С сопротивлением, индуктивностью и емкостью

§11.1. Цепь с сопротивлением

1. Уравнения и графики тока и напряжения. Векторная диа­грамма. Электрическая цепь переменного тока характеризуется тремя параметрами: активным сопротивлением r, индуктив­ностью Lи емкостью С. Они влияют на значение и начальную фазу переменного тока, возникающего в цепи при переменном напряже­нии. В элементах цепи, имеющих активное сопротивление, электри­ческая энергия преобразуется в теплоту. В элементах же цепи с индуктивностью и емкостью энергия в виде теплоты не выделяется, а периодически накапливается в магнитном и электрическом полях, а затем возвращается к источнику электроэнергии. Такие элементы цепи называют реактивными. Влияние этих элементов на перемен­ный ток учитывается так называемыми реактивными сопротивле­ниями.

Электрическая цепь пере­менного тока имеет три пара­метра: r, Lи С. Однако неко­

торыми из них можно в ряде

случаев пренебречь. Например, лампы накаливания, резисторы, нагревательные приборы обычно характеризуются только актив­ным сопротивлением r, ненагруженные трансформаторы — ин­дуктивностью L, а кабельные линии без нагрузки — емкостью С. Пусть цепь с    некоторым сопротивлением             г (рис. 11.1) подклю­чена к источнику питания с синусоидально изменяющимся напря­жением

                                       (11.1)

где и — мгновенное значение напряжения; U_m— амплитудное значение напряжения; ω t — фаза напряжения. По закону Ома, мгновенное значение тока в этой цепи

где

                                              (11.3)

l_m — амплитудное значение тока. Из (11.1) и (11.2) видно, что синусоидальное напряжение и ток рассматриваемой цепи имеют одинаковые фазы. Следовательно, напряжение и ток в цепи с ак­тивным сопротивлением совпадают по фазе φ = 0). Графики на­пряжения и тока и векторная диаграмма цепи с сопротивлением показаны на рис. 11.2. Отметим, что на рис. 11.1 стрелками ука­заны положительные направления напряжения и тока в цепи. Истинное направление напряжения и тока совпадает с положи­тельным направлением, когда i >0 и u >0, и противоположно ему, когда i <0 и u <0.

2.Закон Ома. Если обе части (11.3) разделить на (√2), то получим  или  (11.4)

Следовательно, действующее значение тока равно действующему значению напряжения на зажимах цепи деленному на ее активное сопротивление. Формула (11.4) является математическим выражением закона Ома для цепи с сопротивлением, которое ничем не отличается от формулы для постоянного тока. Однако в (11.4) входят не постоянные, а действующие значения переменного тока и напряжения.

 

1. Мгновенная и активная мощности. Мгновенная мощность равна произведению мгновенного значения напряжения на мгно­венное значение тока:

                                                                        (11.5.)

На рис. 11.2 показан график мгновенной мощности р. При t= 0, i = 0, «= 0 и р = 0. В первую половину периода с увеличе­нием напряжения и тока увеличивается и мощность р. Достигнув амплитудного значения U_mI_m,мгновенная мощность уменьшается до нуля. Во вторую половину периода напряжение и ток отрица­тельны, но мощность по-прежнему положительна, так как пере­множение двух отрицательных величин дает положительную: p=- (-u)(-i)=ui.Положительное значение мощности указыва­ет на то, что цепь всегда потребляет энергию от источника, пре­образуя ее в теплоту. Среднюю за период мощность называют активной и обозначают Р. Согласно (11.5), мгновенная мощность состоит из двух слагаемых. Среднее за период значение перемен­ной составляющей , как и любой гармонической функ­ции, равно нулю. Поэтому активная мощность в цепи с активным сопротивлением равна постоянной слагаемой мгновенной мощ­ности:

.                               (11.6)

Полученные формулы ничем не отличаются от формул для вычисления мощности в цепи постоянного тока. Единица актив­ной мощности в СИ — ватт (Вт). Более крупные единицы: 1 МВт = 10⁶ Вт, 1 кВт = 10³ Вт.

§ 11.2. Цепь с индуктивностью

1. Уравнения и графики тока. ЭДС самоиндукции и напряже­ния. Векторная диаграмма. Электрические машины переменного тока, трансформаторы, электромагниты, реле, контакторы и т. д. имеют обмотки (катушки). Любая катушка обладает некоторой индуктивностью L,сопротивлением r и емкостью С. В ряде случа­ев параметры r и С незначительны и практически не влияют на физические процессы в электрической цепи. Такие катушки близ­ки к идеальной, у которой учитывается только индуктивность. Допустим, что по идеальной катушке индуктивностью L(рис. 11.3) проходит синусоидальный ток

,                                             (11.7)

создающий синусоидальный магнитный поток, который совпадает с ним по фазе (рис. 11.4). Потокосцепление цепи гдеΨ_m= LI_m— амплитуда потокосцеп­ления. Изменение потокосцепления вызывает ЭДС самоиндукции

