Теоремы синусов и косинусов треугольника

Запишите формулы для вычисления площади треугольника

а) , где а – сторона треугольника,  - высота треугольника, опущенная на сторону а.

б) , где а, в – стороны треугольника, α – угол между ними.

в) , где а, в, с – стороны треугольника, р – полупериметр.

г) , где р – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной окружности.

д) , где а, в, с – стороны треугольника, R –радиус описанной окружности.

е) для равностороннего треугольника , где а – сторона треугольника.

ж)  для прямоугольного треугольника , где а, в – катеты треугольника.

Запишите формулы для вычисления площади четырехугольника

а) для произвольного четырехугольника , где  - диагонали четырехугольника, α – угол между ними.

б) если в четырехугольник можно вписать окружность, то , где р – полупериметр,  - радиус вписанной окружности.

в) для параллелограмма , где а, в –смежные стороны, α – угол между ними.

з) для параллелограмма , где а – сторона параллелограмма,  - высота параллелограмма, опущенная на сторону а.

г) для ромба , где  - диагонали ромба.

д) для ромба , где а – сторона ромба, α – угол между ними.

е) для трапеции , где а, в – основания трапеции,  - высота трапеции.

ж) если трапеция равнобокая, а её диагонали перпендикулярны, то .

Формулы для радиусов вписанной и описанной окружности треугольника.

а) , где а, в, с – стороны треугольника;

б) радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла ;

в) для равностороннего треугольника ;

г) для прямоугольного треугольника , где с – гипотенуза треугольника;

д) , где S – площадь треугольника, р – его полупериметр;

е) для равностороннего треугольника ;

ж) для прямоугольного треугольника , где а, в – катеты, с – гипотенуза.

Вопросы к зачёту по планиметрии

Свойства площадей треугольника

а) отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

б) медианы треугольника при пересечении разбивают его на шесть равновеликих треугольников.

в) если треугольники имеют равный угол, то отношение их площадей равно отношению произведения сторон, заключающих эти углы.

 

г) если треугольники имеют равные высоты, то отношение их площадей равно отношению оснований, к которым проведены данные высоты.

 

 

Свойства медиан треугольника

а) медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины треугольника;

б) медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника;

в) медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы и радиусу описанной окружности.

Свойства биссектрис треугольника

а) точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в треугольник окружности;

б) биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Теоремы синусов и косинусов треугольника

а) стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов ;

б) квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними .