Критерії і кількісні характеристики надійності.

Критерієм надійності назвемо ознаку, мірило, по якому оцінюється надійність різних виробів.

До числа найбільше широко 'застосовуваних критеріїв надійності відносяться:

- імовірність безвідмовної роботи протягом визначеного часу P(t);

- середній наробіток до першого відмовлення Т_ср;

- наробіток на відмовлення t_ср;

- частота відмовлень a(t);

- інтенсивність відмовлень l (t);

- параметр потоку відмовлень w (t);

- функція готовності К_Г(t);

- коефіцієнт готовності К_Г.

Характеристикою надійності будемо називати кількісне значення критерію надійності конкретного виробу.

Вибір кількісних характеристик надійності залежить, від виду виробу.

Основні критерії надійності можна розбити на двох груп:

- критерії, що характеризують надійність невідновлюваних виробів;

- критерії, що характеризують надійність відновлюваних виробів.

Невідновлюваними називаються такі вироби, що у процесі виконання своїх функцій не допускають ремонту. Якщо відбувається відмовлення такого виробу, то виконувана операція буде зірвана, і її необхідно починати знову в тому випадку, якщо можливе усунення відмовлення.

Відновлюваними називаються такі вироби, що у процесі виконання своїх функцій допускають ремонт. Якщо відбудеться відмовлення такого виробу, то він викликає припинення функціонування виробу тільки на період усунення відмовлення. До таких виробів відносяться: телевізор, агрегат харчування, верстат, автомобіль, трактор і т.п.

Розглянемо наступну модель іспиту. Нехай на іспиті знаходиться N₀ виробів, і нехай іспити вважаються закінченими, якщо усі вони відмовили. Причому замість зразків, що відмовили, відремонтовані чи нові не ставляться. Тоді критеріями надійності даних виробів є:

- імовірність безвідмовної роботи P(t);

- частота відмовлень a(t);

- інтенсивність відмовлень l (t);

- середній наробіток до першого відмовлення Т_ср.

Імовірністю безвідмовної роботи називається імовірність того, що за певних умов експлуатації в заданому інтервалі чи часу в межах заданого наробітку не відбудеться жодного відмовлення.

Відповідно до визначення

де t – час, протягом якого визначається імовірність безвідмовної роботи;

Т -час роботи виробу від його включення до першого відмовлення.

Імовірність безвідмовної роботи зі статистичних даних про відмовлення оцінюється вираженням

де N₀ – число виробів на початку іспиту;

n(t) – число виробів, що відмовили, за час t;

– статистична оцінка імовірності безвідмовної роботи.

При великому числі виробів N₀ статистична оцінка практично збігається з імовірністю безвідмовної роботи.

На практиці іноді більш зручною характеристикою є імовірність відмовлення Q(t).

Імовірністю відмовлення називається імовірність того, що за певних умов експлуатації в заданому інтервалі часу виникне відмовлення. Відмовлення і безвідмовна робота є подіями неспільними і протилежними, тому

, , .

Частотою відмовлень називається відношення числа виробів, що відмовили, в одиницю часу до первісного числа випробовуваних виробів за умови, що всі, що вийшли з ладу виробу не відновлюються.

Відповідно до визначення

де n(D t) – число зразків, що відмовили, в інтервалі часу від t-(t/ 2 до t+(t/ 2.

Частота відмовлень є щільність імовірності (чи закон розподілу) часу роботи, виробу до першого відмовлення. Тому

Інтенсивністю відмовлень називається відношення числа виробів, що відмовили, в одиницю часу до середнього числа виробів, що справно працюють у даний відрізок часу.

Відповідно до визначення

де – середнє число справне працюючих виробів в інтервалі D t;

N_i – число виробі, що справно працюють на початку інтервалу D t;

N_i+1 – число виробів виправивши працюючих наприкінці інтервалу D t;

Вираження є статистичне визначення інтенсивності відмовлень. Верогідністна оцінка цієї характеристики знаходиться з вираження

Інтенсивність відмовлень і імовірність безвідмовної роботи зв'язані між собою залежністю

Середнім наробітком до першого відмовлення називається математичне чекання часу роботи виробу до відмовлення. По статистичним даним про відмовлення середній наробіток до першого відмовлення обчислюється по формулі

де t_i – час безвідмовної роботи i-го зразка;

N₀ – число випробуваних зразків.

Як видно з формули , Для визначення середнього наробітку до першого відмовлення необхідно знати моменти виходу з ладу усіх випробуваних елементів. Тому для обчислення користатися зазначеною формулою незручно. Маючи дані про кількість елементів, що вийшли з ладу, ni, у кожнім i-м інтервалі часу, середній наробіток до першого відмовлення краще визначати з рівняння

У вираженні t_срi і m знаходяться по наступним формулах:

, ,

де t_i-1 – час початку i-го інтервалу;

t_i – час кінця i-го інтервалу;

t_k – час, протягом якого вийшли з ладу всі елементи;

D t = t_i-1– t_i – інтервал часу.