 

                                               (11.8)

Подставив в (11.8) выражение тока, получим

            (11.9)

Максимальное значение ЭДС

                                           (11.10)

Из (11.9) видно, что ЭДС самоиндукции изменяется по сину­соидальному закону и отстает от тока по фазе на 90°. Это можно объяснить следующим образом. Когда ток достигает максимума, скорость его изменения  и ЭДС самоиндукции

. В те моменты времени, когда ток равен нулю, ско­рость изменения тока di/dtи ЭДС самоиндукции e_Lимеют макси­мальные значения. Направление ЭДС самоиндукции определяет­ся по закону Ленца. В первую четверть периода, когда ток увели­чивается (рис. 11.5, а), ЭДС самоиндукции направлена навстречу току. Поэтому ток и ЭДС самоиндукции на указанном отрезке времени имеют разные знаки. Во вторую четверть периода при уменьшении тока ЭДС самоиндукции имеет одинаковое с ним направление (и знак). Аналогично определяется знак ЭДС в тре­тьей и четвертой четвертях периода. Теперь, когда выяснен закон изменения ЭДС самоиндукции, рассмотрим, как изменяется на­пряжение и и на зажимах катушки. Так как сопротивление ка­тушки не учитывается, то можно считать, что приложенное напряжение уравновешивается только ЭДС самоиндукции ка­тушки. Следовательно, в каждый момент времени напряжение численно равно ЭДС и направлено противоположно ей: . Сопоставление полученного уравнения напряжения с уравнением тока (11.7) показывает, что в цепи с индуктивностью напряжение опережает ток по фазе на 90°. Векторная диаграмма для цепи с индуктивностью показана на рис. 11.5, б.

 

2.Индуктивное сопротивление. Максимальное напряжение на зажи­мах катушки равно максимальной ЭДС Рис. 11.6 самоиндукции. Согласно (11.10),

.Отсюда максимальный ток  если обе части полученного равенства разде­лить на  , то получим

или                        (11.11)

Формула (11.11) аналогична формуле Ома и составлена для действующих значений переменного тока и напряжения. Произ­ведение ωLимеет размерность сопротивления (Ом), называется реактивным сопротивлением индуктивности или индуктивным со­противлением (обозначается xl)и вычисляется по формуле

                                (11.12)

Индуктивное сопротивление характеризует влияние ЭДС са­моиндукции на ток в цепи и прямо пропорционально частоте пе­ременного тока (рис. 11.6). Для постоянного тока  и .

3.Мгновенная и реактивная мощности. Ранее было установ­лено, что ток в катушке индуктивности отстает по фазе от напря­жения на 90° (рис. 11.5, а). При t = 0 напряжение и = U_m,а ток i = 0. Поэтому мгновенная мощность . В кон­це первой четверти периода ток ,но и = 0 и мощность р = 0. Таким образом, в начале и конце каждой четверти периода ток или напряжение, а значит, и мгновенная мощность равны нулю. В промежутке между этими моментами мощность будет положительной или отрицательной. В первую четверть периода ток и напряжение имеют одинаковые знаки. Поэтому мощность имеет положительный знак, указывающий на то, что цепь потреб­ляет энергию, которая накапливается в магнитном поле катушки. Во вторую четверть периода у тока и напряжения разные знаки. Поэтому мощность имеет отрицательный знак. Это значит, что запасенная в магнитном поле энергия возвращается обратно ге­нератору. За третью четверть периода мгновенная мощность бу­дет положительной, за четвертую — отрицательной. Выведем уравнение мгновенной мощности. Мгновенная мощность цепи с индуктивностью

(11.13)

 

Таким образом, мгновенная мощность цепи с индуктивностью изменяется по синусоиде с двойной частотой: два раза в течение периода тока, достигая поло­жительного максимума UI, и два раза — такого же по величине отрицательного. Цепь с индуктивностью то потребляет энер­гию, то отдает ее в таком же количестве источнику. Среднее значение мощности за один период переменного тока равно нулю. Через катушку протекает переменный ток, называемый реактивным. Реактивные токи бесполезно загружают линию электропередачи и электрический генератор. Это приводит к неполному использованию установленной мощности генера­тора и увеличению потерь энергии в соединительных проводах. Поэтому включать подобные приемники в сеть переменного тока нежелательно. Максимальное значение мощности в цепи с ин­дуктивностью называется реактивной мощностью и обознача­ется Q_L.Чем больше реактивная мощность, тем большее коли­чество энергии передается в единицу времени от источника элект­рической энергии к катушке и обратно. Реактивная мощность

                                      (11.14)

 

Единицей реактивной мощности является вольт-ампер реак­тивный: 1 вольт-ампер реактивный (1 вар = 1 В·1 А). Более крупной единицей реактивной мощности является киловольт- ампер реактивный (квар): 1 квар= 10³ вар.