дальнейший расчёт выполняют по формулам табл. 8.1.

Параметры	Обозначение	Формула
Внешний делительный диаметр		(8.2)
Внешнее конусное расстояние
Ширина зубчатого венца	b
Среднее конусное расстояние	R
Средний окружной модуль	m
Средний делительный диаметр	d	d=mz
Угол делительного конуса		;
Внешняя высота зуба
Внешняя высота головки зуба
Внешняя высота ножи зуба
Угол головки зуба
Угол ножки зуба
Внешний диаметр вершин

 

                                                                                                             Таблица 8.1.

         Формулы расчёта геометрии прямозубых конических колёс.

 

Полный расчёт конических колёс с круговыми зубьями приведен в источнике

[14 с.51–53].

Полученные по формуле (8.2) значения d_{e 2} округляют (в мм) по ГОСТ12289-76:

50; (56); 63; (71); 80; (90); 100; (112); 125; (140); 160; (180); 200; 250; 280; 315; 355; 400; 450; 500; 560; 630; 710; 800; 900; 1000; 1120; 1250; 1400; 1600. Предпочтительными являются значения без скобок.

Номинальные значения передаточных чисел   u желательно округлить по

ГОСТ12289-76:

 1; (1,12); 1,25; (1,40); 1,6; (1,8); 2; (2,24); 2,5; (2,8); 3,.15; (3,55); 4,0; (4,5); 5,0; (5,6); 6,3.

 Предпочтительными являются значения без скобок. Фактические отклонения не должны превышать 3%.

 Коэффициент ширины зубчатого венца Ψ_bRe = b / R_e при проектировании редукторов рекомендуется принимать Ψ_bRe = 0,285.

Коэффициент К_{Н β} принимают предварительно для колёс с твёрдостью поверхности зубьев НВ менее 350 от 1,2 до 1,35; при твёрдости НВ более 350 от 1,25 до 1,45. (см. гл. 7)

Далее при проверочном расчёте значение коэффициента нагрузки уточняют.

 Число зубьев шестерни рекомендуется выбирать z ₁ = 18–32.

 Число зубьев колеса   z ₂ = z ₁ u.

Так как найденные значения числа зубьев округляют до целого, то необходимо затем уточнить передаточное число u = z ₂ / z ₁ и угол δ₂ = ar с tq u.

 Внешний окружной модуль m_e округлять не обязательно.

Проверку зубьев конических прямозубых колёс на выносливость по напряжениям изгиба выполняют по формуле:                                (8.3)

 Здесь F_t – окружная сила, которую считают приложенной по касательной к средней делительной окружности: F_t = 2 T ₂  / d ₂; K_F – коэффициент нагрузки при расчёте на изгиб, выбираемый так же, как и для цилиндрических колёс.  

Υ _F – коэффициент формы зуба (см. гл. 7), выбираемый в зависимости от эквивалентного числа зубьев (для косозубых передач);   ≈ 0,85 – коэффициент понижения несущей способности конических передач по сравнению с цилиндрическими;    m – средний расчётный модуль зацепления. Допускаемое напряжение [ σ_F ] выбирают так же, как и для цилиндрических передач (см. гл. 7). Расчёт ведут, как и для цилиндрических передач, по тому колесу, для которого отношение [ σ _F ] / Υ_F меньше.

 

Расчёт червячных передач

   

Червячные передачи применяют в случаях, когда геометрические оси ведущего и ведомого валов перекрещиваются (обычно под прямым углом). По форме червяка различают передачи с цилиндрическими и с глобоидными (вогнутыми) червяками. Первые, в свою очередь, подразделяются на передачи с архимедовыми, конволютными и эвольвентными червяками. Здесь рассмотрены только передачи с архимедовыми червяками (в осевом сечении профиль витка трапецеидальный; в торцовом сечении витки очерчены архимедовой спиралью).

