Раскрытие неопределённостей. Правило Лопиталя

При решении задач, связанных с вычислением пределов функций, часто непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределённым выражениям вида:  Нахождение предела в таких случаях называют раскрытием соответствующей неопределенности. Довольно часто справиться с этой проблемой помогает так называемое правило Лопиталя, которое можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема. Если функции  и  удовлетворяют следующим условиям:

1)  или ;

2)  и  дифференцируемы в некоторой окрестности точки , и  для любого  их этой окрестности (за исключением, может быть, самой точки );

3) существует (конечный или бесконечный) , то тогда

.

Замечание 1. Если  не существует, то нельзя ничего сказать об исходном пределе, т.е.  может существовать, а может и не существовать. В такой ситуации решать задачу вычисления предела надо без использования правила Лопиталя.

Замечание 2. Правилом Лопиталя можно пользоваться (в случае выполнения условий теоремы) при раскрытии неопределенностей вида  или  не только при , но и при .

Замечание 3. Правило Лопиталя в некоторых задачах можно применять повторно.

Если необходимо раскрыть неопределенности иного вида, нежели  и , то следует преобразовывать функцию, стоящую под знаком предела, приведя её к виду, позволяющему применить правило Лопиталя.

Если при , а , то вычисление предела  (неопределенность вида ) может быть сведено к одному из случаев  или  при помощи тождественных преобразований произведения в частное:

 или

Если при , а , то вычисление предела  (неопределенность вида ) может быть сведено к раскрытию неопределенности  путем тождественного преобразования разности в произведение:

.

Иногда удобно пользоваться и другими преобразованиями:

 или

При вычислении пределов вида  можно столкнуться с неопределенностью  или , или . Раскрытие этих неопределенностей производят с помощью следующего преобразования:

Тогда (в силу непрерывности показательной функции) получают: , что сводит задачу к неопределенности  или .

Примеры с решениями

Пример 1. Вычислить

Решение. Подстановка предельного значения аргумента  приводит к неопределенности , т.е. выполняется первое условие теоремы:  и . Второе условие теоремы тоже выполняется, поскольку функции  и  дифференцируемы в некоторой окрестности точки , причем  для любого  из этой окрестности (в качестве окрестности можно рассмотреть, например, интервал ). Выполняется и третье условие: существует предел отношения производных этих функций . Итак, решение этой задачи можно коротко записать следующим образом:

Ответ:

Пример 2. Вычислить

Решение.

Ответ:

Пример 3. Вычислить

Решение.

Ответ: 0

Пример 4. Вычислить

Решение.

Ответ:

Пример 5. Вычислить

Решение.

Ответ:

Пример 6. Вычислить

Решение.  

Рассмотрим

Ответ: .

Пример 7. Вычислить

Решение. Перед нами неопределенность , в числителе дроби мы видим функции, дифференцируемые на всем множестве действительных чисел, но отношение производных  не имеет предела при . Однако, это не значит, что исходный предел не существует, его можно вычислить без использования правила Лопиталя, применяя лишь тождественные преобразования и свойства пределов:

Ответ: 1.

Пример 8. Вычислить

Решение. Правило Лопиталя не применимо, так как при  предел отношения производных  не существует. Но задача имеет решение:

Ответ:

Пример 9. Вычислить

Решение.

Правило Лопиталя не приводит нас к решению этой задачи, но искомый предел существует и его легко вычислить, разделив числитель и знаменатель дроби на x:

Ответ: