Теория гармонических спектров сигналов

 

Сигналы

 

В радиотехнике важным понятием является сигнал – изменение физической величины, несущее информацию, кодированную определённым способом, либо синхронизированное отсутствие изменения физической величины. Сигналом может быть любой физический процесс, параметры которого изменяются в соответствии с передаваемым сообщением. Понятие "сигнал" позволяет абстрагироваться от конкретной физической величины, например тока, напряжения, давления в акустической волне и рассматривать вне физического контекста явления связанные с кодированием информации и извлечением её из сигналов, которые обычно искажены шумами. В исследованиях сигнал часто представляется функцией времени, параметры которой могут нести нужную информацию. Рассмотрим два примера.

 

Рис. 3.1.

 

Азбука Морзе. Буква " А ".

Точка, пауза с длительностью точки, тире с длительностью в три точки. Паузы между буквами – три длительности точки, между словами – семь.

 

В 1957 г. в СССР был запущен первый в мире спутник. Он подавал сигналы, похожие на морзянку, но в длительности сигнала и паузы содержалась информация о давлении и температуре на борту.

 

Распространённым случаем является запись информации изменением параметров “синусоидальной” несущей.Можно записывать информацию, меняя амплитуду (АМ – амплитудно-модулированный сигнал), меняя частоту или фазу (ЧМ, ФМ – частотно- или фазово-модулированный сигнал). Если относительная величина модуляции мала (m << 1), то гармонические функции удобны для анализа. Удобным методом изучения свойств сигналов различной природы является Фурье-анализ.

 

 

Рис. 3.2.

Амплитудно-модулированный сигнал.  "AM".

 

 

 

Рис. 3.3.

Амплитудно-модулированный
сигнал без несущей.
"DSB" (Double Sideband).

 

 

 

 

Рис. 3.4.

Сигнал несущей, промодулированной по частоте.

"FM" (Frequency Modulation).

 

Напряжение, модулирующее несущую.

 

Сигнал может иметь форму радиоимпульса (рис. 3.5А) или видеоимпульса (рис. 3.5Б). Можно сказать, что видеоимпульс – это огибающая радиоимпульса. А иногда говорят, что радиоимпульс – это видеоимпульс с высокочастотным заполнением. Заполнение не обязательно синусоидальное.

Рис. 3.5.

 

А – Радиоимпульс.

 

Б – Видеоимпульс.

 

 

Ряды Фурье

Если f(t) – "хорошая" периодическая функция с периодом  , то её можно разложить в ряд Фурье.

                                                                                                                                           (3.1)

 

                                                                                                                                           (3.2)

 

 

Этот ряд можно записать и в другом виде:

 

                                                                                          

 

Все необходимые тригонометрические формулы есть в приложении.

 

Окончательно:                                                                                                                   (3.3)

 

Где                                                                                                                                      (3.4)

 

Аналогично:

 

 

                                                                                                                                              (3.5)

 

Каждый отдельный член ряда (3.3) или (3.5) называется гармоникой. Часто гармоникой называют только амплитуду c_n.

Из формулы Эйлера  .

Представляя каждую гармоническую функцию в (3.5) суммой комплексно-сопряжённых слагаемых, получим:

                                                                                                                                            (3.6)

 

 

Таким образом, разложение в ряд по косинусам можно заменить разложением по экспонентам, если ввести комплексные амплитуды гармоник:

                                                                                                                                            (3.7)

 

 

                                                                                                                                               (3.8)

 

 

Если договориться, что для отрицательных   n мы будем вычислять                  то есть менять знак в (3.8) на минус не перед i, а перед n,

то

 

Тогда можно написать:                                                                                                      (3.9)

 

Это разложение короче и симметричнее своего вещественного аналога и поэтому чаще применяется в физике.

Если в (3.1) косинус и синус записать по формулам Эйлера как

                                                                                            то получится:

 

Если сравнить это выражение с первой частью (3.8), то станет ясно, что комплексная амплитуда С̃ _n связана с с _n  и ψ _n, а также с а _n и   b_n выражениями:

                                                                                                                                            (3.10)

 

Сложим пару гармоник с номерами n и – n.

 

 

                                                                                                                                            (3.11)

 

 

Получается, что сумма парных комплексных гармоник есть гармоника прежнего вещественного ряда Фурье.

Вещественная часть комплексного коэффициента   С̃̃ _n  – чётная функция, а мнимая – нечётная.

 

 

                                                                                                                                            (3.12)

                                    чётная по n нечётная

Заметьте, что фаза есть нечётная функция относительно n, то есть относительно частоты (см. (3.4), (3.10) и (3.12)), а модуль комплексной амплитуды – чётная. Это и продемонстрировано на рис. 3.6. Действительно, видно, что в (3.10) мнимые части коэффициентов разного знака, а их модули одинаковые.

Говорят, что ряд (3.9) при отрицательных n содержит гармоники с отрицательными частотами n ω₀. Это странно, но этот формализм можно объяснить тем простым фактом, что нам пришлось привлекать комплексно-сопряжённые амплитуды гармоник и знак минус появился не перед n, а перед i. С другой стороны, круговая частота ω – родственница угловой скорости. А угловая скорость вращения комплексного числа может быть и отрицательной.

 

 

                                        n                                                       n

 

Рис. 3.6.

Пример комплексного спектра. По горизонтальной оси отложены номера гармоник.

 

Для объяснения смысла гармоник с отрицательными частотами обратимся к простейшему гармоническому колебанию и запишем его в виде двух разных выражений:

 

                                                                                                                                             (3.13)

 

                                                                                                                                             (3.14)

 

Первому выражению соответствует векторное представление, изображённое на рис. 3.7 А, а второму выражению – на рис. 3.7 Б.

Вещественная функция f(t) получается в первом случае как проекция вектора    ,

 

равная А cos(ω ₀ t – ψ), а во втором – как сумма проекций на ту же ось двух векторов (3.14) с

амплитудами      , вращающимися с круговой частотой ω₀ во взаимно противоположных

направлениях:                        – против часовой стрелки,                        – по часовой.

 

В сумме они дают ту же вещественную проекцию.

В соответствии с этим второе слагаемое в (3.14) можно трактовать как колебание с отрицательной в некотором смысле частотой. Видно, что в данном случае отрицательные частоты имеют формальный характер и связаны с применением комплексной формы для представления вещественной функции времени.

 

 

Рис. 3.7 А и Б. К объяснению смысла гармоник с отрицательными частотами.

 

P. S.

Кому не нравится сведение вещественного ряда Фурье к комплексному в этом тексте, тот может посмотреть это у В.И.Смирнова, том 2, стр. 509.