Червячные передачи выполняют в виде редукторов, реже – открытыми.

Передаточное отношение червячной передачи: u = z₁ / z_2,  где z₁ – число витков (заходов) червяка; z₂ – число зубьев червячного колеса.

По ГОСТ 2144-76 (передачи червячные цилиндрические предусмотрено два ряда передаточных чисел  u  в пределах 8–80, осуществляемых при  z₁ = 1–2,

или 4 (червяки с  z₁ = 3 в ГОСТ не включены) и  z₂ = 30 … 80:

            1-й ряд: u = 8; 10; 12,5; 16; 20; 25; 31,5; 40; 50; 63; 80;

            2-й ряд:  u = 9; 11,2; 14; 18; 22,4; 28; 35,5; 45; 56; 71.

Первый ряд следует предпочитать второму. Отклонение фактического   u  от стандартного допускается не более 4%.

С увеличением числа витков  z₁  возрастает угол подъёма витка червяка и повышается КПД передачи. Применение однозаходных червяков без крайней необходимости не рекомендуется. Рекомендуют назначать z₁ = 4 при  u = 8 –15,  z₁ = 2 при  u = 15 – 30,  и  z₁ = 1 при   u > 30.

В ряде случаев целесообразно провести параллельно два расчёта передачи при разных числах зубьев колеса и заходов червяка и затем уже, исходя из полученных габаритов и КПД передачи, выбрать оптимальный вариант. Например, при u = 16 следует произвести расчёты, принимая:  z₁ = 2; z₂ = 32   и

 z₁ = 4,   z₂ = 64 (в учебных проектах можно допустить z₁ = 3 и z₂ = 48).

      1. Основные параметры передачи

Ниже рассмотрены передачи без смещения с архимедовым червяком, имеющим угол профиля в осевом сечении  а = 20°. Основные параметры передач даны в табл. 9.1.

Червяк. Обозначения основных размеров червяка приведены на рис. 9.1 Связь между расчетным шагом червяка р_1, модулем m и ходом витка червяка p_zl выражается формулой:             

                                                  p₁ = πm = p_z1 /z_1.                                                                 (9.1)

Применять червяки с левым направлением нарезки без специальных оснований не следует. Делительный диаметр червяка, совпадающий в некорригированных передачах с начальным диаметром, берут кратным осевому модулю червяка:                                     d ₁ = d_ω = qm_n,                                                     (9.2)

где: q = d ₁ / m – коэффициент диаметра червяка.  

Делительный угол подъёма витка червяка γ связан с   z ₁ и   q соотношением

                                                  tq γ = z ₁ / q.                                                   (9.3)

С увеличением q увеличивается жёсткость червяка, но уменьшается угол подъёма и снижается КПД передачи. Поэтому целесообразно ориентироваться на минимальные значения q, однако с обеспечением достаточной жёсткости.

При больших z ₂ возрастает расстояние между опорами червяка. Для обеспечения достаточной жёсткости червяка приходится увеличивать q   или m.

Диаметр вершин червяка                d _{a 1} = d ₁ + 2 m = m (q + 2).                (9.4)

Диаметр впадин витков червяка d _{f 1} = d ₁ – 2,4 m = m (q – 2,4).           (9.5)

Длину нарезанной части червяка принимают по конструктивным и технологическим соображениям.

 

      Червячное колесо (см. рис. 9.2.)