Розглянемо наступну модель іспиту.

Нехай, на іспиті знаходиться N виробів і нехай відмовили виробів негайно заміняються справними (новими чи відремонтованими). Іспити вважаються закінченими, якщо число відмовлень досягає величини, достатньої для оцінки надійності з визначеною довірчою імовірністю. Якщо не враховувати часу, потрібного на відновлення системи, то кількісними характеристиками надійності можуть бути параметр потоку відмовлень w (t) і наробіток на відмовлення t_ср.

Параметром потоку відмовлень називається відношення числа вироби, що відмовило, в одиницю часу до числа випробовуваних виробів за умови, що всі, що вийшли з ладу виробу заміняються справними (новими чи відремонтованими).

Відповідно до визначення

де n(D t) – число зразків, що відмовили, в інтервалі часу від t-(t/ 2 до t+(t/ 2;

N – число випробуваних зразків;

D t – інтервал часу.

Наробітком на відмовлення називається середнє значення часу між сусідніми відмовленнями.

Ця характеристика визначається по статистичним даним про відмовлення по формулі

де t_i – час справної роботи виробу між (і-1) -м і i-м відмовленнями;

n – число відмовлень за якийсь час t.

З формули видно, що в даному випадку наробіток на відмовлення визначається за даними іспиту одного зразка виробу. Якщо на іспиті знаходиться N зразків протягом часу t, то наробіток на відмовлення обчислюється по формулі

де t_ij – час справної роботи j-го зразка виробу між (i-1) -м і i-м відмовленням;

n_j – число відмовлень за час t j-го зразка.

Наробіток на відмовлення є досить наочною характеристикою надійності, тому вона одержала широке поширення на практиці.

Параметр потоку відмовлень і наробіток на відмовлення характеризують надійність ремонтуємого виробу і не враховують часу, потрібного на його відновлення. Тому вони, не характеризують готовності виробу до виконання своїх функцій у потрібний час. Для цієї мети вводяться такі критерії, як коефіцієнт готовності і коефіцієнт змушеного простою.

Коефіцієнтом готовності називається відношення часу справної роботи до суми часів справної роботи і змушених простоїв виробу, узятих за той самий календарний термін. Ця характеристика позначається К_Г.

Відповідно до даного визначення

де t_р – сумарний час справної роботи виробу;

t_п – сумарний час змушеного простою.

Часи t_р і t_п обчислюються по формулах

де t_pi – час роботи виробу між (i—1) -м і i-м відмовленням;

t_пi – час змушеного простою після i-го відмовлення;

n – число відмовлень (ремонтів) виробу.

Вираження (К_Г) є статистичним визначенням коефіцієнта готовності. Для переходу до верогіднісний трактування величини t_p і t_п заміняються математичними чеканнями часу між сусідніми відмовленнями і часу відновлення відповідно. Тоді

де t_ср – наробіток на відмовлення;

t_в – середній час відновлення.

Коефіцієнтом змушеного простою називається відношення часу змушеного простою до суми часів справної роботи і змушених простоїв виробу, узятих за той самий календарний термін.

Відповідно до визначення

чи, переходячи до середніх величин,

Коефіцієнт готовності і коефіцієнт змушеного простою зв'язані між собою залежністю

При аналізі надійності восстановимих систем звичайно коефіцієнт готовності обчислюють по формулі

Для з'ясування фізичного змісту коефіцієнта готовності К_Г запишемо формулу для імовірності застати систему в справному стані. При цьому розглянемо найбільш простий випадок, коли інтенсивність відмовлень і інтенсивність відновлення є величини постійні.

Припускаючи, що при t=0 система знаходиться в справному стані (P(0)=1), імовірність застати систему, у справному стані визначається з виражень

’

де

, , .

Це вираження встановлює залежність між коефіцієнтом готовності системи й імовірністю застати її в справному стані в будь-який момент часу t.

З P(t) видно, що Р_Г(t) ® К_Г при t ® ¥, тобто практично коефіцієнт готовності має сенс імовірності застати виріб у справному стані при сталому процесі експлуатації.

Приклад. Допустимо, що на іспит поставлено 1000 однотипних електронних ламп тину 6Ж4. За 3000 годину відмовило 80 ламп. Потрібно визначити імовірність безвідмовної роботи й імовірність відмовлення електронних ламп протягом 3000 година.

Рішення. По формулах визначаємо

;

чи

Приклад. На іспит було поставлено 1000 однотипних ламп. За перші 3000 годину відмовило 80 ламп, а за інтервал часу 3000 – 4000 година відмовила ще 50 ламп. Потрібно визначити частоту й інтенсивність відмовлень електронних ламп, у проміжку часу 3000 – 4000 година,

Рішення. По формулах знаходимо

Приклад. На іспит поставлене N₀ =400 виробів. За час t =3000 година відмовила n(t) =200 виробів, за інтервал часу D t =100 година відмовила n(D t) =100 виробів (мал.4). Потрібно визначити , , , , .