Делительный диаметр червячного колеса

                 d₂ = d_w2 = z₂m.                                                                     (9.6)

Диаметр вершин зубьев червячного колеса (при коэффициенте высоты головки, равном единице            d_a2 = d₂ + 2m = m(z₂ + 2).                        (9.7)

Диаметр впадин зубьев червячного колеса (при радиальном зазоре 0,2m)

                                              df₂ = d₂ - 2,4m = m(z₂ - 2,4).                        (9.8)

Наибольший диаметр червячного колеса

                                    d_aM2 = d_a2 + 6m / (z₁ +2).                               (9.9)

Ширину венца колеса b₂ рекомендуется принимать по соотношениям

при z₁ = 1 – 3; b₂ < 0,75d_al;             при z₁ = 4; b₂ < 0,67d _a1           (9.10)

Условный угол обхвата 2δ червяка венца колеса определяется точками пересечения дуги окружности диаметром d' = d_al - 0,5m с контуром венца (см. рис. 9.2)     

                                   sin δ = b₂ / (d_a1 - 0,5m).                                        (9.11)

Коэффициент полезного действиячервячного редуктора с учётом потерь в зацеплении, в опорах и на разбрызгивание и перемешивание масла

               η = (0,95…0,96)tq γ / tq (γ +ρ),                                             (9.12)

где ρ– приведенный угол трения, определяемый опытным путем.

 КПД возрастает с увеличением числа витков червяка (увеличивается γ) и с уменьшением коэффициента трения f'или угла трения ρ. При предварительном определении КПД, когда параметры передачи еще неизвестны, для стального червяка и бронзового венца колеса можно принимать f ≈ 0,04…0,06, при стальном червяке и чугунном венце f ≈ 0,08…0,12 (большие значения для открытых передач). Угол трения ρ = arc tq f.  Вследствие низкого КПД червячных передач их применяют, как правило, для передачи мощности не свыше 45 кВт и лишь в исключительных случаях до 120–150 кВт.

Зубья червячного колеса являются расчётным элементом зацепления, так как они имеют меньшую поверхностную и общую прочность, чем витки червяка.

   Зубья червячных колес рассчитывают так же, как и зубья зубчатых колес –на контактную выносливость и на выносливость при изгибе; расчёт на контактную прочность должен обеспечить не только отсутствие выкрашивания рабочих поверхностей зубьев, но и отсутствие заедания, приводящего к задирам рабочих поверхностей зубьев.

Таблица 9.1.

                           Основные параметры червячных передач

aω,1-й ряд	m мм	q	Z2 /Z1= u	aω, мм, 1-й ряд	m, мм	q	Z2 /Z1= u
40	2	8	32:4 32:2 32:1	40	1,6	10	40:4 40:2 40:1
50	2,5	8	32:4 32:2 32:1	50	2	10	40:4 40:2 40:1
63	3,15	8	32:4 32:2 32:1	63	–	–	–
80	4	8	32:4 32:2 32:1	80	–	–	–
100	5	8	32:4 32:2 32:1	100	4	10	40:4 40:2 40:1
125	5	10	40:4 40:2 40:1	125	4	12,5	50:4 50:2 50:1
140*	5	16	40:4 40:2 40:1	140*	5	10	46:4 46:2 46:1
160	8	8	32:4 32:2 32:1	160	–	–	–
200	10	8	32:4 32:2 32:1	200	8	10	40:4 40:2 40:1
250	12,5	8	32:4 32:2 32:1	250	10	10	40:4 40:2 40:1
	8	12,5	50:4 50:2 50:1	–	–	–	–
280*	10	16	40:4 40:2 40:1	280*	10	10	46:4 46:2 46:1
400	20	8	32:4 32:2 32:1	400	16	10	40:4 40:2 40:1
500	20	10	40:4 40:2 40:1	500	16	12,5	50:4 50:2 50:1

* 2-й ряд.

 

В таблице 9.2 даны сочетания модулей m и коэффициентов q диаметра червяка.

                                                                        

                                                                                                            Таблица 9.2.

                                              Сочетания m и q

m, мм	q	m, мм	q	m, мм	q	m, мм	q
1,6	10	3,15	8	6,3	8	12,5	8
1,6	12,5	3,15	10	6,3	10	12,5	10
1,6	16	3,15	12,5	6,3	12,5	12,5	12,5
1,6	20	3,15	16	6,3	14	12,5	16
2	8	3,15	20	6,3	16	12,5	20
2	10	4	8	6,3	20	16	8
2	12,5	4	10	8	8	16	10
2	16	4	12,5	8	10	16	12,5
2	20	4	16	8	12,5	16	16
2,5	8	4	20	8	16	20	8
2,5	10	5	8	8	20	20	10
2,5	12,5	5	10	10	8	20	12,5
2,5	16	5	12,5	10	10	20	16
2,5	20	5	16	10	12,5	–	–
–	–	–	20	10	16	–	–
–	–	–	–	10	20	–	–

 

2. Расчет на контактную выносливость ведут как проектный, определяя требуемое межосевое расстояние:  ,             (9.13)

где [σ_Н] – допускаемое контактное напряжение; Т_р2 = Т₂К – расчетный момент на валу червячного колеса; К – коэффициент нагрузки; E_пр = 2Е₁Е₂ / (Е₁ + Е₂ )– приведенный модуль упругости (Е₁ – модуль упругости материала червяка, Е₂ – модуль упругости венца червячного колеса).

 Формула справедлива при любых взаимно согласованных единицах измерения входящих в нее величин.

Формула (9.13) и формулы (9.15), (9.18), (9.20 и (9.23) соответствуют наиболее распространённой форме венца червячного колеса, при которой условный угол обхвата 2  = 100° (см. рис. 9.2). При ином значении   числовые коэффициенты в указанных формулах следует умножить на коэффициент

                                         .                                                    (9.14)

В начале расчета предварительно принимают q = 8 или 10, а для слабонагруженных передач ( Т₂ < 300 Нм) q = 12,5 или 16. Значения [σ_Н] выбирают по табл. 6.4. Приведенный модуль упругости  Е_пр  определяют по известным значениям модулей упругости материалов червяка и венца червячного колеса.

Для стали Е₁ =2,1x10⁵ МПа; для чугуна Е₂= (0,885…1,13) x10⁵ МПа; для бронзы Е₂ = (0,885–1,13) 10⁵ МПа (большие значения – для твердых безоловянныхбронз).

Средние значения модуля упругости чугуна и бронзы примерно одинаковы, поэтому для сочетания материалов сталь – чугун формулу (9.13) можно упростить, введя среднее значение            Е_пр = 1,32x10⁵ МПа.

                   .                                    (9.15)

где Т₂ – в Нмм;  а_ω  – в мм;     [σ_Н] – в МПа.

После определения а_ω следует найти модуль зацепления из соотношения:

                         m = 2 а_ω / (q + z₂).                                                             (9.16)

Пусть, например, при z₁ = 2; z₂ = 32 и q =10  было получено по ф-ле (9.15) межосевое расстояние  а_ω = 78. Вычисляем модуль m = 2∙78 /(10+32) = 3,73 мм.

 По табл. 9.1 принимаем  m = 4 мм и убеждаемся, что при этом стандартном значении модуля имеется  q = 10.   Тогда межосевое расстояние

                       а_ω = 0,5(q + z₂) m = 0,5(10+32)∙4 = 84 мм.

Желательно, чтобы окончательно принятое значение межосевого расстояния выражалось целым числом миллиметров (предпочтительно из стандартного ряда (табл. 9.1). Для этого в отдельных случаях (если допустимо некоторое отступление от заданной величины передаточного числа) надо увеличить или уменьшить z₂ на один-два зуба. Например, для получения передаточного числа 15,5 было принято z₁= 2; z₂ = 31; после округления параметров получено

 m = 5 мм и  q = 10. Тогда а_ω = (q +z₂)m = 0,5(10+31)x 5 =102,5мм. Целесообразно принять z₂ =32; тогда а_ω = (q +z₂)m= 0,5(10+32)x5 =105мм.

При этом передаточное число 32/2 =16.

Отклонение от заданного (16-15,5)/15,5 ∙100% =3,2% при допускаемом 4%.

Если по заданию курсового проекта предусмотрено массовое изготовление проектируемого редуктора, то следует согласовать с ГОСТ не только величины m и q, но и величины а_ω, z₁иz₂.Так согласовывая наш пример с табл. 9.1, будем иметь редуктор с параметрами: а_ω =100мм.,   m = 5мм., q = 8,

z₂ / z₁ = 32:2.

После окончательного установления параметров зацепления следует уточнить коэффициент нагрузки, допускаемое напряжение и проверить расчётные контактные напряжения.

 При любом сочетании материалов червяка и колеса

                   ;                                                   (9.17)

 при стальном червяке и червячном колесе, изготовленном из чугуна или имеющем бронзовый венец:

                      ,                                                      (9.18)

или              .                                  (9.19)

 Результат проверочного расчёта следует признать удовлетворительным, если

 превышает  не более чем на 5%.

 

  3.Расчёт зубьев червячного колеса на выносливость по напряжениямизгиба (зубья колеса обладают меньшей прочностью чем витки червяка) выпол-

няют по формуле:

                   ,                         (9.20)

где σ_F – расчётное напряжение изгиба; Т₂К – расчётный момент на валу червячного колеса; F_t2 – окружная сила на червячном колесе; К – коэффициент нагрузки (см. в гл. 9.4).

F_t2 – определяют по известному моменту на валу червячного колеса:

F_t2 = 2T₂ / d₂.

Υ_F – коэффициент формы зуба, принимаемый по табл. 9.3 в зависимости от эквивалентного числа зубьев червячного колеса:   z_v = z₂ / Cos³ γ;

 – коэффициент, учитывающий ослабление зубьев в результате износа.

 для редукторов;  1,15 для открытых передач.

– допускаемое напряжение изгиба приведено в табл. 6.4.

 

                                                                                                          Таблица 9.3.

                   Коэффициент формы зуба Υ _F для червячных передач

zv	28	30	35	40	45	50	65	80	100	150
ΥF	2,43	2,41	2,32	2,27	2,22	2,19	2,12	2,09	2,08	2,04

 При расчёте по формулам (9.19) и (9.20) напряжения следует принимать в МПа; силы в Н; линейные размеры в мм.

 

  4.  Расчёт коэффициента нагрузки для червячных передач производится по формуле: K = K _β K _v, где К _β – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения нагрузки по длине контактных линий; К_v - коэффициент, учитывающий динамическую нагрузку, возникающую в зацеплении.

 Коэффициент К_β зависит от характера изменения нагрузки и от деформации червяка

               ,                                                           (9.21)

 где Ω – коэффициент деформации червяка, определяемый по табл. 9.4:

 

 

                                                                                                   Таблица 9.4.

                Значения коэффициента деформации червяка Ω

z1	Значение q
	8	10	12.5	14	16	20
1	72	108	154	176	225	248
2	57	86	121	140	171	197
3	51	76	106	132	148	170
4	47	70	98	122	137	157

 x – вспомогательный коэффициент, зависящий от характера изменения нагрузки:

                                 ,                                                (9.22)

 где   T_i; t_i;_,n_i, – соответственно вращающий момент, продолжительность и частота вращения при режиме  i;  T_max – максимальный длительно действующий момент. В расчётах, когда не требуется высокая точность, можно принимать: при постоянной нагрузке x=1; при незначительных колебаниях нагрузки x = 0,6; при значительных колебаниях нагрузки  x = 0,3.

 При постоянной нагрузке коэффициент К_β = 1.

Коэффициент K _v   зависит от точности изготовления передачи и от скорости скольжения v_s (табл. 9.5). По этой таблице можно назначать степень точности передачи. 

                                                                                                            Таблица 9.5.

                          Коэффициент динамичности нагрузки K _v

Степень точности	Скорость скольжения   vs, м/с.
	До 1,5	Св. 1,5 до3	Св. 3 до 7,5	7,5 – 12
6	–	–	1	1,1
7	1,0	1,0	1,1	1,2
8	1,15	1,25	1,4	–
9	1,25	–	–	–

 Примечание. По Гост 3675-81 установлено 12 степеней точности для червячных передач. Для силовых установок предназначены от 5-й до 9-й в порядке убывания точности; для редукторов общего применения применяют в основном 7-ю и 8-ю  степени точности.

 

  5. Расчёт жёсткости червячного зацепления

Под действием сил в червячном зацеплении червяк и вал червячного колеса прогибаются и правильность зацепления нарушается, что приводит к ускоренному износу. В основном это уже учтено при выборе коэффициента диаметра червяка, но всё равно прогиб вала червяка или вала червячного колеса y не должен быть более допустимой величины в зависимости от модуля зацепления. . Величину прогиба вычисляют по известным зависимостям курса «Сопротивление материалов» и курса «Детали машин».     

 

   6. Расчёты на контактную выносливость при изгибе

Зубья червячного колеса являются расчётным элементом зацепления, так как они имеют меньшую поверхностную и общую прочность, чем витки червяка.

Зубья червячных колес рассчитывают так же, как и зубья зубчатых колес – на контактную выносливость и на выносливость при изгибе; расчет на контактную прочность должен обеспечить не только отсутствие выкрашивания рабочих поверхностей зубьев, но и отсутствие заедания, приводящего к задирам рабочих поверхностей зубьев.

На рис. 9.3 представлена расчётная схема вала червячного колеса. Показаны силы в зацеплении: F_t2 – окружная, F_r2 – радиальная, F_a2 – осевая; реакции опор в плоскостях действия сил

R _y3, R _y4, R _z3, R _{z 4}; эпюра изгибающих моментов M_y от действия силы F_t2, эпюра изгибающих моментов M_z от действия сил F_a2 и F_r2 и эпюра крутящего момента Т₂. Расстояние между опорами (центрами подшипников) – l₂ и червячное колесо расположено центрально относительно опор.

 Для данного случая стрела прогиба вала

 , где – Е модуль упругости материала вала, J – осевой момент инерции сечения вала под червячным колесом.

, где d – диаметр вала.

 

Рис. 9.3. Расчётная схема

Формулы для определения величины прогиба и угла поворота вала приведены в источнике [4]для различных схем нагружения.

 6.Тепловой расчёт червячных редукторов

Одним из основных недостатков червячной передачи является повышенное трение в зацеплении и, как следствие, выделение избыточного тепла, которое необходимо отводить, иначе смазка под воздействием тепла разлагается и зацепление выходит из строя. В стандартных редукторах принято, что разница температуры внутри картера редуктора и температуры внешней среды не должна превышать 60…70⁰ С. При такой разнице температур обычные рекомендуемые смазки устойчиво работают.

    ,                                       (9.23)

где t _m – температура масла в картере редуктора при длительной работе;t _b – температура окружающей среды (температура в цехе); Р₁ – подводимая мощность, Вт;η – КПД редуктора;k_t – коэффициент теплопередачи, Вт /(м² ∙ ⁰С) равен 17 без принудительного обдува.

Если по расчётам получается превышение требуемой разницы температур, то необходимо увеличить площадь редуктора, сделав корпус ребристым. Нужно учесть также условия монтажа редуктора. Если он установлен на сплошной раме, то площадь его основания не входит в площадь теплоотдачи. Можно увеличить коэффициент теплопередачи на 25%, если установить на входной вал редуктора крыльчатку вентилятора.

 

Чертежи различных червячных редукторов приведены в источниках [2], [6].

Студентам рекомендуется внимательно изучить по литературе различные конструкции червячных редукторов, прежде чем приступить к разработке собственной конструкции.

 

Рис. 9.4. Чертёж одноступенчатого червячного редуктора